数学分析习题课级数的收敛、求和与展开[1]共31页

是否也收敛？说明理由.
提示: 对正项级数,由比较判别法可知
但对任意项级数却不一定收敛 . 例如, 取
vn
(1)n n
1 n
lim v n 1 lim(1)n 1
n un
n n
级数
收敛 , 级数
发散 .
问级数 收敛,
8
例5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:
(2) n 1(1)n1sinnn11;
求和 展开
(在收敛域内进行)
时为数项级数;
时为幂级数;
Leabharlann Baidu
(an,bn为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数. 基本问题：判别敛散； 求收敛域；
求和函数； 级数展开.
1
一、数项级数的审敛法
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 正项级数审敛法
必要条件 nl im un 0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
• 间接展开法 — 利用已知展式的函数及幂级数性质
例题:
1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
1 (2x)2
1 2x
1 2
1 1
x 2
12
xn
n0 2n
1 2 n1
nxn1 2n
,
24
2. 将
在x = 0处展为幂级数.
解: 因此
ln1(x)
证明级数
收敛 .
证: 0 c n a n b n a n(n1,2,),则由题设
(b n a n ) 收敛
(c n a n ) 收敛
n 1
n 1
[(cn an)an]
n1
(cn an) a n 收敛
n 1
n 1
4
例2. 判别下列级数的敛散性:
提示: (1) limnn1, 0, N , n 1 nn 1
1,
x [ 1 ,0 ) (0 ,1 ) x0
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例8.
解:
设
S(x)
n2
nx2n1,
则
S(x)n 21 2n1 1n1 1xn x xn1 1 xn1
2 n2n 1 2x n2n 1
x x n 1 xn
2 n1 n 2x n3 n
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四、函数的幂级数展开法
1. 函数的幂级数展开法 • 直接展开法 — 利用泰勒公式
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例3: 求级数
的和 .
解:
原式=
1 2
n 0(1)n(2(n2 n 1 )1 !) 1
1 2n 0(( 21n))n!n 0(2( n1)n 1)!
1[cos 1 sin1] 2
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S(x)
(0x1及
)
而
xl i0m ln(1xx)1,
因此由和函数的连续性得:
1ln1( x), S(x) x
s1时收敛;
a1时, 与 p 级数比较可知 s1时发散.
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例3. 设正项级数
和 都收敛, 证明级数
也收敛 . 提示: 因 n l i u m nn l i v m n0,存在 N > 0, 当n >N 时
又因
2(un2vn2)
利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.
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例4. 设级数
收敛 , 且
(0 x2 1) 2
显然 x = 0 时上式也正确, 而在 x 2 级数发散,
故和函数为
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n1
n1n11
xn
x0
n1
1 x
x
tn
0
dt
1 x
x
1
t
t
d
t
0
(0x1)
11ln(1x)
x 1(11)ln(1x)
x
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即得
1(11)ln(1x), 0 x 1
x
显然 x = 0 时, 和为 0 ; x = 1 时, 级数也收敛 . 根据和函数的连续性 , 有
x
1sinxxcoxs, 22
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法2 先求出收敛区间
设和函数为 则
1 2
S(x)1sixnxcox,s 22
x sin x 2
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例2. 求下列幂级数的和函数：
x≠0
解: (1)
原式 n 121n(x2n1) 1xn1(x22)n
1 x
1
x2
2
x2 2
x 2 x2
2 x2 (2 x2 )2
处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式
• 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
例7. 求下列级数的敛散区间:
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解:
n l i m nan
lim (11)ne n n
R 1 , 即1x1 时原级数收敛 .
e
ee
当 x 1 时, e
un
(1
1 n
e
)n
n
(11)n1e n
1 10 (n) e
因此级数在端点发散 , 故收敛区间为( 1 , 1 ) . ee
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解: 因 lim un1(x) lim n un (x) n
x2 2
当 x 2 1 , 即 2x 2时级， 数收敛; 2
当 x2时 ,一般项 un n不趋于0, 级数发散;
故收敛区间为 (2, 2).
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三、幂级数和函数的求法
(3)
(1)nlnn1;
n1
n
提示: (1) P >1 时, 绝对收敛 ;
0 < p ≤1 时, 条件收敛 ;
p≤0 时, 发散 .
(2) 因各项取绝对值后所得强级数 原级数绝对收敛 .
1
n1n1
收敛, 故
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(3) n 1(1)nlnnn1
因
单调递减, 且
由Leibniz判别法知级数收敛 ;
• 求部分和式极限
• 初等变换法: 分解、套用公式
• 映射变换法（在收敛区间内）
anxn
n0
逐项求导或求积分
难
S(x)
对和式积分或求导
a
n
xn
n0
求和
S * ( x)
• 数项级数 直接求和: 直接变换, 求部分和等 求和 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
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例1. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为
但
ln
n 1
n
n
1
n
lim lnk(1)lnk
n k1
lim lnn(1)
n
所以原级数仅条件收敛 .
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(4) n 1(1)n(nnn11)!
因
u n1
un
n2(1 1 )n1n n1 n1
所以原级数绝对收敛 .
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二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 xR
lim
n
u n 1 un
1
不定
部分和极限 比较审敛法
根值审敛法 nl im nun 用它法判别 积分判别法
1
1
收敛
发散
2
3. 任意项级数审敛法
概念:
为收敛级数
若
收敛 , 称
若
发散 , 称
绝对收敛 条件收敛
Leibniz判别法: 若
且
则交错级数
收敛 , 且余项
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例1. 若级数
均收敛 , 且
因调和级数发散, 据比较判别法, 原级数发散 .
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利用比值判别法, 可知原级数发散.
(3)
n
n1
cos2 2n
n
3
:
用比值法, 可判断级数
收敛,
再由比较法可知原级数收敛 .
因 n 充分大时
1 n
1 ln10
n
,
∴原级数发散 .
发散,
(5)n 1anns
(a0,s0): 用比值判别法可知: a1时收敛 ; a1时发散.