刚体和流体的运动习题及解答

r2
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3-5 半径分别为 rA与 rB 的圆盘，同轴地粘 在一起，可绕通盘心且垂直于盘面的水平
光滑固定轴转动，对轴的转动惯量为J，
两园盘边缘都绕有轻绳，绳子下端分别
挂有质量为 mA与mB的物体 A和B，如图所示，若物体
A以aA上升，证明物体B的 质量：
mB
JaA mArA2 (g aA ) rArB g rB2aA
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解：设C为质心 MAa =MB b a+ b=1.5
MA
vA
.a
C
vB
b MB
b
=
MA (a+b ) MA +MB
=
60 ×1.5 =0.69m 60+70
a =1.5 0.69 = 0.81m
(1)系统的总角动量为：
MAa vA+ MB bvB=630 N.m/s
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(2)系统对质心C 的转动惯量为：
0 10.0rad / s
3-18 两滑冰运动员，质量分别为 MA= 60kg，MB= 70kg，它们的速率 vA= 7m/s vB= 6m／s，在相距1.5m的两平行线上相向 而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始 绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5 m。求该瞬时：
（1）系统的总角动量； （2）系统的角速度； （3）两人拉手前、后的总动能。这一过 程中能量是否守恒，为什么？
3-3 如图所示，两物体1和2的质量分别
为m1与m2，滑轮的转动惯量为J,半径为 r 。 （1）如物体2与桌面间的摩擦系数为μ，
求系统的加速度 a 及绳中的张力 T2 与 T2 （设绳子与滑轮间无相对猾动）；
（2）如物体2与桌面间为光滑接触，求系
统的加速度 a 及绳 中的张力 T1与 T2。 m 2
1 2
Jω
2
=E
k1=
2.73×103J
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3-20 如图，滑轮的转动惯量 J= 0.5kg· m2，半径 r =30cm，弹簧的劲度系数为 k = 20 N/m，重物的质量 m =2.0 kg。当此滑 轮一重物系统从静止开始启动，开始时弹簧 没有伸长。如摩擦可忽略，问物体能沿斜面 滑下多远？
rJ m
k 37 0
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解： b =x sin
mg b=
1 2
kx
2+
21mv 2+
1 2
Jω2
由题意： v = 0
r Jm
ω= 0
bx
mg b=
1 2
kx
2
k
x
=
2mg x k
sin
=
2×2×9.8×0.6 20
=1.176m
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3-22一长为 l =0.40m 的均匀木棒，质
m0=2.00kg，半径为 R=0.10m, 一根不能伸 长的轻绳，一端固定在定滑轮上，另一端系有
一质量为m=5.00kg的物体，如图所示。已知
定滑轮的转动惯量J=m0R2/2。其初角速度 ω0=10.0rad/s， 方向垂直于纸面向里。
求：
（1）定滑轮的角加速度； （2）定滑轮的角速度变化 到ω=0时，物体上升的高度；
cos
=
Mg
l
+
3 2
Mg l +
mgl
3 2
mg
Jω2
l
O
= 0.078
3l 4
l
= 94.060
m v A
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习题总目录
m 1g (m 2+m m 2+ J m 1+m 2 + J r 2
r 2)
T2 =
m 2g (m 1+m m 1+ m J m 1+m 2 + J r 2
r 2)
(2) m = 0
a
=
m
1+
m m
1g 2+
J
r2
T1 =
m 1g (m 2+ J m 1+m 2 + J
r 2) r2
T2 =
m 1m 2g m 1+m 2 + J
R
m0
ω
（3）当物体回到原位置时， 定滑轮的角速度。
m
解：（1） mg T ma T
TR J
a R
J m0 R2 2
mg/ (m m0 / 2)R
83.3rad s2
a R m0 ω
mg
T
(2) 2 02 2 h R
h 2 02 R 0.06m 2
(3) 根据机械能守恒，定滑轮回原位置时：
T2
T1 m1
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解：(1)
N
T2
f m2
T2 m 2g
a
α
T1 m1 a
T1 m 1g
m 1g T1 = m 1a T2 f = m 2a N m 2g =0
a =ra
f =m N =m m 2g
T1r T2 r = J a
解得：
a
=
m 1g m 1+m
mm 2+J
2g r
2
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T1 =
O
rA
rB
B A
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解：
T1 mAg= mA aA
T2 rB T1rA = J a
m Bg T2 = m BaB
aA=rA a
aA
aB= rB a
解得：
mB
JaA mArA2 (g aA ) rArB g rB2aA
T1 T1
rA
rB α
T2 T2
aB m Ag
m Bg
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3-7 一轴承光滑的定滑轮，质量为
J
=
31M
l
2+
m(
3 4
l
)2=
0.054
(1)系统角动量守恒
mv
(
3 4
l
)
=
Jω
O
3l 4
l
m vA
ω
=
m
v( J
3 4
l
)
=
0.008×200×
(
3 4
×
0.4
)
0.054
=8.87 rad/s
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(2)系统机械能守恒，设最大偏角为
Mg
2l (1
cos ) + mg
3 4
l
(1
cos )= 21Jω2
JC =MAa2+ MB b2 =72.7 kg.m2 由角动量守恒：
JCω =MAa vA+ MB bvB
ω = MAa
vA+ JC
MB
b
vB
=
630 72.7
=
8.67
rad/s
(3)拉手前的总动能
E k1=
1 2
MA
vA2+
1 2
MB
vB2=
2.73×103J
由机械能守恒，拉手后的动能为：
E k2=
量 M =1.00kg，可绕水平轴 0在竖直平面内
转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量
m = 8g 的子弹以 v =200m／s的速率从A点
射入棒中假定A点与0点的距离为 3l/4，如
图。求：
（1）棒开始运动时的
O
角速度；
（2）棒的最大偏转角。
3l 4
l
m Baidu NhomakorabeaA
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解：子弹射入后系统的转动惯量为：