北京市顺义区2014届高三4月第二次统练(二模)数学(理科)试卷

正视图俯视图

左视图

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）

数学（理科）试卷

2014.4

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后将答题卡交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符

合题目要求的一项. 1.复数(1)i i -等于

A.1i +

B. 1i -+

C.1i --

D.1i - 2.已知2log 3a =，12

log 3b =，12

3

c -=，则

A.c b a >>

B. c a b >>

C.a b c >>

D.a c b >> 3.已知向量(1,1)a =，(1,1)b =-，若ka b -与a 垂直，则实数k =

A.1-

B. 0

C.1

D.2

4.如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的侧面积为 A.8π B. 4π C.2π D.π

5.“0ϕ=”是“函数sin()y x ϕ=+为奇函数”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6. 执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值是 A ．2 B ． 5 C ． 11 D ． 23

7.已知双曲线2221x y a

-=（0a >），与抛物线2

4y x =的准线交于,A B 两点，O

为坐标原点，若AOB 的面积等于1，则a =

A

．． 1 C ．

2

D ． 12

8.已知函数[]0,

()(1)

0,x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[ 1.1]2-=-,[]3π=,⋅⋅⋅）.若直线(1)

(0)y k x k =+>与函数()y f x =的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是

A ．11[,)54

B ．11

[,)43

C ． 11[,)32

D ．(0,1]

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.在极坐标系中，点(2,

)6

π

到极轴的距离是______.

10.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若11a =，34a =，则2________;a = 此数列的其前n 项和__________.n S =

11.如图，AB 是圆O 的直径，2AB =，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C .若

DA DC =，

则________;BDC ∠=

__________.BC =

12.对甲、乙、丙、丁4人分配4项不同的工作 A 、B 、C 、D ，每人一项，其中甲不能承担A 项工作，那么不同的工作分配方案有_________种.（用数字作答） 13.在

ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .

若

a c ==

sin

23

B =， 则cos _______;B =________.b =

14.已知点(,)M a b 在由不等式0,

0,2,x y x y ≥⎧⎪

≥⎨⎪+≤⎩

确定的平面区域内，则点(,)N a b a b -+所在的平面区域面积是

________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）

已知函数()sin cos cos 2f x a x x x =-的图象过点(,0)8

π

.

（Ⅰ）求实数a 的值；

C

A

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及最大值.

16. （本小题共13分）

甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”， 在相同的条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下：

甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；

（Ⅱ）现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅲ）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于80分的次数为X ，求

X 的分布列和数学期望EX .

17. （本小题共14分）

如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，2PA AB ==，

PB PD ==E 在PD 上，

且1

3

PE PD =

. （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段BC 上存在点F ，

使PF ∥平面EAC ，并求BF 的长.

18. （本小题共13分）

已知函数2()x

x ax a

f x e

++=，其a 中为常数，2a ≤. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；

（Ⅱ）是否存在实数a ,使()f x 的极大值为2?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 19. （本小题共14分）

已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),

离心率2

e =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）设直线:l y x m =+（0m ≠）与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当m

变化时,求TAB 面积的最大值. 20. （本小题共13分）

已知集合{}123,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，123(0,,3)n a a a a n N n +

≤<<<⋅⋅⋅<∈≥

具有性质P ：对任意的,i j (1)i j n ≤≤≤，,j i j i a a a a +-至少有一个属于A .

E

P

A

D

B

C