极限 定义证明

极限定义证明
极限定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
这两个用函数极限定义怎么证明?
x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|sinx/√x-0|=|sinx/√x||sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2,
∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立，
所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0.
x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2
证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式
|1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|需要0|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2.
注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0.
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。

把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;
那么存在N1,当x>N1,有a/M注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0同理，存在Ni，当x>Ni时，0取N=max{N1,N2...Nm};
那么当x>N,有
(a/M)^n所以a/M对n取极限，所以a/M令x趋于正无穷，
a/M注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。

令M趋于正无穷，b趋于a;
有a这表明limg(x)=a;
证毕;
证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。

还有个看起来简单些的方法
记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷;
g(x)=max{f1(x),....fm(x)};
然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。

其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。

有种简单点的方法，就是
max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。

多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式，
故极限可以放进去。

2
一)时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号: 的意义, 的直观意义.
定义( 和. )
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
(二)时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的“ ”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4 验证例5 验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有
例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的 2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有: 例10证明: 极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有
= §2 函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：
我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.
二、讲授新课：
(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性( 不等式性质):
Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)
註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:( 只证“+”和“ ”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1( 利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4 [ 利用公式]
例5例6例7
2。