高二数学课件专题二第四讲导数综合应用
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第四讲 导数的综合应用
【考情快报】 (1)主要考查与不等式恒成立有关的问题、利用导数证明
不等式、利用导数研究与方程的解有关的问题. (2)常与分式、指数式、对数式结合在一起考查，考查学
生的函数与方程的思想，转化与化归的思想及推理论证能力, 属中高档题.
【核心自查】 一、主干构建
二、概念理解 1.函数的单调性与导数的关系 若函数y=f(x)在某区间内可导，则 (1)f′(x)＞0⇒f(x)为_增__函__数__； (2)f′(x)＜0⇒f(x)为_减__函__数__； (3)f′(x)=0⇒f(x)为常数函数. 提醒：f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件,f′(x)≥0是 函数f(x)为增函数的必要不充分条件.
三、重要公式 1．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0; (2)若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=nxn-1; (3)若f(x)=sin x，则f′(x)=cos x; (4)若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x; (5)若f(x)=ax,则f′(x)=axlna(a＞0); (6)若f(x)=ex，则f′(x)=ex;
若a＞0，则当x∈(-∞,lna)时，f′(x)＜0;当x∈(lna,+∞)时，
f′(x)＞0,所以，f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单
调递增.
(2)由于a=1，所以(x-k)f′(x)+x+1
=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x＞0时，(x-k)f′(x)+x+1＞0等价于
【解题指导】(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f′(x)， 因a值的符号不确定，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一 种情况下f′(x)的正负，从而确立单调区间； (2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将 求k的最大值转化为求g(x)的最值问题. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f′(x)=ex-a, 若a≤0，则f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)函数思想法: 第一步:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值 问题; 第二步:利用导数求该函数的极值(最值); 第三步:构建不等式求解.
热点考向 二 利用导数证明不等式 【典例】(2013·淄博模拟)函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R). (1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值. (2)若函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方,求a的取值范围. (3)求证:20132012<20122013.
【解题探究】(1)函数取得极值的必要条件是什么? 提示:其导数等于零. (2)函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方用代数式如何表示? 提示:f(x)<-x. (3)20132012<20122013与(1),(2)有何联系? 提示:20132012<20122013两边取对数即可找到联系.
【解析】(1)函数定义域为(0,+∞),
k＜
x ex
1 1
(xx＞0)
①
令g(x)=
来自百度文库
x ex
1 1
,
x
则g′(x)= exxex112 1e.x(eexxx122)
由(1)知，函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增，而h(1)＜
0,h(2)＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点，故g′(x)
在(0，+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).
(7)若f(x)=logax,则f′(x)=
x
1 ln
a
(a＞0，且a≠1);
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
提醒：注意区分函数f(x)=ax与f(x)=logax的导数.
2．导数的四则运算 (1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x); (2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
令h'(x)>0,得0<x<e,所以h(x)在(0,e)上单调递增;
令h'(x)<0,得x>e,所以h(x)在(e,+∞)上单调递减.
2.函数的极值 (1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他 点的函数值都小，而且在点a附近的左侧_f_′__(_x_)_＜__0_，右侧 _f_′__(_x_)_＞__0_，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函 数y=f(x)的极小值. (2)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他 点的函数值都大，而且在点x=b附近的左侧_f_′__(_x_)_＞__0_，右侧 _f_′__(_x_)_＜__0_，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函 数y=f(x)的极大值.
当x∈(0,α)时，g′(x)＜0;当x∈(α,+∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)
在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.
【拓展提升】 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法: 第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的 最值问题; 第二步:利用导数求该函数的最值; 第三步:根据要求得所求范围.
(3) [g f( (x x ) )]fx g [x g x f]2 x g (x )g x 0 .
热点考向 一 解决不等式恒成立问题 【典例】 (2012·新课标全国卷)设函数f(x)=ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k 的最大值.
f'(x)=lnx-2ax,
因为f(x)在x=1处取得极值,
所以f'(1)=0,即-2a=0,所以a=0.检验,a=0符合条件.
(2)由题意,得xlnx-ax2-x<-x,所以xlnx-ax2<0.
因为x∈(0,+∞),所以 a ln x x .设 h x ln x x ,则 h x 1 x ln 2x .
【考情快报】 (1)主要考查与不等式恒成立有关的问题、利用导数证明
不等式、利用导数研究与方程的解有关的问题. (2)常与分式、指数式、对数式结合在一起考查，考查学
生的函数与方程的思想，转化与化归的思想及推理论证能力, 属中高档题.
【核心自查】 一、主干构建
二、概念理解 1.函数的单调性与导数的关系 若函数y=f(x)在某区间内可导，则 (1)f′(x)＞0⇒f(x)为_增__函__数__； (2)f′(x)＜0⇒f(x)为_减__函__数__； (3)f′(x)=0⇒f(x)为常数函数. 提醒：f′(x)＞0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件,f′(x)≥0是 函数f(x)为增函数的必要不充分条件.
三、重要公式 1．基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0; (2)若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=nxn-1; (3)若f(x)=sin x，则f′(x)=cos x; (4)若f(x)=cos x,则f′(x)=-sin x; (5)若f(x)=ax,则f′(x)=axlna(a＞0); (6)若f(x)=ex，则f′(x)=ex;
若a＞0，则当x∈(-∞,lna)时，f′(x)＜0;当x∈(lna,+∞)时，
f′(x)＞0,所以，f(x)在(-∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单
调递增.
(2)由于a=1，所以(x-k)f′(x)+x+1
=(x-k)(ex-1)+x+1.
故当x＞0时，(x-k)f′(x)+x+1＞0等价于
【解题指导】(1)先确定函数的定义域，然后求导函数f′(x)， 因a值的符号不确定，故应讨论，结合a的正负分别得出在每一 种情况下f′(x)的正负，从而确立单调区间； (2)分离参数k，将不含有参数的式子看作一个新函数g(x)，将 求k的最大值转化为求g(x)的最值问题. 【解析】(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f′(x)=ex-a, 若a≤0，则f′(x)＞0,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)函数思想法: 第一步:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值 问题; 第二步:利用导数求该函数的极值(最值); 第三步:构建不等式求解.
热点考向 二 利用导数证明不等式 【典例】(2013·淄博模拟)函数f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R). (1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求a的值. (2)若函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方,求a的取值范围. (3)求证:20132012<20122013.
【解题探究】(1)函数取得极值的必要条件是什么? 提示:其导数等于零. (2)函数f(x)的图象在直线y=-x图象的下方用代数式如何表示? 提示:f(x)<-x. (3)20132012<20122013与(1),(2)有何联系? 提示:20132012<20122013两边取对数即可找到联系.
【解析】(1)函数定义域为(0,+∞),
k＜
x ex
1 1
(xx＞0)
①
令g(x)=
来自百度文库
x ex
1 1
,
x
则g′(x)= exxex112 1e.x(eexxx122)
由(1)知，函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增，而h(1)＜
0,h(2)＞0，所以h(x)在(0，+∞)上存在唯一的零点，故g′(x)
在(0，+∞)上存在唯一的零点.设此零点为α,则α∈(1,2).
(7)若f(x)=logax,则f′(x)=
x
1 ln
a
(a＞0，且a≠1);
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
提醒：注意区分函数f(x)=ax与f(x)=logax的导数.
2．导数的四则运算 (1)［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x); (2)［f(x)·g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
令h'(x)>0,得0<x<e,所以h(x)在(0,e)上单调递增;
令h'(x)<0,得x>e,所以h(x)在(e,+∞)上单调递减.
2.函数的极值 (1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他 点的函数值都小，而且在点a附近的左侧_f_′__(_x_)_＜__0_，右侧 _f_′__(_x_)_＞__0_，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函 数y=f(x)的极小值. (2)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他 点的函数值都大，而且在点x=b附近的左侧_f_′__(_x_)_＞__0_，右侧 _f_′__(_x_)_＜__0_，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函 数y=f(x)的极大值.
当x∈(0,α)时，g′(x)＜0;当x∈(α,+∞)时，g′(x)＞0.所以g(x)
在(0,+∞)上的最小值为g(α).
又由g′(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).
由于①式等价于k＜g(α)，故整数k的最大值为2.
【拓展提升】 利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 (1)分离参数法: 第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的 最值问题; 第二步:利用导数求该函数的最值; 第三步:根据要求得所求范围.
(3) [g f( (x x ) )]fx g [x g x f]2 x g (x )g x 0 .
热点考向 一 解决不等式恒成立问题 【典例】 (2012·新课标全国卷)设函数f(x)=ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间; (2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k) f′(x)+x+1>0，求k 的最大值.
f'(x)=lnx-2ax,
因为f(x)在x=1处取得极值,
所以f'(1)=0,即-2a=0,所以a=0.检验,a=0符合条件.
(2)由题意,得xlnx-ax2-x<-x,所以xlnx-ax2<0.
因为x∈(0,+∞),所以 a ln x x .设 h x ln x x ,则 h x 1 x ln 2x .