正定矩阵与性质
正定矩阵与性质
27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关，存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
正定矩阵的行列式
正定矩阵的行列式正定矩阵的性质：正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；若a是正定矩阵，则a的逆矩阵也是正定矩阵等等。
在线性代数里，正定矩阵有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
在线性代数里，正定矩阵 (positive definite matrix) 有时会简称为正定阵。
在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。
与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。
（1）正定矩阵的行列式恒为也已；（2）实对称矩阵a正定当且仅当a与单位矩阵合同；（3）若a就是正定矩阵，则a的逆矩阵也就是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积就是正定矩阵。
判定的方法：根据正定矩阵的定义及性质，辨别等距矩阵a的也已定性存有两种方法：1、求出a的所有特征值。
若a的特征值均为正数，则a是正定的；若a的特征值均为负数，则a为负定的。
2、排序a的各阶主子式。
若a的各阶主子式均大于零，则a就是正定的；若a的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则a为奇函数的。
对于n阶实对称矩阵a，下列条件是等价的：（1）a就是正定矩阵；（2）a的一切顺序主子式均为正；（3）a的一切主子式均为也已；（4）a的特征值均为正；（5）存有实对称矩阵c，并使a=c′c；（6）存在秩为n的m×n实矩阵b，使a=b′b；（7）存有主对角线元素全为正的实三角矩阵r，并使a=r′r矩阵是数学中一个重要的基本概念是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究,本文主要是通过特征值单位矩阵。
正定矩阵的性质及判定方法
和学生们一起学习利用导函数求函数单调性的知识内容时ꎬ向学生们提出了一个问题:已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａｘꎬ求函数ｆ(ｘ)的单调性.很快学生们便想到先求出这一函数的导函数ꎬｆᶄ(ｘ)＝１/ｘ－ａꎬ随后学生直接去求当这一导函数大于０的解ꎬ以及小于０的解ꎬ进而得出最后的单调性.很显然学生在解的过程中忽略的ａ的值ꎬ想当然的认为ａ的值大于０.于是ꎬ学生们在教师的引导下分类讨论这一问题.分出了三种大的情况当ａ小于０时ꎬ当ａ等于０时ꎬ当ａ大于０时.这样分类讨论这一问题ꎬ对这一问题有了很好的思考ꎬ同时ꎬ对导函数的内容理解得更加深刻.数学课堂教学过程中ꎬ教师通过巧妙地渗入分类讨论思想ꎬ成功地开阔了学生的思维空间ꎬ帮助学生整理了自己的学习思路ꎬ注重让学生自己探索解题过程ꎬ有效地锻炼了学生的解题能力ꎬ发展了学生多方面才能.㊀㊀四㊁引导探究思考ꎬ提升学生学习效率枯燥抽象早已是数学学科的代名词ꎬ教师一味地灌输ꎬ学生一味地机械记忆ꎬ会使得整个课堂学习效果不佳ꎬ效率不高.由此ꎬ教师需要创新改变ꎬ注重更多地从学生的角度开展教学ꎬ多开发学生主体这一学习资源.数学课堂学习中ꎬ教师可以注重引导学生自主探究思考ꎬ为学生创造更多的探究学习平台ꎬ间接激起学生探究学习欲望ꎬ促使学生深入体验学习ꎬ进一步提升学生课堂学习效率.例如:在教学 圆与方程 时ꎬ教师在课堂教学伊始向学生们提出问题:点与圆有着怎样的位置关系?直线与圆又有着怎样的位置关系呢?学生在教师问题的催动下主动地进入到思考探究中.很快学生们想到点与圆有三种位置关系:在圆外㊁在圆上㊁在圆内.并主动思考利用圆的方程式该如何去解决这一问题.同样通过圆方程以及直线方程该怎样得出直线与圆的位置关系.学生们就这样主动地探究分析ꎬ无形中对这部分数学知识有了很好的体验和认识.数学课堂教学中ꎬ教师选择将数学知识以问题的形式抛给学生ꎬ成功地为学生们搭建了一个探究学习的平台ꎬ让学生主动探究㊁积极思考ꎬ有效地锻炼了学生的探究思维能力.总之ꎬ学生地位日益凸显ꎬ教师教学过程中更加注重学生的学习过程ꎬ以促进学生发展为教学目的ꎬ这样才能更好地实现高效率数学课堂学习.在今后的数学教学中ꎬ教师要善于让学生自主探究㊁积极体验学习ꎬ让学生更多地参与学习活动ꎬ演绎魅力数学课堂.㊀㊀参考文献:[１]焦凤龙.基于核心素养的高中数学课堂教学策略[Ｊ].学周刊ꎬ２０１９(２５):４０.[２]谭锴ꎬ方采文.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１９(Ｚ１):４２.[责任编辑:李㊀璟]正定矩阵的性质及判定方法何守元(云南省丽江市丽江师范高等专科学校㊀６７４１００)摘㊀要:本文在定义基础上集中讨论了正定矩阵的性质㊁特征ꎬ并给出了矩阵正定性的判定方法.关键词:正定ꎻ矩阵ꎻ性质ꎻ判定方法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２４－００１８－０２收稿日期:２０２０－０５－２５作者简介:何守元(１９６４.１１－)ꎬ男ꎬ云南省丽江人ꎬ硕士ꎬ副教授ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀先看正定矩阵的定义:若一个实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ正定ꎬ则称矩阵Ａ为正定矩阵.显然ꎬ由定义可知:正定矩阵Ａ必须满足两个条件:首先ꎬＡ必须是实对称矩阵.否则不存在正定矩阵的概念ꎻ其次ꎬ以Ａ为矩阵的实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ必须是正定二次型ꎬ即Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.由此可得正定矩阵的一系列性质ꎬ它们是判定Ａ为正定矩阵的依据:性质１㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ与同价单位方阵Ｅ合同.㊀㊀(因为Ａ为正定矩阵的充要条件是实二次型ｆ(ｘ１ꎬｘ２ꎬ ꎬｘｎ)＝ＸＴＡＸ是正定二次型.)性质２㊀正定矩阵的行列式大于零.(或:正定矩阵必满秩㊁可逆.)它的等价命题是:行列式不大于零的实对称矩阵ꎬ不是正定矩阵.这只是判定正定矩阵的必要而不充分条件.例如:Ａ＝０１２１０１２１０æèççöø÷÷是实对称矩阵ꎬ且｜Ａ｜＝２>０ꎬＡ可逆８１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.(满秩)矩阵ꎬ但Ａ经过合同变换化为ｄｉｇ(１ꎬ－１ꎬ－１)ꎬ其负惯性指数为２ꎬ故Ａ不是正定矩阵.性质３㊀正定矩阵的逆也是正定矩阵.(因为Ａ＝ＰＴＥＰꎬＡ－１＝[(Ｐ－１)Ｔ]ＴＥ(Ｐ－１)ＴꎬＡ－１也与单位方阵Ｅ合同ꎬ必然正定.)性质４㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的特征根全大于零.这是因为:任意实二次型都可用正交变换化为标准型ꎬ标准型的矩阵的主对角元为它的特征根ꎬ必须全为正数.性质５㊀实对称矩阵Ａ为正定矩阵的充要条件是Ａ的顺序主子式全大于零.(这在一般教材上均有证明)综合以上定义和性质ꎬ不难看出ꎬ正定矩阵具有下列显著特征:(１)实对称矩阵(这是前提)ꎻ(２)满秩㊁可逆㊁行列式非零(这三个特征是等价的)ꎻ(３)与同阶单位方阵合同ꎻ(４)特征根全为正实数ꎻ(５)与同阶对角形方阵ｄｉｇ(ｔ１ꎬｔ２ꎬ ꎬｔｎ)相似且合同(其中ｔｉ为它的特征根).(６)行列式等于ｔ１ｔ２ ｔｎ(即:全部特征根的积).根据上述讨论ꎬ可得出正定矩阵的判别方法:判法１㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接计算它的顺序主子式ꎬ若全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若不全大于零ꎬ则Ａ非正定.例１㊀Ａ＝１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ꎬ其二阶顺序主子式Ｄ２＝１－１－１１æèçöø÷＝０ꎬ故它虽为实对称矩阵ꎬ但不是正定矩阵.这种方法对元素含有参数的矩阵正定性的讨论同样特别有效.例２㊀当ｔ为何值时ꎬＡ＝ｔ１－１１ｔ－１－１－１ｔæèççöø÷÷为正定矩阵?㊀显然ꎬ其顺序主子式Ｄ１＝ｔ>０ꎬＤ２＝ｔ１１ｔæèçöø÷＝ｔ２－１>０ꎬＤ３＝｜Ａ｜＝(ｔ＋２)(ｔ－１)２>０ꎬ由此可得:ｔ>１时Ａ为正定矩阵.判法２㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可直接解特征方程ｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝０ꎬ计算出Ａ的全部特征根.若特征根全大于零ꎬ则Ａ为正定矩阵.若特征根不全为正数ꎬ则Ａ非正定.例３㊀Ａ＝１－２２－２－２４２４－２æèççöø÷÷为实对称矩阵ꎬｆ(ｔ)＝｜ｔＩ－Ａ｜＝(ｔ－２)２(ｔ＋７)＝０ꎬ得特征根为２㊁２㊁－７ꎬ有一个根不是正数ꎬ故Ａ不是正定矩阵.判法３㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ则可用合同变换法ꎬ将其化为对角形矩阵.若对角形矩阵为单位方阵Ｅ(或:主对角元全为正数)ꎬ则Ａ为正定矩阵.否则ꎬ不是正定矩阵.如:上述例１中ꎬ对Ａ施行合同变换:１－１２－１１２２２４æèççöø÷÷ң１００００４０４６æèççöø÷÷ң１０００６４０４０æèççöø÷÷ңＡ＝１０００６０００－１６６æèçççöø÷÷÷ңＡ＝１０００１０００－１æèççöø÷÷.得到的对角形矩阵不是单位方阵(或对角元出现负数)ꎬ故Ａ不是正定矩阵.只有经合同变换后能变出单位方阵的实对称矩阵ꎬ才是正定矩阵.判法４㊀若Ａ为具体矩阵(元素全知)ꎬ可直接计算Ａ的行列式｜Ａ｜ꎬ若｜Ａ｜ɤ０ꎬ则Ａ不正定.这是根据性质２的等价命题来判定的.如:上述例１中ꎬ｜Ａ｜＝－１６<０ꎬ说明Ａ不是正定矩阵.注意:这是必要而不充分条件.行列式等于零的实对称矩阵当然不是正定矩阵ꎬ行列式大于零的实对称矩阵也不一定是正定矩阵.对于抽象矩阵ꎬ可根据题目给出的具体条件ꎬ灵活应用正定矩阵的性质作出判断.如看ｎ阶实对称矩阵的秩和正惯性指数是否都等于ｎ?与它合同的矩阵是否为正定矩阵?由题中信息是否可推知其特征根全为正数?是否可推知其顺序主子式全大于零?等等.例４㊀若Ａ是正定矩阵ꎬＥ是与Ａ同价的单位方阵ꎬ则ｋ为足够大的实数时ꎬ可以判定ｋＥ＋Ａ也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ的特征根为ｔｉ>０ꎬ则ｋＥ＋Ａ的特征根为ｔｉ＋ｋꎬ从而当ｋ足够大时ꎬ就可保证ｋＥ＋Ａ的特征根全为正数ꎬ使ｋＥ＋Ａ为正定矩阵.例５㊀若Ａ＝(ａｉｊ)是正定矩阵ꎬｂｉ(ｉ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ)是任意ｎ个非零实数ꎬ则Ｂ＝(ａｉｊｂｉｂｊ)也是正定矩阵.事实上ꎬ若Ａ正定ꎬ则其顺序主子式｜Ａｋ｜>０ꎬ而Ｂ的顺序主子式｜Ｂｋ｜＝ｂ２１ ｂ２ｋ｜Ａｋ｜>０ꎬ从而Ｂ也是正定矩阵.综上所述ꎬ深刻理解正定矩阵的定义和性质ꎬ就能在实际应用中对矩阵的正定性判别做到游刃有余ꎬ灵活自如!㊀㊀参考文献:[１]何守元.高等代数[Ｍ].北京:现代教育出版社ꎬ２０１５:１５.[２]刘振宇.高等代数的思想和方法[Ｍ].济南:山东大学出版社ꎬ２００９.[３]扬子胥.高等代数精选题解[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００８.[责任编辑:李㊀璟]９１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
正定矩阵及其应用
正定矩阵及其应用一、简介正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、判定方法以及应用等方面进行详细介绍。
二、定义正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0，其中A为n阶实对称矩阵，x为n维列向量，x^T为x的转置。
三、性质1. 正定矩阵的特征值均大于0。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
3. 正定矩阵是可逆矩阵，且其逆仍然是正定矩阵。
4. 正定矩阵可以进行Cholesky分解。
四、判定方法1. Sylvester判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的各个主子式均大于0时，A为正定矩阵。
2. 特征值判据：对于n阶实对称矩阵A，当且仅当A的所有特征值均大于0时，A为正定矩阵。
3. 等价判据：对于n维向量b和n*n实对称矩阵A，当且仅当对于任意非零向量x，都有b^T x > 0和x^T Ax > 0时，A为正定矩阵。
五、应用1. 矩阵分解：正定矩阵可以进行Cholesky分解，即将正定矩阵表示为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
这种分解可以用于求解线性方程组、矩阵求逆以及随机向量生成等问题。
2. 优化问题：正定矩阵可以用于求解最小二乘问题、线性规划问题以及二次规划问题等。
其中，最小二乘问题可以通过正定矩阵的Cholesky分解来求解。
3. 特征值计算：正定矩阵的特征值均大于0，因此可以用于计算特征值和特征向量。
在信号处理、图像处理以及物理学中都有广泛应用。
4. 概率论：正定矩阵在多元高斯分布中具有重要作用。
多元高斯分布的协方差矩阵是一个正定矩阵，它描述了不同变量之间的相关性和方差。
六、总结本文介绍了正定矩阵的定义、性质、判定方法以及应用等方面。
正定矩阵在数学和工程领域中都有广泛的应用，特别是在矩阵分解、优化问题、特征值计算以及概率论等方面具有重要作用。
正定矩阵地性质和判定方法及应用
正定矩阵地性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
在本文中，我将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及一些应用。
一、正定矩阵的性质：1.定义：设A是n×n矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，则A是正定矩阵。
2.特征值：正定矩阵的特征值都大于0。
3.对称性：正定矩阵一定是对称矩阵。
4.非奇异性：正定矩阵一定是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
5.可逆性：正定矩阵一定是可逆矩阵，即存在逆矩阵A^(-1)，使得AA^(-1)=I。
6.二次型：正定矩阵可以表示为二次型的矩阵形式。
二、正定矩阵的判定方法：1.主子式判定法：设A是n×n矩阵，如果A的所有n阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
2.特征值判定法：设A是对称矩阵，如果A的所有特征值都大于0，则A是正定矩阵。
3.正定矩阵的条件：设A是对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件是存在n阶非奇异矩阵B，使得A=B^TB。
三、正定矩阵的应用：1.优化问题：正定矩阵在优化问题中应用广泛。
例如，在最小二乘问题中，正定矩阵可用于求解线性方程组的最优解。
正定矩阵还可以用于确定函数的极小值点。
2.信号处理：正定矩阵在信号处理中有重要应用。
例如，在信号滤波中，通过构造正定矩阵，可以设计出有效的滤波器，对信号进行去噪或增强。
3.机器学习：正定矩阵在机器学习中也起到关键作用。
例如，在支持向量机中，可以使用正定矩阵的核函数来进行非线性分类。
正定矩阵还可以用于降维算法中的线性判别分析，提高分类的准确性。
4.最小二乘问题：正定矩阵可以用于解决最小二乘问题，即寻找一组关系最紧密的数据的最优拟合线。
通过构造正定矩阵，可以求得最小二乘问题的闭合解，提高计算效率。
综上所述，正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有许多重要的性质和判定方法。
正定矩阵在优化问题、最小二乘问题、信号处理、机器学习等领域中都有广泛应用。
正定矩阵的性质及应用
§1 0 0 ·
例
1
矩阵
A=
¨ ¨
0
2
-1¸¸ 的正惯性指数为 3，所以 A 是正定
¨© 0 -1 3 ¸¹
矩阵.矩阵
§0 1 1 ·
B=
¨ ¨
1
0
-3¸¸
¨© 1 -3 0 ¸¹
的秩为 3，但正惯性指数为 2≠3，即 B 不能合同于 I3，所以 B 不是正定矩阵。
例 2 证明：如果 A 是正定矩阵，那么 A-1 也是正定矩阵.
利用构造法巧解高中数学问题
王运行
（兰州新区舟曲中学 甘肃 兰州 730087）
【摘要】在中学数学中，构造法在技巧与方法中占据着非常重要的地位，它可以起到化繁为简，化难为易的作用，将中学数学中的技巧性展示的 淋漓尽致。下面笔者将从一些常见的数学问题中来阐述构造法的具体应用。
【关键词】构造 ；转化 ；中学数学解题应用 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）16-0266-02
aij xi x j 是正定二次型。
i1 j1
证明：必要性 设 A 是正定矩阵，则 A 与 In 合同，即存在 n 阶可逆矩阵 P，使得
令 那么
PT AP In X PY
f x1, x2,", xn X T AX PY T A PY
= Y T PT APY Y T InY
正定矩阵的性质和判定方法及应用
正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵在数学和应用中有着重要的地位和作用。
本文将介绍正定矩阵的性质、判定方法以及它们在实际应用中的应用。
一、正定矩阵的性质：1.所有的特征值都大于0：对于一个n阶矩阵A，如果其特征值全部大于0，则A是正定矩阵。
2.所有的主子式大于0：对于一个n阶矩阵A，如果它的所有k阶主子式都大于0，则A是正定矩阵。
其中，k为1到n的整数。
3.正定矩阵是满秩矩阵：正定矩阵的秩等于其阶数。
4.正定矩阵的转置也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其转置矩阵A^T也是正定的。
5.正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵：如果矩阵A是正定的，则其逆矩阵A^(-1)也是正定的。
二、正定矩阵的判定方法：1.使用特征值判定法：对于一个n阶矩阵A，计算其特征值λ1,λ2,...,λn，如果所有的特征值都大于0，则A是正定矩阵。
2.使用主子式判定法：对于一个n阶矩阵A，计算它的所有k阶主子式，如果所有的主子式都大于0，则A是正定矩阵。
3.使用矩阵的正定性矩阵判定法：一个n阶矩阵A是正定矩阵，当且仅当存在一个n阶可逆矩阵B，使得B^T*A*B是一个对角矩阵，且对角元素都大于0。
三、正定矩阵在应用中的应用：1.优化问题：正定矩阵在最优化问题中起着重要的作用。
例如，梯度下降法求解最小二乘问题中，需要对函数的海森矩阵进行判断是否为正定矩阵。
2.协方差矩阵：在统计学中，协方差矩阵是刻画多维随机变量之间关系的重要工具。
协方差矩阵是对称、半正定的。
3.特征向量的选择：在图像处理和模式识别等领域中，需要对数据进行降维处理，正定矩阵可以用于选择特征向量，帮助提取出最具有代表性的特征。
4.线性代数中的理论证明：正定矩阵在线性代数中有广泛的应用，用于证明各种定理，如线性变换的范数、二次表单的分类等。
总结起来，正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在数学和应用中有着广泛的应用。
它具有许多有用的性质和判定方法，可以应用于优化问题、协方差矩阵、特征选择和线性代数等领域。
关于正定矩阵的性质及应用的研究
，得证。
性质3 、 是正定矩阵，则 证明： 、 是正定矩阵，所以
是实对称矩阵。
对任意的 维列向量 ，
，
，其中 ，因 是任意的，所以
也是正定矩阵。
，
，有
学术研讨 135
，
，所以，
也是正定矩阵，得证。
性质4 是正定矩阵，则
、 、 也是正定矩
阵。
证明： 是正定矩阵，故
，，
， 是实对称矩阵。
若 是 的特征值，则 是 的特征值。由
134
◇朔州师范高等专科学校 董改芳
关于正定矩阵的性质及应用的研究
2019 年 第 6 期
正定矩阵是高等代数矩阵理论中非常重要的内容，本文给出了正定矩阵的一些性 质和判定方法，并在实例中得到了正定矩阵的一些应用。
二次齐次多项式在数学的其它分支、物理以及力学中常常用到，是一类非常重要的多
项式。二次型是数域上的二次齐次多项式，在讨论二次型时，我们把二次型
采用钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源可以将TiO2负载在玄武岩纤维 表面，但结合XRD分析，负载型的TiO2可能呈高度分散状态或 者无定形态存在。
4 结论 本文分别以钛酸四丁酯和四氯化钛为钛源，采用湿法化学 发在玄武岩纤维表面负载一层TiO2，采用X射线衍射仪和金相分 析仪对TiO2的负载情况进行初步的探索。实验结果表明，TiO2在 玄武岩纤维表面负载均匀，并且以无定形或者高分散状态存 在。
【参考文献】 [1] 胡显奇, 申屠年. 连续玄武岩纤维在军工及民用领域的应 用[J]. 高科技纤维与应用, 2005, 30(6): 7-13 [2] 曹海琳, 郎海军, 孟松鹤. 连续玄武岩纤维结构与性能试 验研究[J]. 高科技纤维与应用, 2007, 32(5): 8-13 [3] 姚勇, 徐鹏, 刘静, 等. 国内外玄武岩纤维耐腐蚀性能对比 研究[J]. 合成纤维工业, 2015, 38(5): 9 [4] Sim J, Park C. Characteristics of basalt fiber as a strengthening material for concrete structures[J]. Composites Part B: Engineering, 2005, 36(6): 504-512 [5] 王广健, 尚德库, 胡琳娜, 等. 玄武岩纤维的表面修饰及生 态环境复合过滤材料的制备与性能研究[J]. 复合材料学报, 2004, 21(1): 38-44 [6] 董丽茜, 陈进富, 郭春梅,等. 玄武岩纤维在环保领域的应 用研究现状及展望[J]. 当代化工, 2018(2) [7] 余娟, 周蓉, 邢建民. 耐高温针刺毡脱硝催化剂负载预处 理工艺探讨[J]. 山东纺织科技, 2018, 59(2): 1-5 [8] 耐高温玄武岩覆膜滤料的制备与性能的研究[D]. 浙江理 工大学, 2013 [9] 强降解VOC纳米TiO2光催化剂的制备及机理研究[D]. 华 中科技大学, 2015 基 金 项目：1、国家级大学生创新创业训练计划项目 （201810649050）；2、乐山师范学院引进教师科研启动项目 （Z16024）；3、乐山市科技重点研究项目（17GZD051）。 通讯作者：徐要辉，男，工学博士，乐山师范学院讲师， 主要从事功能材料的研究。
矩阵正定性
矩阵正定性矩阵正定性是矩阵理论中一个重要的概念，它涉及到多种不同的应用，包括机器学习、数值分析和优化算法等。
本文将尝试从定义及性质、证明、应用和实践（神经网络和解线性方程）四个方面，对矩阵正定性做一个全面的讨论。
一、定义及性质矩阵正定性是指一个实对称矩阵A的特征值全是正数，即$det(A)>0$。
它也可以称作为正定性，其最简单的定义是：矩阵A为正定矩阵，当且仅当$x^TAx>0， forall x in mathbb{R}^n$。
实对称矩阵A的正定性具有着重要的性质：（1）A的特征值全是正数；（2）A的对角性：$a_{ii}>0,forall i=1,2,...,n$；（3）A的非负对角性：$a_{ij} ge 0, forall ieq j$,即A的非对角元素均不小于0；（4）A的主对角线强度：$a_{ij}le a_{ii}a_{jj}, forall i eq j$；（5）A的半正定性：$x^TAx ge 0,forall xin R^n$，即A为半正定矩阵；（6）A的正定性：$x^TAx > 0,forall xin R^n$，即A为正定矩阵。
二、证明对于$A in mathbb{R}^{ntimes n}$，如果$Ax = 0$有非零解，则可以用定理证明$A$是非正定的：∵$x^TAx = 0$，$Ax = 0$，∴$A$不是正定的。
反之，如果$Ax = 0$没有非零解，则$A$为正定矩阵，所以可用拉格朗日定理证明：因为实对称矩阵$A$有特征分解$A=QLambda Q^T$，其中Q为特征向量矩阵，$Lambda$为特征值矩阵。
定理1表明，如果特征值全部严格大于零，则$A$为正定矩阵。
定理1：如果矩阵$A$为实对称矩阵，且其特征值$lambda_1,lambda_2,...,lambda_n$都是正数，则$A$为正定矩阵。
三、应用矩阵正定性有很多应用，其中最重要的是在机器学习中，矩阵正定性对数据建模有着重要的意义，可以用来估计机器学习模型的损失函数，分析数据的分布，发现其表现模式，并用来进行推断。
正定矩阵与特征值关系再探讨
正定矩阵与特征值关系再探讨正定矩阵与特征值关系再探讨引言：正定矩阵和特征值是线性代数中的重要概念。
正定矩阵具有很多独特的特性，而特征值则提供了关于矩阵行为的有用信息。
本文将进一步探讨正定矩阵与特征值之间的关系，并深入了解它们在数学和应用领域中的重要性。
第一部分：正定矩阵与特征值的定义和特性1.1 正定矩阵的定义和性质：正定矩阵是一个对称的实对称矩阵，其所有特征值均为正。
它具有以下重要性质：- 所有的主子式都大于零。
- 矩阵的所有特征值都为正。
- 它可以通过正交矩阵对角化。
- 它是一个非奇异矩阵。
1.2 特征值的定义和性质：特征值是一个矩阵对于某个非零向量的线性变换的倍数。
特征值具有以下重要性质：- 特征值可以是实数或复数。
- 矩阵的特征值可以通过求解特征方程得到。
- 特征值的和等于矩阵的迹，乘积等于矩阵的行列式。
- 特征值对应的特征向量构成了矩阵的特征空间。
第二部分：正定矩阵与特征值的关系2.1 正定矩阵与特征值的关系：正定矩阵的所有特征值都为正数。
这可以通过以下方式进行证明：假设A是一个正定矩阵，v是A的特征向量，λ是对应的特征值。
根据正定矩阵的定义，对于任意非零向量x有x^T * Ax > 0。
将v 代入可以得到v^T * Av > 0，即v^T * (λv) > 0。
由于v非零，所以v^T * v > 0。
因此，λv^T * v > 0。
由于v^T * v大于零，则λ大于零。
2.2 特征值的信息：特征值提供了关于矩阵行为的有用信息。
对于正定矩阵，特征值反映了矩阵的大小和形状：- 如果一个正定矩阵的所有特征值都相等，则它表示了一个等比例的缩放。
- 如果一个正定矩阵的特征值相差很小，则它表示了一个接近于球形的矩阵。
- 如果一个正定矩阵的特征值相差很大，则它表示了一个拉长或压缩的矩阵。
第三部分：正定矩阵与特征值的应用3.1 在优化问题中的应用：正定矩阵在优化问题中起着重要的作用。
正定矩阵的性质研究
正定矩阵的性质研究正定矩阵是矩阵理论中一种重要的特殊矩阵，具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍正定矩阵的定义、性质、判断方法以及相关应用，并对其进行研究和讨论。
1.正定矩阵的定义正定矩阵是指所有特征值均为正实数的矩阵。
对于n阶实方阵A，若对于任意非零n维实向量x，都有x^T*A*x>0成立，则称A为正定矩阵。
2.正定矩阵的性质(1)正定矩阵是对称矩阵，即A=A^T。
(2)正定矩阵的特征值都大于0。
(3)正定矩阵的主子矩阵也是正定的。
(4)正定矩阵的行列式大于0。
(5)正定矩阵是非奇异的，其逆矩阵也是正定的。
(6)正定矩阵与正交矩阵的乘积仍为正定矩阵。
3.正定矩阵的判断方法(1)对称矩阵的主子式全为正。
(2)所有特征值均大于0。
(3)利用矩阵的行列式、特征值等性质进行判断。
4.正定矩阵的应用(1)优化问题：正定矩阵在最优化问题中有广泛应用，如线性规划、二次规划等。
正定矩阵可以保证目标函数存在唯一的最小值。
(2)特征值问题：正定矩阵对应的特征值都大于0，可用于求解特征值和特征向量的问题。
(3)插值问题：在插值问题中，正定矩阵可用于构造插值函数，使得插值结果具有平滑性和稳定性。
(4) 矩阵分解：正定矩阵可进行Cholesky分解，用于求解线性方程组、正态分布等问题。
5.正定矩阵的研究和讨论(1)构造和求解算法：研究正定矩阵构造和求解算法，在数值计算、优化问题等领域具有广泛应用。
(2)正定矩阵的判定：对于大规模矩阵，判定其是否为正定矩阵是一个重要课题，需要设计高效的算法和方法。
(3)正定矩阵的扩展：研究正定矩阵概念的扩展，如半正定矩阵、严格正定矩阵等，进一步拓宽正定矩阵的应用范围和理论研究。
总之，正定矩阵在数学和工程中具有重要的地位和应用价值。
对正定矩阵的性质研究和应用展开讨论，可以促进矩阵理论的发展和应用的深入研究，并为解决相关问题提供有力的数学工具。
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。
基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。
关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。
这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。
作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。
本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。
1.正定矩阵的基本性质1.1 正定矩阵的定义设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。
1.2 正定矩阵的性质当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即：（1）aii＞0，i=1，2，……，n；（2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元；（3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式；（4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立；而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中都会有一定的涉及，值得我们给予重视。
推论1：与正定矩阵合同的实对称矩阵也是正定矩阵；推论2：与正定二次型等价的实二次型也是正定的，从而满秩的实线形替换不改变实二次型的正定性；推论3：若A，B∈Mn（K）都是正定矩阵，则A+B，kA也是正定的（k>0）；推论4：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的维数n；推论5：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E；推论6：A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=CTC。
正定矩阵通俗解释
正定矩阵通俗解释
正定矩阵是线性代数中的一个重要概念。
通俗来说，正定矩阵可以被认为是一种特殊的矩阵，它具有一些特定的性质。
正定矩阵是一个方阵（即行数等于列数的矩阵）。
它的每个元素都是实数，且满足以下条件：对于任意非零的实数向量x，都有x^T A x > 0，其中x^T表示向量x的转置。
直观地说，正定矩阵的定义告诉我们，如果将一个非零的实数向量
x与正定矩阵A进行矩阵乘法运算，得到的结果x^T A x一定大于0。
这可以理解为正定矩阵所定义的二次型函数（即x^T A x）在所有非零向量上的取值都是正数。
正定矩阵的这一性质在很多应用中非常有用。
例如，在优化问题中，我们常常需要求解最小化一个二次型函数的问题。
如果该二次型函数的矩阵是正定的，那么我们可以通过对该函数进行求导，找到其最小值的解析解。
此外，正定矩阵还与正交变换、特征值分解、协方差矩阵等概念密切相关。
正定矩阵的一些重要性质包括：所有的特征值都是正数，行列式大于零，所有的主子式也都大于零。
这些性质使得正定矩阵在实际问题中有着广泛的应用，如数值计算、信号处理、机器学习等领域。
正定矩阵是一种具有特殊性质的矩阵，它定义了一个二次型函数，该函数在所有非零向量上的取值都是正数。
正定矩阵在数学和应用
中都有着重要的地位，并且在各个领域中都有着广泛的应用。
正定矩阵的性质及应用
正定矩阵的性质及应用摘要： 正定矩阵是矩阵理论中的一类重要的矩阵，且在多个不同领域内均有重要的作用，本文回顾了正定矩阵的发展史、性质及应用。
矩阵理论的应用愈来愈广，它在众多学科和领域中发挥着不可替代的作用，如在数学分析中用黑塞矩阵来判断函数的极值等。
把矩阵理论应用到这些数学学科中时，使很多问题变得简单明了.关键字： 正定矩阵；主子式；顺序主子式；特征值.研究矩阵的正定性，在数学理论或应用中具有重要意义，是矩阵论中的热门课题之一.正定矩阵具有广泛的应用价值，是计算数学、数学物理、控制论等领域中具有广泛应用的重要矩阵类，其应用引起人们极大的研究兴趣.本文首先给出了正定矩阵的定义，然后研究了正定矩阵的一些等价条件和一些正定矩阵的若干性质，最后简单的列举了一些正定矩阵在数学其它方面的应用．一、正定矩阵的定义定义1.设),,,(21n x x x f 是一个实二次型，若对任意的一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ,则称),,,(21n x x x f 是实正定二次型，它所对应的对称矩阵为正定对称矩阵，简称正定矩阵.定义2.n 阶是对称矩阵A 称为正定矩阵.如果对于任意的n 维实非零列向量),,,(21n x x x f X =都有0>'A X X ，正定的是对称矩阵A 简称为正定矩阵.注：二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定型，不具备有定型的二次型及其矩阵为不定.二次型的有定型与其矩阵的有定型之间具有——对应关系.因此，二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性的判别.二．正定矩阵的一些性质1.正定矩阵的充分必要条（1）n 元实二次型),,,(21n x x x f 正定⇔它的惯性指数为n . 证：设二次型),,,(21n x x x f 经过非退化矩阵实线性替换成标准=),,,(21n x x x f 2222211n n y d y d y d +++ （1）由“非退化线性替换保持正定性不变”可知),,,(21n x x x f 正定当且仅当2222211n n y d y d y d +++ 是正定的？？由二次型2222211n n y d y d y d +++ 正定当且仅当i d 0>.n i ，， 2,1=.因此二次型正惯性指数为n .（2）一个是对称矩阵A 正定⇔A 与E 合同.既∃可逆矩阵C ，使得C C A '=. 在证明此条件之前先给出一个定义及两个定理：定义：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成221221r p p z z z z ---+++称为实二次型),,,(21n x x x f 的规范形.定理：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可变成规范形，且规范形是唯一的.以下就是上述从要条件的证明：证:正定二次型),,,(21n x x x f 的规范形为22221n y y y +++ （2）因此（2）式的矩阵为单位矩阵E .所以一个是对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同. (3) 实二次型AX X x x ax x x f T j i n i nj ijn ==∑∑==1121),,,( 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.证：必要性：设二次型j i n i nj ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,(是正定的.对于每个k ，n k ≤≤1，令j i k i kj ij k k x x a x x f ∑∑===111),,(我们来证k f 是一个k 元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数k c c ,,1 ，有0)0,0,,,(),,(1111>==∑∑== k j i k i kj ij k k c c f c c a c c f因此),,(1k k x x f 是正定的.由上面的推论，k f 的矩阵的行列式n k a a a a kkk k ,,101111=>，这就证明了矩阵A 的顺序主子式全大于零. 充分性：对n 作数学归纳法当1=n 时,21111)(x a x f =由条件011>a ,显然有)(1x f 是正定的.假设充分性的论断对于1-n 元二次型已经成立，现在来证n 元的情形.令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,11,1111n n n n a a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-n n n a a ,1,1 α于是矩阵A 可以分块写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=nn a A A αα1既然A 的顺序主子式全大于零，当然1A 的顺序主子式也全大于零.由归纳假定，1A 是正定矩阵，换句话说，有可逆的1-n 级矩阵G 使11-='n E G A G这里1-n E 代表1-n 级单位矩阵，令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001G C ，于是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡'⎥⎦⎤⎢⎣⎡'='-nn n nn a G G E G a A G AC C αααα1111100100再令⎥⎦⎤⎢⎣⎡'=-10-12αG EC n 有⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-=''--1010111-n 2112ααααG E a G G E G E C AC C C n nn n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-=-ααG G a E nn n 001 令21C C C = , 则a G G a nn =''-αα，于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='a AC C 11 再取行列式 ， a A C =2，由条件，0>A .因此0>a .显然有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡a a a 111111111 这就是说，矩阵A 与单位矩阵合同，因之，A 是正定矩阵，或者说，二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的.(4) 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的主子式全大于零. 证：必要性:对A 的任一k 阶主子式为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 2122212k 12111存在某个排列矩阵P ，使AP P '的k 阶顺序主子式为k A ,因为0>A ，所以02>='='P A P A P AP P由矩阵充要条件(3)知0>k A .充分性：由A 的主子式全大于零知： A 的顺序主子式全大于零.再由充要条件（3）知“充分性”成立.（5） 一个是对称矩阵A 正定⇔A 的特征值全大于零.证:必要性：由于对称矩阵A 是正定矩阵.因为∃一个正交矩阵T ,使AT T '成对角型的对角线上的元素均为正值.又由对角线的元素又为A 的所有特征值. 因此A 的特征值均为正数.充分性：当对称矩阵A 的特征根都为正数时，对角型矩阵AT T '对角线上的元素均为正数.因为AT T '为正定矩阵，又由于T 为正交阵.所以A 是正定阵.（6）A 、B 是是对称矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B A C 00正定⇔A 、B 均正定.证：必要性：A 、B 因为是对称矩阵.所以C 是实对称矩阵.又因为C 是正定的由充分必要条件（4）知：A 、B 均为正定的充分性：因为A 、B 是正定. 所以∃正交矩阵P 、Q 使得AP P '、BQ Q '为对角阵.所以C 可经合同变换化为对角型，且对角线上的元素为A 、B 的特征值且都大于零.所以C 正定. 2.性质：设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价. <1>A 是正定矩阵. <2>1-A 是正定矩阵.<3>A '是正定矩阵. <4>A A '+是正定矩阵.<5>对任意n 阶可逆矩阵P ,AP P '是正定矩阵.<6>A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.证：<1>⇒<2> 若A 是正定的，则存在实可逆矩阵C ，使C C A '=，因为)()(1111'='=----C C C C A又因为C 可逆，于是1-C也是是可逆矩阵所以1-A 也是正定矩阵.⇒<3> 因为A 是正定矩阵，于是存在可逆C 使C C A '=，则C C C C C C A '='''=''='))(()(所以A '是正定矩阵.⇒<4> 因为A 是正定矩阵，于是A A '=，则A A A 2='+.又因为∀nC X ∈都有0>'A X X ，所以02>'A X X ，即0)2(>'X A X所以A 2正定矩阵，因此A A '+就是正定矩阵.⇒<5> 因为A 是正定矩阵，所以∀nC X ∈使得 0>'A X X .令PY X =, 则有nC X ∈为任意的，则Y 为任意的.因此0>''APY P Y因此AP P '为正定矩阵.⇒<6> 设n n ij a A ⨯=)(是正定的，A 的任意k 级主子式对应的矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k k k i i i i i i i i i i ii i i i i i i k a a a a a a a a a A 212221212111设A 与k A 的二次型分别为AY Y '和AX X '，对任意=0X 0),,(21≠'n i i i b b b 取),,,(210n c c c Y =≠0,其中=k c 12,(,,0k n b k i i i =⎧⎨⎩)，其它 n k ，，21= 由A 正定知0>'A Y Y ，故0>'A X X 既AX X '是正定的.因此k A 正定，所以A 的各阶主子矩阵是正定矩阵. 还可以由上面的充分必要条件（4）知A 的各阶主子式都大于零可以推得A 的各阶主子矩阵是正定矩阵.以上给出了正定矩阵的一些充分必要条件及性质，以下我们就来探讨一以下正定矩阵在一些方面的应用.三．正定矩阵的应用（1）从二次型理论的起源，既从化二次型曲线和二次型曲面为标准形的问题入手, 我们发现二次型理论对二次型理论对二次型曲线和二次型曲线的方程的化简有着重要的意义. 例1.利用直角坐标变换化简如下二次曲面的方程,032682223222=++--+++z y x xy z y x 其中)1,3,4(),,,(--='='B z y x X⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200021013A 解：作平移变换：),,(,321ααααα='-=Y X 则有03)(2)()(=+-'+-'-αααY B Y A Y即0322=+'-'+'+'-'-'αααααB Y B A AY A Y AY Y 令32+'-'=αααβB A又因为A A AY A Y =''=',αα，所以0)(2=+'--'βαY B A AY Y适当的选取，α使B A =α,由秩=A 秩A 3=,知：B A =α(线性方程组）有唯一解：211321===ααα，由B A ',,α可得29-=β，又由于A 是实可逆矩阵，所以存在正交矩阵T ,使得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='321λλλAT T 使得25-525523,21=+==λλλ，， 为A 的特征根作正交线性替换)(,321Z Z Z Z TZ Y '''='=，，，则 23222123322221125-52552Z Z Z Z Z Z AY Y '+'++'='+'+'='λλλ 即原方程可化简为02552552232221='-+'++'Z Z Z （2）用正定二次型的理论来判定多元函数极值存在的充分必要条件是很方便的.定义1.设n 元函数),,,()(21n x x x X f =在n n R x x x X ∈'=),,(,21 的某个领域内有一阶，二阶连续函数偏导数，记)(),()(21X f x fx f x f X f n∇∂∂∂∂∂∂=∇，，， 称为函数)(X f 在点)(21'=n x x x X ，，， 处的梯度，或记为)(x gradf .定义2. 设n 元函数)(x f 对各自变量具有二阶连续偏导数，则矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212111)( 称作是)(x f 在n P 点的黑塞矩阵.)(X H 是由)(x f 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶方阵是对称矩阵.定理1.（极值的必要条件） 设n 元函数)(x f 其中)(21n x x x X ，，， =的对各自变量具有一阶连续偏导数，n n R x x x X ∈=),,,(002010 是)(x f 的一个驻点，则)(x f 在)002010n x x x x ，，，（ =取得极值的必要条件是0)()(r n210x x x fx f x f x adf g ='∂∂∂∂∂∂=，，， 定理 2.（极值的充分条件） 设函数)(x f 在点的某个领域内有一阶、二阶连续偏导数，且0))()()(()(n02010=∂∂∂∂∂∂=∇x x f x x f x x f x f ，，， 则： （1）当)(0x H 为正定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极小值. (2) 当)(0x H 为负定矩阵时，)(0x f 为)(x f 的极大值. (3) 当)(0x H 为不定矩阵时，)(0x f 不是)(x f 的极值.例2.求函数321212221321212),,(x x x x x x x x x f ++++=的极值. 解：因为22,122,123331221211+=∂∂+=∂∂+=∂∂x x f x x x f x x x f又因为0,0,0321=∂∂=∂∂=∂∂x f x f x f 得驻点)1,144,24(,)1,0,0(10'--='=X X .)(x f 得各二阶偏导数为：2,0,2,2,12,623231222*********12=∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂x fx x f x f x x f x x f x x f 得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122126)(1x X H在0X 点处，又得矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20202122120)(0X H , 而)(0X H 的顺序主子式 0152det ,0144212120det ,0det 321<-=<-===H H H故)(0X H 不定，0X 不是极值点，在点1X 处，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2020212212144)(1X H而)(1X H 的顺序主子式02802020212212144det 014421212144det ,0144det 321>==>==>=H H H ，故)(1X H 为正定矩阵. )1,144,24(1'--=X 为极小值点.极小值6913)1,144,24()(1-=--=f x f例3.正定矩阵与柯西不等式 我们学过柯西不等式的表达式为∑∑∑===≤ni i ni ini i i y x y x 022.同时，也可将其用内积的形式来表示为βαβα≤⋅.设矩阵()ij a A =是一个n 阶正定矩阵，对任意向量()321,,,x x x =α，()321,,,y y y =β，我们定义∑∑===⋅n i nj jiij yx a 00βα,从中我们可以看出这是n 维向量的内积.相反，我们可以得出，对于n维向量的任意一种内积，一定存在一个n 阶正定矩阵()ij a A =使得对任意向量α和β可以∑∑===⋅n i nj j i ij y x a 00βα来定义.因此，给定了一个n 阶正定矩阵，在n 维向量间就可以由这个矩阵定义一个内积，从而可以得到如下相应柯西不等式：∑∑∑∑====≤ni j i ijn i n j jiij ni ji ij y y ax x a yx a 000证明：不等式32212322213221232221132332213322112)(2y y y y y y y x x x x x x x y x y x y x y x y x y x y x --++--++≤----++对所有的321,,x x x 和321,,y y y 均成立.证：有题意可得βα⋅是由矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=210121012A 所定义的，则可以得到矩阵A 的顺序主子式 04210121012,032112,02>=---->=--> 因此矩阵A 是正定矩阵，所以该不等式是由正定矩阵A 所确定的内积产生的柯西不等式，既不等式成立.从该例题中也可将不等式推广为：∑∑∑∑∑∑=-=+=-=+=-=++--≤+-ni n i i i in i n i i i i n i n i i i i iii y y yxx x y x yx y x 1111211112111112)(2其中*N n ∈,),,2,1(,n i y x i i =是任意实数.四．结束语本文针对正定矩阵有了深刻的理解.本文探讨了矩阵的各类性质及在不等式、多元函数极值问题中的应用.作为在矩阵中占有特殊地位的正定矩阵，其应用的范围也更加广泛，但由于本人目前能力有限，待做深入研究.参考文献：1.王萼芳、石生明，高等代数[M].北京：高等代数出版社.2003.205-236.2.董可荣、包芳勋，矩阵思想的形成与发展[J].自然辩证法通讯。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
正定矩阵的性质和判定方法及应用正定矩阵是线性代数中的一个重要概念，具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍正定矩阵的定义、性质和判定方法，并且讨论一些应用领域。
1.正定矩阵的定义在矩阵理论中，一个n×n实对称矩阵A被称为正定矩阵，如果对于任何非零向量x∈R^n，都有x^TAx>0，即x的转置乘以A再乘以x的结果大于零。
2.正定矩阵的性质（1）正定矩阵的所有特征值都大于零。
这是因为对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。
设v是A的特征向量，对应的特征值是λ，则有Av=λv，可以计算x^TAx=x^T(λv)=λx^Tv。
由于x和v都是非零向量，所以λ必须大于零。
（2）正定矩阵的特征值分解不存在负值。
根据性质（1），正定矩阵的特征值都大于零，因此没有负值。
（3）正定矩阵的行列式大于零。
由特征值的性质可以得到，一个正定矩阵的行列式是它的特征值的乘积，因此行列式大于零。
（4）正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
设A是正定矩阵，对于任意非零向量x，都有x^TAx>0。
我们可以将这个不等式两边同时乘以x^TA^-1，得到x^Tx=x^TAA^-1x，即A^-1是正定矩阵。
3.正定矩阵的判定方法（1）主元顺序准则：一个n×n矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有n阶主子式均大于零。
主子式是从A的每一行和每一列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。
（2）Sylvester准则：一个n×n 实对称矩阵 A 是正定矩阵，当且仅当 A 的所有顺序主子式大于零。
顺序主子式是从 A 的前 k 行和前 k列中选择相同编号的元素，并且这些元素所构成的矩阵的行列式。
（3）特征值判定法：一个n×n实对称矩阵A是正定矩阵，当且仅当A的所有特征值都大于零。
4.正定矩阵的应用正定矩阵在数学和工程领域都有广泛的应用，如下所示：（1）最优化问题：正定矩阵是最有用的约束条件，用于定义凸优化问题的约束集合。
正定矩阵的和是正定矩阵证明
一、正定矩阵的定义正定矩阵是指一个n×n的实对称矩阵A，对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，其中x^T表示x的转置。
正定矩阵A对于所有非零向量x，都满足x^T*A*x大于零，即x^T*A*x是一个正数。
正定矩阵的重要性在于它在数学和应用中有着广泛的应用，特别是在优化问题和线性代数中。
二、正定矩阵的和是正定矩阵的证明假设A和B是两个n×n的实对称正定矩阵，我们需要证明A+B也是一个正定矩阵。
1. 首先证明A+B是一个对称矩阵由于A和B都是对称矩阵，那么A+B的转置就是(A+B)^T = A^T + B^T = A + B，即A+B是一个对称矩阵。
2. 其次证明A+B是半正定矩阵对于任意非零向量x，我们有x^T*(A+B)*x = x^T*A*x + x^T*B*x。
由于A和B都是正定矩阵，所以x^T*A*x和x^T*B*x都大于零，因此x^T*(A+B)*x也大于零，即A+B是半正定矩阵。
3. 最后证明A+B是一个正定矩阵我们已经证明了A+B是一个对称矩阵且是半正定矩阵，现在我们需要证明A+B对于所有非零向量x都满足x^T*(A+B)*x大于零。
我们可以通过正定矩阵的定义来证明这一点。
对于任意非零向量x，我们有x^T*A*x > 0和x^T*B*x > 0，那么x^T*(A+B)*x = x^T*A*x +x^T*B*x大于零。
A+B也是一个正定矩阵。
我们证明了如果A和B都是对称正定矩阵，那么它们的和A+B也是一个正定矩阵。
这个结论上线性代数和优化问题中具有重要的意义，并且在实际应用中有着广泛的用途。
总结：正定矩阵的性质是线性代数中非常重要的内容，正定矩阵的和是正定矩阵的证明也为我们理解正定矩阵的性质提供了重要的理论基础。
在实际应用中，正定矩阵的性质和结论为我们解决实际问题提供了有效的工具和方法。
希望本文对您对正定矩阵有更深入的理解有所帮助。
正定矩阵及其性质在数学和应用中具有重要的意义，特别是在优化问题和线性代数中经常被应用。
正定矩阵条件
正定矩阵条件正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我们将探讨正定矩阵的定义、性质以及其在优化问题和统计学中的应用。
一、正定矩阵的定义和性质正定矩阵是指对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0成立的矩阵A。
其中，x^T表示x的转置，A表示矩阵。
1.1 正定矩阵的定义设A是一个n阶矩阵，如果对于任意非零向量x，都有x^T Ax > 0成立，则称A是正定矩阵。
1.2 正定矩阵的性质（1）正定矩阵的特征值都大于0。
（2）正定矩阵的行列式大于0。
（3）正定矩阵的所有主子矩阵都是正定矩阵。
（4）正定矩阵可逆，且其逆矩阵也是正定矩阵。
（5）正定矩阵的转置仍然是正定矩阵。
二、正定矩阵的应用正定矩阵在优化问题和统计学中有着广泛的应用，下面我们将分别介绍其应用领域。
2.1 优化问题中的应用在优化问题中，正定矩阵常常用于描述二次型函数。
二次型函数在优化问题中有着重要的地位，其最优化问题可以通过正定矩阵的特征值分解来求解。
具体来说，如果一个二次型函数f(x) = x^T Ax，其中A是正定矩阵，我们希望找到使f(x)取得最小值的向量x。
根据正定矩阵的性质，我们可以通过求解方程Ax = 0来找到极小值点。
2.2 统计学中的应用在统计学中，正定矩阵常常用于描述多元正态分布的协方差矩阵。
多元正态分布是一种重要的概率分布，其协方差矩阵描述了各个随机变量之间的关联程度。
具体来说，设X是一个n维随机向量，其协方差矩阵为Σ。
如果Σ是正定矩阵，则X服从多元正态分布。
正定矩阵的正定性保证了多元正态分布的非负性和方差的存在性。
三、总结正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文从正定矩阵的定义和性质入手，介绍了其在优化问题和统计学中的应用。
正定矩阵的研究和应用是线性代数和数学优化领域的重要课题，对于理解和解决实际问题具有重要的指导意义。
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22
4 2t 4 4t t 3t 4t t (3t 4) 0.
2 2 2
t (3t 4) 0, t1 4 / 3, t 2 0. 4 / 3 t 0.
23
定义 实对称矩阵A的第 i1 ,, ik 行和第 i1 ,, ik
设A是正定矩阵,则对于非零向量 X i ( x1 ,, xi ),
Xi X Ai X ( X O ) A 0. O
T i T i T i
即Ai为正定矩阵,故其行列式
Ai 0.
14
充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式>0.要证 明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:
10
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形.
证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
RT AR Q T P T APQ Q T EQ E , RT BR 为对角形.
11
例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.
2 1 2 2 2 3
99 6 24 A 6 130 30 , A1 99 0, 24 3 71 99 6 33 3 A2 6 6 130 2 65 18 11 1 2 65 18 (65 11 2) 18 713 0,
证明必要性设AB正定,则AB对称,
AB ( AB )T B T AT BA.
充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正 定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC, CTBC是正定矩阵,特 征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.
12
为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我 们引进
列的元素组成的行列式称为主子式. 例如
1 2 3 1 2 4 5 1 3 A 2 4 5, , , 3 5 2 2 4 5 2 3 2
1 2 是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式. 2 4
24
三、正定矩阵的性质 1.若A为正定矩阵,则|A|>0,A可逆. 2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵. 证明 A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全 部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定.
f X T AX (QY )T AQY Y T (Q T AQ )Y Y T Y i yi2 0.
n i 1
这就证明了条件的充分性.
3
设A是正定矩阵,而 是其任意特征值, X是 属于 的特征向量, 则有 AX X , 于是
X AX X X 0, X X 0, 故 0.
2 1 2 2 2 1 2 3 2 2 2 3
69 x 94 x 17 x 0, ( x1 , x2 , x3 ) 0.
2 1 2 2 2 3
21
例 t在什么范围取值时二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x 3 x 2 x 2 x1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3
T T T
必要性得证.
推论 若A是正定矩阵,则|A|>0.
证明 Q T AQ ,| Q T AQ || Q T || A || Q | | Q 1 || A || Q || Q |1 | A || Q || A || | 1 n 0.
4
6 2 2 例 判断下列矩阵是否为正定矩阵 A 2 5 0 . 2 0 7 解
再令
15
En1 G T C2 ,| C 2 | 1 0, 1 O T T C2 C1 AC1C 2
T T En1 O En1 G En1 G T T 1 G 1 G ann O T En1 En1 G T G T T 1 O ann GG O O En1 En1 O . T T d O ann GG O
定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在 可逆矩阵P，使得A=PTP. 证明设A=PTP,PX 可逆 . 对于任意 , 由于 P 可 X o o 逆,PX≠o,故
X P PX ( PX ) PX PX
T T T 2
0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
X T AX Y T Y yi2 0,
n
故A是正定的.
i 1
必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对 称的,A合同于一个对角矩阵 ,,其对角线元素是 A的特征值 1 ,, n , 由于A是正定的,这些特征 值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同, 9 故A合同于单位矩阵.
A3 2 A2 4 A 3E O 的特征值,故 3 2 2 4 3 0,
7
3 2 2 4 3 3 1 2 2 4 2
( 1)( 2 1) 2( 1)2 ( 1)( 2 3) 0,
13
a11 a1 s a11 a1n As ,, An A. a a a a ss nn s1 n1
的行列式. 定理 实对称矩阵 A (aij )nn 正定的充分必要条件 是其顺序主子式全大于零. 证明 必要性
2
二、正定矩阵的充分必要条件 定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数. 证明 设实对称矩阵A的特征值 1 ,, n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1 ,, n , 对于 X O, 令 Y Q 1 X , 即 X QY,显然 Y O, 又 1 0,, n 0, 故
a11 0, x1 0, a11 x 0.
2 1
设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩 T 阵G,使得 G An1G En1 . 令 则
G O C1 ,| C1 || G | 0. O 1
T G O An1 G O T C1 AC1 T ann O 1 O 1 G T An1 G T G O G T An1G G T En1 G T T . T T ann O 1 G ann G ann
2 1 2 2 2 3
是正定二次型?
解 1 1 t 1 1 A 1 3 2 . | A1 | 1 0,| A2 | 2 0, 1 3 t 2 2 1 1 t 1 0 0 | A3 | 1 3 2 1 2 2 t 2 t 2 2 t 2 t 2t
2 2
( 6)( 12 27) =( 3)( 6)( 9).
1 3, 2 6, 3 9.
6
例设A为n阶实对称矩阵,且满足 A3 2 A2 4 A 3E O. 证明A为正定矩阵. 证明设 为A的特征值,则 3 2 2 4 3为
E A 6
2 2 2 2
6
2
2 0 7
5
0
0 2 7 2
5
0
5
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 12 35) 8( 6)
1. 2 3 0, ( 1)2 12 11 0.
2 3 0 无实根.A的特征值为1,n重故
A是正定矩阵.
8
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与 单位矩阵合同. 证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可 , 逆矩阵C,使得 C T AC E 对于任意向量 X≠O,由于 C可逆,可从 CY 解出 Y ≠O,于是 X
于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2 A 2 5 0 . 2 0 7
| A1 | 6 0, 解
6 2 | A2 | 30 4 26 0, 2 5 6 | A3 | 2 2 2 2 5 0 0 210 20 28 162 0. 7
18
故A正定.
实对称矩阵A正定的充分必要条件是 1.其特征值都是正数. 2.A合同于 E n .
3. A P T P , P 可逆.
4.A的顺序主子式全是正数.
5.A的主子式全是正数.
19
例 判断下列二次型是否正定:
f 99x 12x1x2 48x1x3 130x 60x2 x3 71x
d | A || C1 | | C 2 | 0,
2 2
16
Hale Waihona Puke 令 E n 1 C3 O
T T 3
O 1/2 ,| C 3 | d 0. 1/2 d
T 2 T 1
令 C C1C 2C 3 ,| C || C1 || C 2 || C 3 | 0,
则 C AT C (C C AC1C 2 )C 3 O En1 O En1 O En1 E. 1/2 1/2 d O d O d O
20
detA := 832176
a 2 2ab b 2 (a b) 2 0, 1 2 ab (a b 2 ). 2
f f 99 x 130 x 71x
2 1 2 2
2 3
1 2 1 2 1 2 2 2 2 12 ( x1 x2 ) 48 ( x1 x3 ) 60 ( x2 x3 ) 2 2 2 2 2 2 99 x1 130 x2 71x3 6( x x ) 24( x x ) 30( x x )