材料力学中强度理论
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2013-7-14 25
选用强度理论时要注意： 1、破坏原因与破坏形式的一致性，理论计算与试
验结果要接近，一般： 第一（第二）强度理论适用于脆性材料（拉断）
第三、第四强度理论适用于塑性材料（屈服、剪断）
2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、
温度有关.同一种材料在不同情况下，破坏形式不
同,强度理论也应不同.例如：
塑性变形或断裂的事实。 ( 局限性： （1）未考虑σ2 的影响，试验证实最大影响达15% （2）不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象 （3）不适用于脆性材料的破坏
2013-7-14 22
max
0)
（二）关于屈服的强度理论
4、畸变能密度理论（第四强度理论） (Mises’s Criterion)
1 3
t max
1u
= b
t max
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1u
b
E
断裂条件 强度条件
1 1u
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
18
2013-7-14
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
【解】首先根据材料和应力状态确定破
坏形式，选择强度理论。 脆性断裂，最大拉应力理论 23 11 10
r1 = max= 1 [ t]
其次确定主应力
单位：MPa
max
2013-7-14
x y
2
1 2
x
y 4
2
29
2 xy
29.28 MPa
max
min
1 2 2 x y 1 2 2
x y
x
y 4
2
2
2 xy
29.28 MPa
2 y 4 xy 3.72 MPa x
1 29.28MPa 2 3.72MPa 3 0
r1 1 30 MPa
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都
是由于单元体的畸变能 (即形状改变比能)达到一
个共同的极限值。
d ds
2013-7-14 23
2 3
1 (1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 1 d 6E
= s
（二）两种强度失效形式
低碳钢拉伸破坏 塑性屈服失效
铸铁拉伸破坏 脆性断裂失效
2013-7-14
6
（二）两种强度失效形式
带环槽的低碳钢试件拉伸时，切槽根部脆性断裂。切槽导 致的应力集中使根部附近呈两向和三向拉伸型应力状态。
2013-7-14 7
（二）两种强度失效形式
圆柱形铸铁试件受压时，出现塑性变形，不再出 现脆性断口。此时材料处于压缩型应力状态。
15
r1 1
实验表明：该理论对于大部分脆性材料受拉应力作
用，结果与实验相符合，如铸铁受拉伸、扭转。
局限性： （1）没有考虑另外二个主应力的影响；
（2）无法应用于没有拉应力的应力状态； （3）无法解释塑性材料的破坏；
（4）无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏
的现象。
2013-7-14 16
对于翼缘和腹板交界处的a点:
z a y
S z 126 15 142 .5 10
*
9
2.69 10 4 m3
2013-7-14 33
126 9 300 15
c
z
y 对于中性轴上的c点
(S z ) max
*
135 126 15 142 .5 10 135 9 10 9 2 3.5110 4 m4
纯切应力状态
4
如何建立复杂应力状态下的强度条件？
• 难点之一：应力状态的多样性
• 难点之二：实验的复杂性与不可能性 不可能逐一通过试验建立失效准则；
解决这一问题的思路
（1）利用简单拉伸实验结果作为许用应力； （2）从某个失效形式出发寻找失效原因； （3）从失效原因导出强度计算公式。
2013-7-14 5
强度理论
主要内容 强度理论概述
四种常用的强度理论
莫尔强度理论
2013-7-14
2
一、强度理论概述
(一)基本变形下的强度条件
FN ,max max [ ] A M max max [ ] W * Fs S z max [ ] bI z
max
屈服条件 强度条件
1 ds (2 s2 ) 6E
1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
1 s 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 ns
2013-7-14
（拉压） （正应力强度条件） （弯曲） （剪切） （切应力强度条件） （扭转）
3
T [ ] Wt
式中
u [ ] , u : 破坏正应力 n u u : 破坏切应力 [ ] n
基本变形下危险点所处的应力状态：
（通过试验测定）
单向应力状态
2013-7-14
强度计算的步骤：
1、外力分析：确定所需的外力值 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画 出单元体，求主应力 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力， 然后进行强度校核
2013-7-14
28
【例1】已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸 许用应力 [t] =30MPa。试校核该点的强度。
畸变能密度理论
2013-7-14
13
（一）关于断裂的强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论） （Maximum Tensile-Stress Criterion）
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂，
都是由于单元体内的最大拉应力达到了一个共同的
极限值。
2013-7-14
t max
o max
2013-7-14 24
四种经典强度理论的相当应力
r1 1
b r 2 1 2 3 nb
r3 1 3
s
ns
1 s 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 ns
9
2013-7-14
34
126
300
Fsc左 75KN , M c M max 75KNm
最大正应力在b点
9
a y b
Mc 75 10 3 max 123 MPa [ ] 0.611 10 3 WZ max [ ] 但是 5% [ ]
仍在工程容许范围内,故认为是安全的。 a点的正应力和切应力分别为
1 3
2
s
o 1o 3
2
s
2
屈服条件 强度条件
2013-7-14
1 3 s
s r 3 1 3 ns
21
s r 3 1 3 ns
实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到
较为满意的解释，并能解释材料在三向均压下不发生
2013-7-14 8
（二）两种强度失效形式
圆柱形大理石试件，在轴向压力和围压作用下发 生明显的塑性变形；处于三向压缩应力状态。
2013-7-14
9
（二）两种强度失效形式
（1）屈服（流动） 特点：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面
粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，例如低
碳钢拉伸、扭转，铸铁压缩。 （2）断裂 无裂纹体 含裂纹体 特点：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较 粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如
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强度理论的基本思想 2 1 3
复杂应力状态 相当应力状态 强度理论
rd f ( 1 , 2 , 3 )
rd
强度条件
[]
已有简单拉伸试验资料
2013-7-14
12
二、四种经典强度理论
强度理论
关于断裂的理论
关于屈服的理论
最大拉应力理论
最大拉应变理论
最大切应力理论
FsD右 Fs max 85KN
20
M D 65KNm
32
2013-7-14
（4）确定几何性质
126 15 9 300
1 1 3 I z [ 126 300 117 270 3 ] 10 12 12 12
91.6 10 6 m4
91.6 10 6 Iz 0.611103 m3 Wz 0.15 ymax
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（二）关于屈服的强度理论
3、最大切应力理论（第三强度理论） （Tresca’s Criterion）
无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服， 都是由于单元体内的最大切应力达到了某一共同的 极限值。
max s
20
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2 1 3
= s
max
t来自百度文库
23 11 10
结论：该点的强度足够。
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单位：MPa
【例2】图示工字截面梁，已知F=80kN，q=10kN/m，许用应力
[σ]=120MPa。试对梁的强度作全面校核。 F C A 1m 2m D
300
F B 1m
126 9
E 2m
y
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31
15
q
z
F C A FA D
14
1、最大拉应力理论
t max
o max
2
1 3
= b
t max
1 ( 1 0)
o max
b
断裂条件
1 b
1 b
nb
强度理论中直接与[σ ]比 较的量,称为相当应力σri
强度条件
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r1 1
（一）关于断裂的强度理论
2、最大拉应变理论（第二强度理论） (Maximum Tensile-Strain Criterion)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于单元体内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变值。
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t max
1u
17
2、最大拉应变理论 2
F
【解】（1）求支座反力 q
FA 75KN, FB 105KN
E （2）作剪力图、弯矩图 （3）确定危险截面
B 2m 1m
FB
1m
FS（kN） 75
2m
Fs ,max 85KN , M max 75KNm
20
危险截面可能是C左或D右
85
5 M（kNm） 75 65
Fsc左 75KN M c M max 75KNm
M c ya 75 10 3 135 10 3 111MPa 6 IZ 91.6 10
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15
（5）校核C截面强度
z
126
M c ya 75 10 3 135 10 3 111MPa 6 IZ 91.6 10
9
300
Fsc S z 75 10 3 2.69 10 4 IZb 91.6 10 6 9 10 3
实验表明：该理论对于一拉一压的二向应力状态的 脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度 理论更接近实际情况。
局限性：
（1）第一强度理论不能解释的问题，未能解决； （2）在二向或三向受拉时，
r 2 1 ( 2 3 ) r1 1
似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。由于该理 论只与少数材料相符，已经很少采用。
铸铁受拉伸、扭转，低温脆断等。
2013-7-14 10
（三）复杂应力状态下的强度理论
强度理论——为了建立复杂应力状态下的强度条件
而提出的，关于材料在不同应力状态下失效的共同
原因的假说与计算方法。
强度理论的基本思想
无论材料处于何种应力状态，只要发生同一种 破坏形式，都假定是由于同一种因素引起的。将复 杂应力状态转化为一种相当的单向拉伸应力状态， 与材料简单拉伸的实验结果进行比较。
2013-7-14
26
低碳钢单向受拉时，产生塑性变形
第三、第四 强度理论
低碳钢三向均拉时，产生断裂破坏
铸铁单向受拉时，脆性拉断 铸铁三向均压时，产生屈服破坏
第一、第二 强度理论
第一、第二 强度理论 第三、第四 强度理论
3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂 力学中的脆性断裂准则进行计算。
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选用强度理论时要注意： 1、破坏原因与破坏形式的一致性，理论计算与试
验结果要接近，一般： 第一（第二）强度理论适用于脆性材料（拉断）
第三、第四强度理论适用于塑性材料（屈服、剪断）
2、材料的破坏形式与应力状态有关，也与速度、
温度有关.同一种材料在不同情况下，破坏形式不
同,强度理论也应不同.例如：
塑性变形或断裂的事实。 ( 局限性： （1）未考虑σ2 的影响，试验证实最大影响达15% （2）不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象 （3）不适用于脆性材料的破坏
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max
0)
（二）关于屈服的强度理论
4、畸变能密度理论（第四强度理论） (Mises’s Criterion)
1 3
t max
1u
= b
t max
1 1 [ 1 ( 2 3 )] E
1u
b
E
断裂条件 强度条件
1 1u
r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
18
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r 2 1 ( 2 3 ) [ ]
【解】首先根据材料和应力状态确定破
坏形式，选择强度理论。 脆性断裂，最大拉应力理论 23 11 10
r1 = max= 1 [ t]
其次确定主应力
单位：MPa
max
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x y
2
1 2
x
y 4
2
29
2 xy
29.28 MPa
max
min
1 2 2 x y 1 2 2
x y
x
y 4
2
2
2 xy
29.28 MPa
2 y 4 xy 3.72 MPa x
1 29.28MPa 2 3.72MPa 3 0
r1 1 30 MPa
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都
是由于单元体的畸变能 (即形状改变比能)达到一
个共同的极限值。
d ds
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2 3
1 (1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 1 d 6E
= s
（二）两种强度失效形式
低碳钢拉伸破坏 塑性屈服失效
铸铁拉伸破坏 脆性断裂失效
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6
（二）两种强度失效形式
带环槽的低碳钢试件拉伸时，切槽根部脆性断裂。切槽导 致的应力集中使根部附近呈两向和三向拉伸型应力状态。
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（二）两种强度失效形式
圆柱形铸铁试件受压时，出现塑性变形，不再出 现脆性断口。此时材料处于压缩型应力状态。
15
r1 1
实验表明：该理论对于大部分脆性材料受拉应力作
用，结果与实验相符合，如铸铁受拉伸、扭转。
局限性： （1）没有考虑另外二个主应力的影响；
（2）无法应用于没有拉应力的应力状态； （3）无法解释塑性材料的破坏；
（4）无法解释三向均压时，既不屈服、也不破坏
的现象。
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对于翼缘和腹板交界处的a点:
z a y
S z 126 15 142 .5 10
*
9
2.69 10 4 m3
2013-7-14 33
126 9 300 15
c
z
y 对于中性轴上的c点
(S z ) max
*
135 126 15 142 .5 10 135 9 10 9 2 3.5110 4 m4
纯切应力状态
4
如何建立复杂应力状态下的强度条件？
• 难点之一：应力状态的多样性
• 难点之二：实验的复杂性与不可能性 不可能逐一通过试验建立失效准则；
解决这一问题的思路
（1）利用简单拉伸实验结果作为许用应力； （2）从某个失效形式出发寻找失效原因； （3）从失效原因导出强度计算公式。
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强度理论
主要内容 强度理论概述
四种常用的强度理论
莫尔强度理论
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2
一、强度理论概述
(一)基本变形下的强度条件
FN ,max max [ ] A M max max [ ] W * Fs S z max [ ] bI z
max
屈服条件 强度条件
1 ds (2 s2 ) 6E
1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 s 2
1 s 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 ns
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（拉压） （正应力强度条件） （弯曲） （剪切） （切应力强度条件） （扭转）
3
T [ ] Wt
式中
u [ ] , u : 破坏正应力 n u u : 破坏切应力 [ ] n
基本变形下危险点所处的应力状态：
（通过试验测定）
单向应力状态
2013-7-14
强度计算的步骤：
1、外力分析：确定所需的外力值 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画 出单元体，求主应力 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力， 然后进行强度校核
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28
【例1】已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸 许用应力 [t] =30MPa。试校核该点的强度。
畸变能密度理论
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13
（一）关于断裂的强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论） （Maximum Tensile-Stress Criterion）
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂，
都是由于单元体内的最大拉应力达到了一个共同的
极限值。
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t max
o max
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四种经典强度理论的相当应力
r1 1
b r 2 1 2 3 nb
r3 1 3
s
ns
1 s 2 2 2 r 4 ( 1 2 ) ( 2 3 ) ( 3 1 ) 2 ns
9
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34
126
300
Fsc左 75KN , M c M max 75KNm
最大正应力在b点
9
a y b
Mc 75 10 3 max 123 MPa [ ] 0.611 10 3 WZ max [ ] 但是 5% [ ]
仍在工程容许范围内,故认为是安全的。 a点的正应力和切应力分别为
1 3
2
s
o 1o 3
2
s
2
屈服条件 强度条件
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1 3 s
s r 3 1 3 ns
21
s r 3 1 3 ns
实验表明：该理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到
较为满意的解释，并能解释材料在三向均压下不发生
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（二）两种强度失效形式
圆柱形大理石试件，在轴向压力和围压作用下发 生明显的塑性变形；处于三向压缩应力状态。
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9
（二）两种强度失效形式
（1）屈服（流动） 特点：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面
粒子较光滑，且多发生在最大切应力面上，例如低
碳钢拉伸、扭转，铸铁压缩。 （2）断裂 无裂纹体 含裂纹体 特点：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较 粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如
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强度理论的基本思想 2 1 3
复杂应力状态 相当应力状态 强度理论
rd f ( 1 , 2 , 3 )
rd
强度条件
[]
已有简单拉伸试验资料
2013-7-14
12
二、四种经典强度理论
强度理论
关于断裂的理论
关于屈服的理论
最大拉应力理论
最大拉应变理论
最大切应力理论
FsD右 Fs max 85KN
20
M D 65KNm
32
2013-7-14
（4）确定几何性质
126 15 9 300
1 1 3 I z [ 126 300 117 270 3 ] 10 12 12 12
91.6 10 6 m4
91.6 10 6 Iz 0.611103 m3 Wz 0.15 ymax
2013-7-14 19
（二）关于屈服的强度理论
3、最大切应力理论（第三强度理论） （Tresca’s Criterion）
无论材料处于什么应力状态，只要发生屈服， 都是由于单元体内的最大切应力达到了某一共同的 极限值。
max s
20
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2 1 3
= s
max
t来自百度文库
23 11 10
结论：该点的强度足够。
2013-7-14 30
单位：MPa
【例2】图示工字截面梁，已知F=80kN，q=10kN/m，许用应力
[σ]=120MPa。试对梁的强度作全面校核。 F C A 1m 2m D
300
F B 1m
126 9
E 2m
y
2013-7-14
31
15
q
z
F C A FA D
14
1、最大拉应力理论
t max
o max
2
1 3
= b
t max
1 ( 1 0)
o max
b
断裂条件
1 b
1 b
nb
强度理论中直接与[σ ]比 较的量,称为相当应力σri
强度条件
2013-7-14
r1 1
（一）关于断裂的强度理论
2、最大拉应变理论（第二强度理论） (Maximum Tensile-Strain Criterion)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于单元体内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变值。
2013-7-14
t max
1u
17
2、最大拉应变理论 2
F
【解】（1）求支座反力 q
FA 75KN, FB 105KN
E （2）作剪力图、弯矩图 （3）确定危险截面
B 2m 1m
FB
1m
FS（kN） 75
2m
Fs ,max 85KN , M max 75KNm
20
危险截面可能是C左或D右
85
5 M（kNm） 75 65
Fsc左 75KN M c M max 75KNm
M c ya 75 10 3 135 10 3 111MPa 6 IZ 91.6 10
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15
（5）校核C截面强度
z
126
M c ya 75 10 3 135 10 3 111MPa 6 IZ 91.6 10
9
300
Fsc S z 75 10 3 2.69 10 4 IZb 91.6 10 6 9 10 3
实验表明：该理论对于一拉一压的二向应力状态的 脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度 理论更接近实际情况。
局限性：
（1）第一强度理论不能解释的问题，未能解决； （2）在二向或三向受拉时，
r 2 1 ( 2 3 ) r1 1
似乎比单向拉伸时更安全，但实验证明并非如此。由于该理 论只与少数材料相符，已经很少采用。
铸铁受拉伸、扭转，低温脆断等。
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（三）复杂应力状态下的强度理论
强度理论——为了建立复杂应力状态下的强度条件
而提出的，关于材料在不同应力状态下失效的共同
原因的假说与计算方法。
强度理论的基本思想
无论材料处于何种应力状态，只要发生同一种 破坏形式，都假定是由于同一种因素引起的。将复 杂应力状态转化为一种相当的单向拉伸应力状态， 与材料简单拉伸的实验结果进行比较。
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26
低碳钢单向受拉时，产生塑性变形
第三、第四 强度理论
低碳钢三向均拉时，产生断裂破坏
铸铁单向受拉时，脆性拉断 铸铁三向均压时，产生屈服破坏
第一、第二 强度理论
第一、第二 强度理论 第三、第四 强度理论
3、如果考虑材料存在内在缺陷如裂纹，须利用断裂 力学中的脆性断裂准则进行计算。
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