常用统计量及其应用

第四章 常用统计量及其应用

第一节 平均数与标准差的概念

一、平均数

反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为

n

x 1=

∑=n

i i

x

1

平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中，常用这一概念来反映事物的某些特征。

例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数等等。 二、标准差

样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。但是，平均数对整体的代表性是有条件的。

例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试，老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周300元，汤姆一听，欣然接受，上班一天后，来找老板，声称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。

平均工资 300元／周

说明：该厂平均工资尽管较高，但由于各个工资相差太大，平均数对整体的代表性较差。这就说明在实际应用中，仅有平均数是不够的，还要考虑到数据的离散程度。在数据相对比较集中时，平均数才具有代表性。

反映样本离散程度的统计量，称之为标准差

设样本观测值为21,x x …,n x 平均数为x ，看看如何来定量计算标准差？ 样本的离散程度自然是相对平均数x 而言的为此构造出

)(1

x x i n

i -∑

=

但上式各项有正有负，正负抵消

)(1

x x i n

i -∑

=＝0

所以要反映离散程度的大小可以让上式各项加以绝对值或求平方，但带绝对值后不便于处理，所以，选择后者从而有

21

)(x x i n

i -∑

=

上式与样本含量的大小有关，所以，求平均的

n

121

)(x x i n

i -∑

=

在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度（1-n ）代替n ，则是无偏的因此，构造

221

ˆ)(11s x x n i n

i =--∑= 上式中2

s 称为样本方差，还原成原来的量纲 则有

21

)(11x x n S i n

i --=

∑= S 称为标准差，反映样本的离散程度。 结束语：

样本平均数反映样本数据的整体水平，但是要结合标准差，标准差反映样本数据的离散程度对于运动成绩，表现为成绩的稳定性。

第6次课（3学时）

教学目的：通过本次课的教学，使学生了解平均数和标准差在体育中的具体应用，掌握利用

平均数和标准差制定评分评价标准的方法。

教学内容：平均数和标准差在体育中的应用 1．标准百分 2．累进计分

3．离差法制定评价标准 ４．在制定离差评价表中的应用

教学重点：１．标准百分和累进计分的计分思想 ２．离差评价表的制定过程

教学难点：累进计分法

教学内容的组织安排：标准百分和累进计分是体育统计的重要内容，在体育评分和评价中有

重要应用，为了让学生在实际工作中能正确地运用，教学中重点讲授计分思想，让学生掌握两种计分方法的实质。教学方法上，采用“探索式”教学教师提出想法，启发学生积极思维，探索出计分公式。

离差法制定评分价标准，主要借助于正态分布的概率计算，前面已学过，举一个例子讲解说明即可。

离差评价表的制定，纯属应用内容，简单、直观、举一个例子说明制表过程，学生即可接受。

需要强调，以上计分和评价方法的应用条件和各自的优点及缺点。 开始语

平均数和标准差是体育统计中两个重要的统计量，上次课学习了计算方法，本次课介绍它们在体育领域里的应用。

第二节 平均数和标准差在体育中的应用

平均数和标准差在体育中的应用很广，这里列举７个主要方面，分别加以介绍 一、标准百分（Ｔ分）

在体育工作中，人们得到的数据资料往往是体育项目的成绩，不便于对个体进行评价。加之，体育项目种类繁多，各项目的性质也相差较大，这给综合评价带来很大的不便。于是产生了体育计分方法，标准百分计分法就是其中的一种。 （一）标准百分的计分思想

设随机变量x 服从正态分布),(2

σu N ，则由正态分布的知识可知 %95)96.1u x 96.1u (P =σ+<<σ- %99)58.2u x 58.2u (P =σ+<<σ-

即：x v r ⋅⋅落在区间σ±58.2u 内的概率99%换句话说，来自总体的样本观测值（n 21x x ,x ⋯）中绝大部分都落在σ±3u 范围内，因此计分范围可以取σ3±u ，其中u 和

σ未知，可用样本平均数x 和标准差S 代替，从而计分范围可定为S x 3±（定为S 4x ±或

S 5x ±也行、但太大了不妥，也没有必要）

标准百分的计分方法是在范围S x 3±内均匀计分，两端点分别计零分或满分x 点计50分

（二）标准百分的计分公式

由上可知，区间S x 3±内单位长度的分值为S

6100

从而对于某个观测值1x 其标准百分为

田赛：S x

x 610050S 6100)x x (50T --+=-+= 径赛：S

x

x 610050S 6100)x x (50T ---=--= 若计分范围定为S 5x ±，则标准百分为

田赛：S )

x x (1050T -+=

径赛：S

)

x x (1050T --=

需要注意，原始变量必须是正态分布

例4.4已知某年级男生跳远成绩m 40.0S ,m 20.5x ==，其中甲成绩为m 85.5乙成绩为m 48.4试求他们的标准百分。

解：跳远成绩服从正态分布记为),(~2σu N x ，u 和σ分别用x 和S 代替，则可认为该年级男生的跳远成绩几乎都落在S 3x ±范围内，所以，在区间S 3x ±内计分。 根据上面计分公式，可的

08.7740.06)20.585.5(10050S x

x 610050T =⨯-⨯+=-+＝甲

2040

.06)

20.548.4(10050T =⨯-⨯+

=乙 二、累进计分 （一）累进计分的思想

标准百分有简单、直观、使用方便的优点。但由于该计分方法采用均匀计分，分值处理一样，没有与项目的难度联系起来，因此，不利于应用。在体育领域内，难度越大处分值应当越高，即分数随成绩的提高呈曲线上升，这就是累进计分的基本思想。 通常采用二次曲线 b ax y 2+=

（二）累进计分公式 由于体育项目多种多样，田赛和径赛项目情况不同，为了统一起见，将原始变量进行处

理。

设原始变量服从正态分布，样本平均数和标准差分别x 和S ，先对原变量x 作如下变换

田赛：S x

x u -=

径赛：S

x

x u -=

以上u 值有正有负，为了克服负值的干扰，再作变换

u D +=5（解释原因）