极限的四则运算

..
例4:化下列循环小数为分数: (1)0.7;(2)0.28;(3)0.214.
.
解 :（1）0.7 0.7 0.07 0.007
0.7
7;
1 0.1 9
..
0.28 28
(2)0. 28 0.28 0.0028 0.000028
;
1 0.01 99
..来自百度文库
..
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014
n2
n
1 2
(2) lim [ 4 7 3n 1 ] 3
n n(n 1) n(n 1)
n(n 1) 2
(3) lim [ 1 1
1
] 1
n 1 4 4 7
(3n 2)(3n 1) 3
例3.已知 lim(2n an2 2n 1) 1 ，求常数 a、b
的值.
n
bn 2
.
..
前n项
和
为S
，
n
求
lim
n
Sn
小结：数列极限的几种常规类型：
(1) lim f (n) 型 n g(n)
（2）lim qn型 n
（3） 可 有 理 化 型
无穷等比数列问题
数列{an }是等比数列，且| q | 1,
则 所 有 项 和s
lim
n
Sn
a1 1q
练习:1、圆O1是边长为a的正三角形的内切圆,圆O2与 O1外切,且与AB、AC相切,圆O3与O2外切,且与AB、 AC相切,如此无限继续,求所有圆的面积之和S.
(2)混循环小数化为分数,这个分数的分子是小数点 后及第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分 数字所组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数 字是0,其中9的个数与一个循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.
.
如 ：0.6
6
2 .. ;0. 1 2
12
4 . . 370 10 ;0. 3 7 0 ;
S
C1
B2 B3
S S3
C21
C2 C3
即 B1C1 a
2a B1C1 2a
, B1C1
2a 3
.
A
故第一个正方形的边长a1=2a/3,面积S1=4a2/9.
设第n个正方形的边长为an,第n+1个正方形的边长为 an+1,则由ΔAnBnCn∽ΔAn+1Bn+1Cn+1得:
Bn 1C n1 BnCn
93
99 33
999 27
. 123 12 111 37 . . 231 2 229
0.12 3
;0.2 31
;
900 900 300
990 990
. . 3890 38 107
5.389 0 5
5 .
9900
275
11 1 例5:从数列 2 , 4 ,, 2n ,中取出无穷项,使其成为各项和
n项
和
，
求lim n
S
n
.
例8： 在半径为R的圆内接正n边形中，r n是边心距，
pn 是 周 长， S
是面积
n
1） Sn与pn有什么关系
2）
求
lim
x
rn与
lim
x
pn
R
3） 利用1 ),2 )的结果，
O rn
说明圆面积公式S R2
例9、已知首项为a1 ,公比为q ( 0 | q | 1)的无穷等比数列的
极限的四则运算 （三）
数列极限的四则运算：
如果
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b 那么
lni m(an bn ) a b
lim
n
(an
bn
)
a
b
lim an a (b 0)
b n n
b
lim (C
n
an
)
C
a
注：上述法则可推广到有限个数列的加，减，乘，除。
推广：上面法则可以推广到有限多个数列的
1 1 1
1
(6)lnim1 4
47
7 10
(3n
2)(3n
1)
124
2n
(7)
lim(
n
2
n
2n
2n
2n )
例6:如图所示,在Rt ABC内有一系列正方形,面积分别
为S1,S2,…,Sn,…,已知 tan A=1/2,BC=a,求所有这
些正方形的面积的和
B
解: BC a, tan A 1/ 2, AC 2a. B1
由ΔA1B1C1∽ΔABC:
B1C1 AC1 AC B1C1 ,
BC AC
AC
2 0.014 2 14 212 106 . 10 1 0.01 10 990 990 445
说明:
由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比 数列的各项之和,且有下列结论:
(1)纯循环小数化为分数,这个分数的分子就是一个循环 节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循 环节的位数相同.
n2， 若Pn
1 a1a2
1 a2a3
1 anan1
，
求lim n
Pn
.
练习：4.求下列极限：
n2 2n 3
(1)
lim
n
2n2
3n
7
n2 34
(2)
lim
n
n3
2n2
3n
4
n3 1
(3)
lim
n
2n2
3n
7
2n 3n1
(4)
lim
n
2n1
3n
(5)lim (1 a)(1 a2 )(1 a4 ) (1 a2n ) ( a 1) n
情况。例如，若 则：
an
，bn
，cn
有极限，
lnim(an
bn
cn
)
lim
n
an
lim
n
bn
lim
n
cn
特别地，如果C是常数，那么
lim(C
n
an )
lim C
n
lim
n
an
CA
例1.已知
lim
n
an
5,
lim
n
bn
3 ，求
lnim(3an
4bn )
例2:求下列极限
1 23
(1) lim n
为1/7的无穷等比数列.
解:设取出的数列的首项和公比分别为
1 2k
,
1 2r
(k, r
N * ).
1
由题设有: S
2k 1
1 2r
1 ,即7 2rk 7
2r 1.
因为2r-1为奇数,所以r-k≤0.
故只有k-r=0,即k=r,7=2r-1,从而2r=8,r=3. 即取出的数列的首项和公比都是1/8.
AC n1 ACn
an1 an
2an an1 2an
, an1
2 3 an.
由此可知:这一系列正方形的边长组成公比q=2/3的等
比数列,面积组成公比q2=4/9的等比数列.
故所有正方形的面积和S
S1 1 q2
4 5
a2.
例7.已知an为等比数列，公比q满足q 1，且
a1 a2 a3 18，a2 12，设Sn是数列an的前
a 2
答 案 ：S 12 3 a2 .
1 1 32
•
••
9
2.0.7 2.23 8 __________
练习：
1.设
lnim(2nan
)
1且
lim
n
an存
在
，
求lim(1 n
n）an
.
2.若 lim ( 5n2 an) b，求a b的值.
n 3 n
3.设 数 列an 的 前n项 和Sn