中考数学重难点题型解析

中考数学重难点题型

---12道几何探究题解析

考点1 三角形几何探究

1．如果三角形的两个内角α与β满足2α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

(1)若△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，则∠B ＝15°；

(2)如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝5.若AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准互余三角形”．试问在边BC 上是否存在点E(异于点D)，使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE 的长；若不存在，请说明理由．

(3)如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝7，CD ＝12，BD ⊥CD ，∠ABD ＝2∠BCD ，且△ABC 是“准互余三角形”，求对角线AC 的长．

解：(1)∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C ＞90°，∠A ＝60°，∴2∠B ＋∠A ＝90°，解得∠B ＝15°. (2)如答图1，在Rt △ABC 中，∵∠B ＋∠BAC ＝90°，∠BAC ＝2∠BAD ，∴∠B ＋2∠BAD ＝90°， ∴△ABD 是“准互余三角形”． ∵△ABE 也是“准互余三角形”， ∴只有2∠B ＋∠BAE ＝90°.

∵∠B ＋∠BAE ＋∠EAC ＝90°，∴∠CAE ＝∠B. ∵∠C ＝∠C ＝90°，

∴△CAE ∽△CBA ，∴CA 2＝CE·CB， ∴CE ＝165，∴BE ＝5－165＝95

.

(3)如答图2，将△BCD沿BC翻折得到△BCF，

∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD.

∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD＋∠CBD＝90°，

∴∠ABD＋∠DBC＋∠CBF＝180°，∴点A，B，F共线，

∴∠A＋∠ACF＝90°，∴2∠ACB＋∠CAB≠90°，

∴只有2∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠FCB＝∠FAC.

∵∠F＝∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2＝FB·FA，设FB＝x，则有x(x＋7)＝122，

∴x＝9或x＝－16(舍去)，

∴AF＝7＋9＝16，在Rt△ACF中，AC＝AF2＋CF2＝162＋122＝20.

2．将一副三角尺按图1摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3 cm.

(1)求GC的长；

(2)如图2，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想．

(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．

解：(1)在Rt△ABC中，∵BC＝23，∠B＝60°，

∴AC＝BC·tan60°＝6，AB＝2BC＝43，

在Rt△ADG中，AG＝

AD

co s30°

＝4，

∴CG＝AC－AG＝6－4＝2.

(2)结论：DM＋DN＝2 3.

理由：∵HM⊥AB，CN⊥AB，

∴∠AMH＝∠DMH＝∠CNB＝∠CND＝90°.∵∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠BCN＝90°，

∴∠A＝∠BCN，∴△AHM∽△CBN，∴AM

CN

＝

HM

BN

①，

同理可证：△DHM∽△CDN，∴DN

MH

＝

CN

DM

②

由①②可得AM·BN＝DN·DM，∴DM

AM

＝

BN

DN

，

∴DM＋AM

AM

＝

BN＋DN

DN

，∴

AD

AM

＝

BD

DN

.

∵AD＝BD，∴AM＝DN，

∴DM＋DN＝AM＋DM＝AD＝2 3.

第2题答图

(3)如答图，作GK∥DE交AB于K.

在△AGK中，AG＝GK＝4，∠A＝∠GKD＝30°，作GH⊥AB于H.

则AH＝AG·cos30°＝23，

可得AK＝2AH＝43，此时K与B重合．

∴DD′＝DB＝2 3.

考点2四边形几何探究

3．我们定义：有一组邻角相等且对角线相等的凸四边形叫做邻对等四边形．

概念理解

(1)我们所学过的特殊四边形中的邻对等四边形是矩形或正方形；

性质探究

(2)如图1，在邻对等四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB ，AC＝DB ，AB>CD，求证：∠BAC与∠CDB互

补；

拓展应用

(3)如图2，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝2∠B ，AC ＝BC ＝5，AB ＝6，CD ＝4.在BC 的延长线上是否存在一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形？如果存在，求出DE 的长；如果不存在，说明理由．

(1)解：矩形或正方形．

(2)证明：如答图1，延长CD 至E ，使CE ＝BA ，连接BE.

在△ABC 和△ECB 中，⎩⎨⎧

AB ＝EC ，

∠ABC ＝∠ECB ，

BC ＝CB ，

∴△ABC ≌△ECB(SAS)， ∴BE ＝CA ，∠BAC ＝∠E.

∵AC ＝DB ，∴BD ＝BE ，∴∠BDE ＝∠E ，

∴∠CDB ＋∠BDE ＝∠CDB ＋∠E ＝∠BAC ＋∠CDB ＝180°，即∠BAC 与∠CDB 互补．

(3)解：存在这样一点E ，使得四边形ABED 为邻对等四边形，如答图2，在BC 的延长线上取一点E ，使得CE ＝CD ＝4，连接DE ，AE ，BD ，则四边形ABED 为邻对等四边形．理由如下：

∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠CED. ∵∠BCD ＝2∠ABC ，

∴∠ABC ＝∠DEB ，∴∠ACE ＝∠BCD.

在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧

AC ＝BC ，

∠ACE ＝∠BCD ，

CE ＝CD ，

∴△ACE ≌△BCD(SAS)，