第八章-弹性散射
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i
的通解, 从而可以得到验证 可以得到验证. 的通解 从而可以得到验证
可求解方程(8.13)得(待下面证明 得 待下面证明 待下面证明): 可求解方程
1 1 v v G(r, r' ) = v v exp(ik r −r' ) 4π r −r'
代入(8.14)得: 得 代入 v v v v exp(ik r −r' ) m ψ(r) =ψ0 exp(ik ⋅ r) − 2 ∫ U(r' ) (r' )d3r' ψ v v 2πh r −r' 上述积分方程可用迭代法近似求解, 并取到一级近似 上述积分方程可用迭代法近似求解, 并取到一级近似 积分方程可用迭代法近似求解 (即波恩近似)得: 即波恩近似 得 v v v v m exp(ik r −r' ) (1) ψ (r) =ψ0 exp(ik ⋅ r) − 2 ∫ U(r' )ψ (0) (r' )d3r' v v 2πh r −r' v v 即: m exp(ik r −r' ) ψs (r) = − 2 ∫ U(r' )ψ (0) (r' )d3r' v v r −r' 2πh
2m (8.12) (∇ + k ) = 2 U(r) ψ ψ h 为入射粒子波数, 定义格林函数 格林函数: 其中 k2 = 2mE/ h2 为入射粒子波数 定义格林函数 (8.13) (∇2 + k2 )G(r, r' ) = −δ(r, r' )
2 2
(8.14) (8.15)
(8.14)称Lippman-Schwinger积分方程 将之代入 称 积分方程, 积分方程 将之代入(8.12), 并注意到 齐次方程 利用(8.13)并注意到 ψi (r) 为齐次方程: 利用 (8.16) (∇2 + k2 ) (r) = 0 ψ
其中: 其中
v v v q = ker −k
f (θ,ϕ) exp(ikr) 与球面波: 把(8.33)与球面波 ψs =ψ0 与球面波 r m v v 3v 比较得: 比较得 f (θ,ϕ) ≈ − U(r' )exp(−iq ⋅ r' )d r ' 2∫ 2πh v v 大小相等, 由于 ker 与 k 大小相等 夹角为 θ , 则: v q = 2k sin(θ / 2)
入射粒子流强度, 单位时间、 Ji---入射粒子流强度 即单位时间、单位面积 入射粒子流强度
散射振幅 散射粒子波函数满足的薛定谔方程: 散射粒子波函数满足的薛定谔方程
[−(h2 / 2m)∇2 +U(r)] = Eψ ψ
ψ =ψi +ψs
其中: ψi =ψ0 exp(ikz) 其中 入射平面波 入射平面波
对于有心力势 可进一步简化为: 对于有心力势, (8.36)可进一步简化为 有心力势 可进一步简化为
(8.35) (8.36)
(8.37)
2m f (θ,ϕ) = f (θ) = − 2 ∫ r'U(r' )sin( qr')dr' h q0
最后得波恩近似下的微分散射截面为 最后得波恩近似下的微分散射截面为: 微分散射截面
1 d 2 dRl 2m l(l +1 ) (r ) +{ 2 [E −U(r) − 2 ]}Rl = 0 2 r dr dr h r
径向波函数满足的薛定鄂方程: 径向波函数满足的薛定鄂方程
(8.47)
当
r →∞ 时, U(r) →0, 令 ul (r) = rRl (r) , 则得 则得:
d2ul + k2ul = 0, (8.48) k = 2mE / h 2 dr (8.49) 上式通解: ul (r) = A' sin( kr +δl' ) 上式通解 l l (8.50) 因此: 2l +1R (r) =ψ A sin kr − lπ +δ ) 因此 ( l 0 l 4π kr 2 上式为接下来与入射波比较方便,已换用新的常数 l 入射波比较方便 上式为接下来与入射波比较方便 已换用新的常数 A ,δl .
(8.24)
(8.24)积分如下 积分如下: 积分如下
v v v 1 exp[ik'⋅(r −r' )] 3 v wv G(r, r') = d k' 3∫ 2 2 k' −k (2π) v v π ∞ exp[ik' r −r' cosθ] 2 1 = 2π sin θdθ∫ k' dk' 3∫ 2 2 k' −k (2π) 0 0 v v ∞ k'exp[ik' r −r' ] 1 2π = dk' 3 v v ∫ 2 2 (2π) i r −r' −∞ k' −k
* s
(8.10)
以上两式代入(8.8)便得 便得: 以上两式代入 便得
σ(θ,ϕ) = f (θ,ϕ)
2
(8.11)
波恩近似---高能粒子散射 波恩近似 高能粒子散射
把薛定谔方程(8.2)改写为 改写为: 把薛定谔方程 改写为
则: ψ(r) =ψi (r) − 2m G(r, r' )U(r' ) (r' )d3r' ψ 2 ∫ h =ψi (r) +ψs (r)
(8.30)
(8.31) (8.32) (8.33) (8.34)
m exp(ikr) v v ψs (r) ≈ − 2 exp(−iker ⋅ r' )U(r' )ψ (0) (r' )d3r' 2πh r ∫ mψ0 exp(ikr) v v 3v 即: ψs (r) ≈ − 2 ∫U(r')exp(−iq⋅ r')d r ' 2πh r
1 1 ∂ k' exp(ik'η) =− 2 ∫ k'2−k2 dk' (2π) η ∂η −∞
其中: 其中
∞
(8.25) (8.26)
v v η = r −r'
(8.25)被积函数中当 k' = ±k 时实轴上出现一阶奇点 被积函数中当 时实轴上出现一阶奇点 一阶奇点, 需引进虚数 虚数: 需引进虚数
(8.21)
v v v 3v 1 w v δ(r −r' ) = exp[ik'⋅(r −r' )]d k' 3∫ (2π) vv v v 1 exp(ik'⋅r' ) 得: g(k', r' ) = (2π)3 k'2 −k2
从而: 从而
(8.22) (8.23)
v v v 1 exp[ik'⋅(r −r' )] 3 v wv G(r, r') = d k' 3∫ 2 2 (2π) k' −k
其中 ji ( jr ) 为入射(散射 粒子概率流密度 大小): 入射 散射)粒子概率流密度(大小 散射 粒子概率流密度 大小
(8.7) (8.8)
ih ∂ψi* ψ hk 2 *∂ i ji = ( i ψ −ψi ) = ψ0 2m ∂z ∂z m
(8.9)
2
ih ∂ψ hk f (θ,ϕ) ψ 2 *∂ s ψ jr = ( s −ψs )= ψ0 2m ∂r ∂r m r2
∞
(8.38)
2m 2 σ(θ) = ( 2 ) ∫ r'U(r')sin( qr' )dr' hq 0
∞
2
(8.39)
求屏蔽库仑场: 例8.1: 求屏蔽库仑场 Z' Ze2 1 r U(r) = − exp(− ) 4πε0 r a 中粒子的微分散射截面. 中粒子的微分散射截面 2 解: ∞ 2m 2 σ(θ) = ( 2 ) ∫ r'U(r' )sin( qr' )dr' hq 0
∞
(8.27)
k' exp(ik'η) 1 ∫ k'2−(k +iε)2 dk' = lim 2πi Re0s(k +iε) = iπ k exp(ikη) ε→ −∞
代入(8.27)便得 便得(8.17), 即: 代入 便得
∞
(8.28)
1 1 v v G(r, r' ) = exp(ik r −r' ) v v 4π r −r'
(8.17)
(8.18)
(8.19) (8.20)
(8.17)证明如下 证明如下: 证明如下 将格林函数做付里叶积分变换 格林函数做付里叶积分变换: 变换
v v v v 3v G(r, r' ) = ∫ g(k ', r ' ) exp(ik ⋅ r )d k'
代入(8.13)并注意到 并注意到: 代入 并注意到
单位时间散射到 方向立体 单位时间散射到 (θ,ϕ) 方向立体 内的粒子数 粒子数: 角 dΩ(= dS / r2 ) 内的粒子数
dN =σ(θ,ϕ)JidΩ
(8.1)
入射的粒子数. 入射的粒子数 σ(θ,ϕ)---微分散射截面 即散射到 (θ,ϕ) 方向上单位立体角中 微分散射截面, 方向上单位立体角 单位立体角中 微分散射截面 概率, 是散射理论需要求解的核心问题 核心问题. 的概率 是散射理论需要求解的核心问题
(8.2)
的作用, 设观察点离散射中心足够远, 脱离了U(r)的作用 则: 观察点离散射中心足够远 离散射中心足够远 (8.3) (8.4) (8.5)
f (θ,ϕ) 散射球面波 ψs =ψ0 exp(ikr) 散射球面波 r 散射振幅, 得到. 散射振幅 可求解(8.2)得到 得到 f (θ,ϕ) ---散射振幅 可求解
证毕
(8.29)
此外, 波恩一级近似结果(8.20),即: 一级近似结果 此外 波恩一级近似结果 即 v v exp(ik r −r' ) m ψs (r) = − 2 ∫ U(r' )ψ (0) (r' )d3r' v v r −r' 2πh v v 在远场处: 在远场处 r >> r' , 则: v v 1 1 v v r ⋅ r' v v v v ≈ v , r −r' = (r2 −2r ⋅ r'+r'2 )2 ≈ r(1− 2 ) r −r' r r 得:
(每个球面波即为一个分波 故称分波法 展开为 每个球面波即为一个分波, 故称分波法 展开为: 分波法)展开为 每个球面波即为一个分波 ∞ ψ0 exp(ikz) =ψ0 ∑(2l +1)il jl (kr)P(cosθ) l
l =0
(8.43)
函数, 其中 jl (kr) 为球Bessel函数 其渐近行为 函数 其渐近行为: 1 lπ jl (kr) ≈ sin( kr − ), r →∞ kr 2 2 其解也展开为: 其解也展开为
2 ∞
(8.40)
2m Z' Ze2 2 1 2m Z' Ze 2 r' ) 2 =( 2 ) ∫ exp(− )sin( qr' )dr' = ( 2 2 2 (8.41) h q 4πε0 0 a h 4πε0 (q +1/ a )
高能入射粒子且散射角较大时: 高能入射粒子且散射角较大时 qa = 2kasin(θ / 2) >>1 则:
(8.44) (8.45)
h 2 ∇ +U(r)] = Eψ ψ 另一方面, 薛定鄂方程: 另一方面 薛定鄂方程 [− 2m
2l +1 ∞ ψ(r,θ) = ∑Rl (r)Ylm(θ,ϕ) = ∑Rl (r)P(cosθ) l 4π l=0 l ,m
∞
(8.46)
接下来的任务是求出径向波函数 R (r) . l
第八Hale Waihona Puke Baidu 弹性散射
弹性散射---散射过程中粒子间仅动能交换, 内部状态不变. 弹性散射 散射过程中粒子间仅动能交换 其内部状态不变 散射过程中粒子间仅动能交换
散射的描述方法
微分散射截面 散射中心, 散射中心 假定不动. A ---散射中心 假定不动 散射角, 散射角 入射与散射方向夹角. θ ---散射角 入射与散射方向夹角
1 1 ∂ k' exp(ik'η) G(r, r' ) = − 2 ∫ k'2 −(k +iε)2 dk' (2π) η ∂η −∞
此时位于上半复平面的两个极点为: 此时位于上半复平面的两个极点为 k' = ±(k +iε ) 取上半平面的积分回路, 利用留数定理得: 留数定理得 取上半平面的积分回路 利用留数定理
可导得(见下页 可导得 见下页): 见下页
σ(θ,ϕ) = f (θ,ϕ)
2
(8.6)
因此, 散射问题归结为求出散射振幅. 因此 散射问题归结为求 散射振幅 归结为
推导如下: 推导如下 由于: 由于
dN = Jr dS = Jr r2dΩ =σ(θ,ϕ)JidΩ 则: 2 Jr 2 ji σ(θ,ϕ) = r =r Ji jr
2
mZ' Ze2 2 1 ) σ(θ) = ( 4πε0 4(kh)4 sin 4 (θ / 2)
(8.42)
为经典的Rutherford散射公式 散射公式. 为经典的 散射公式
分波法---低能粒子散射 分波法 低能粒子散射 有心力场且关于 对称下 可把入射平面波 平面波用 在有心力场且关于 z 轴对称下, 可把入射平面波用球面波
的通解, 从而可以得到验证 可以得到验证. 的通解 从而可以得到验证
可求解方程(8.13)得(待下面证明 得 待下面证明 待下面证明): 可求解方程
1 1 v v G(r, r' ) = v v exp(ik r −r' ) 4π r −r'
代入(8.14)得: 得 代入 v v v v exp(ik r −r' ) m ψ(r) =ψ0 exp(ik ⋅ r) − 2 ∫ U(r' ) (r' )d3r' ψ v v 2πh r −r' 上述积分方程可用迭代法近似求解, 并取到一级近似 上述积分方程可用迭代法近似求解, 并取到一级近似 积分方程可用迭代法近似求解 (即波恩近似)得: 即波恩近似 得 v v v v m exp(ik r −r' ) (1) ψ (r) =ψ0 exp(ik ⋅ r) − 2 ∫ U(r' )ψ (0) (r' )d3r' v v 2πh r −r' v v 即: m exp(ik r −r' ) ψs (r) = − 2 ∫ U(r' )ψ (0) (r' )d3r' v v r −r' 2πh
2m (8.12) (∇ + k ) = 2 U(r) ψ ψ h 为入射粒子波数, 定义格林函数 格林函数: 其中 k2 = 2mE/ h2 为入射粒子波数 定义格林函数 (8.13) (∇2 + k2 )G(r, r' ) = −δ(r, r' )
2 2
(8.14) (8.15)
(8.14)称Lippman-Schwinger积分方程 将之代入 称 积分方程, 积分方程 将之代入(8.12), 并注意到 齐次方程 利用(8.13)并注意到 ψi (r) 为齐次方程: 利用 (8.16) (∇2 + k2 ) (r) = 0 ψ
其中: 其中
v v v q = ker −k
f (θ,ϕ) exp(ikr) 与球面波: 把(8.33)与球面波 ψs =ψ0 与球面波 r m v v 3v 比较得: 比较得 f (θ,ϕ) ≈ − U(r' )exp(−iq ⋅ r' )d r ' 2∫ 2πh v v 大小相等, 由于 ker 与 k 大小相等 夹角为 θ , 则: v q = 2k sin(θ / 2)
入射粒子流强度, 单位时间、 Ji---入射粒子流强度 即单位时间、单位面积 入射粒子流强度
散射振幅 散射粒子波函数满足的薛定谔方程: 散射粒子波函数满足的薛定谔方程
[−(h2 / 2m)∇2 +U(r)] = Eψ ψ
ψ =ψi +ψs
其中: ψi =ψ0 exp(ikz) 其中 入射平面波 入射平面波
对于有心力势 可进一步简化为: 对于有心力势, (8.36)可进一步简化为 有心力势 可进一步简化为
(8.35) (8.36)
(8.37)
2m f (θ,ϕ) = f (θ) = − 2 ∫ r'U(r' )sin( qr')dr' h q0
最后得波恩近似下的微分散射截面为 最后得波恩近似下的微分散射截面为: 微分散射截面
1 d 2 dRl 2m l(l +1 ) (r ) +{ 2 [E −U(r) − 2 ]}Rl = 0 2 r dr dr h r
径向波函数满足的薛定鄂方程: 径向波函数满足的薛定鄂方程
(8.47)
当
r →∞ 时, U(r) →0, 令 ul (r) = rRl (r) , 则得 则得:
d2ul + k2ul = 0, (8.48) k = 2mE / h 2 dr (8.49) 上式通解: ul (r) = A' sin( kr +δl' ) 上式通解 l l (8.50) 因此: 2l +1R (r) =ψ A sin kr − lπ +δ ) 因此 ( l 0 l 4π kr 2 上式为接下来与入射波比较方便,已换用新的常数 l 入射波比较方便 上式为接下来与入射波比较方便 已换用新的常数 A ,δl .
(8.24)
(8.24)积分如下 积分如下: 积分如下
v v v 1 exp[ik'⋅(r −r' )] 3 v wv G(r, r') = d k' 3∫ 2 2 k' −k (2π) v v π ∞ exp[ik' r −r' cosθ] 2 1 = 2π sin θdθ∫ k' dk' 3∫ 2 2 k' −k (2π) 0 0 v v ∞ k'exp[ik' r −r' ] 1 2π = dk' 3 v v ∫ 2 2 (2π) i r −r' −∞ k' −k
* s
(8.10)
以上两式代入(8.8)便得 便得: 以上两式代入 便得
σ(θ,ϕ) = f (θ,ϕ)
2
(8.11)
波恩近似---高能粒子散射 波恩近似 高能粒子散射
把薛定谔方程(8.2)改写为 改写为: 把薛定谔方程 改写为
则: ψ(r) =ψi (r) − 2m G(r, r' )U(r' ) (r' )d3r' ψ 2 ∫ h =ψi (r) +ψs (r)
(8.30)
(8.31) (8.32) (8.33) (8.34)
m exp(ikr) v v ψs (r) ≈ − 2 exp(−iker ⋅ r' )U(r' )ψ (0) (r' )d3r' 2πh r ∫ mψ0 exp(ikr) v v 3v 即: ψs (r) ≈ − 2 ∫U(r')exp(−iq⋅ r')d r ' 2πh r
1 1 ∂ k' exp(ik'η) =− 2 ∫ k'2−k2 dk' (2π) η ∂η −∞
其中: 其中
∞
(8.25) (8.26)
v v η = r −r'
(8.25)被积函数中当 k' = ±k 时实轴上出现一阶奇点 被积函数中当 时实轴上出现一阶奇点 一阶奇点, 需引进虚数 虚数: 需引进虚数
(8.21)
v v v 3v 1 w v δ(r −r' ) = exp[ik'⋅(r −r' )]d k' 3∫ (2π) vv v v 1 exp(ik'⋅r' ) 得: g(k', r' ) = (2π)3 k'2 −k2
从而: 从而
(8.22) (8.23)
v v v 1 exp[ik'⋅(r −r' )] 3 v wv G(r, r') = d k' 3∫ 2 2 (2π) k' −k
其中 ji ( jr ) 为入射(散射 粒子概率流密度 大小): 入射 散射)粒子概率流密度(大小 散射 粒子概率流密度 大小
(8.7) (8.8)
ih ∂ψi* ψ hk 2 *∂ i ji = ( i ψ −ψi ) = ψ0 2m ∂z ∂z m
(8.9)
2
ih ∂ψ hk f (θ,ϕ) ψ 2 *∂ s ψ jr = ( s −ψs )= ψ0 2m ∂r ∂r m r2
∞
(8.38)
2m 2 σ(θ) = ( 2 ) ∫ r'U(r')sin( qr' )dr' hq 0
∞
2
(8.39)
求屏蔽库仑场: 例8.1: 求屏蔽库仑场 Z' Ze2 1 r U(r) = − exp(− ) 4πε0 r a 中粒子的微分散射截面. 中粒子的微分散射截面 2 解: ∞ 2m 2 σ(θ) = ( 2 ) ∫ r'U(r' )sin( qr' )dr' hq 0
∞
(8.27)
k' exp(ik'η) 1 ∫ k'2−(k +iε)2 dk' = lim 2πi Re0s(k +iε) = iπ k exp(ikη) ε→ −∞
代入(8.27)便得 便得(8.17), 即: 代入 便得
∞
(8.28)
1 1 v v G(r, r' ) = exp(ik r −r' ) v v 4π r −r'
(8.17)
(8.18)
(8.19) (8.20)
(8.17)证明如下 证明如下: 证明如下 将格林函数做付里叶积分变换 格林函数做付里叶积分变换: 变换
v v v v 3v G(r, r' ) = ∫ g(k ', r ' ) exp(ik ⋅ r )d k'
代入(8.13)并注意到 并注意到: 代入 并注意到
单位时间散射到 方向立体 单位时间散射到 (θ,ϕ) 方向立体 内的粒子数 粒子数: 角 dΩ(= dS / r2 ) 内的粒子数
dN =σ(θ,ϕ)JidΩ
(8.1)
入射的粒子数. 入射的粒子数 σ(θ,ϕ)---微分散射截面 即散射到 (θ,ϕ) 方向上单位立体角中 微分散射截面, 方向上单位立体角 单位立体角中 微分散射截面 概率, 是散射理论需要求解的核心问题 核心问题. 的概率 是散射理论需要求解的核心问题
(8.2)
的作用, 设观察点离散射中心足够远, 脱离了U(r)的作用 则: 观察点离散射中心足够远 离散射中心足够远 (8.3) (8.4) (8.5)
f (θ,ϕ) 散射球面波 ψs =ψ0 exp(ikr) 散射球面波 r 散射振幅, 得到. 散射振幅 可求解(8.2)得到 得到 f (θ,ϕ) ---散射振幅 可求解
证毕
(8.29)
此外, 波恩一级近似结果(8.20),即: 一级近似结果 此外 波恩一级近似结果 即 v v exp(ik r −r' ) m ψs (r) = − 2 ∫ U(r' )ψ (0) (r' )d3r' v v r −r' 2πh v v 在远场处: 在远场处 r >> r' , 则: v v 1 1 v v r ⋅ r' v v v v ≈ v , r −r' = (r2 −2r ⋅ r'+r'2 )2 ≈ r(1− 2 ) r −r' r r 得:
(每个球面波即为一个分波 故称分波法 展开为 每个球面波即为一个分波, 故称分波法 展开为: 分波法)展开为 每个球面波即为一个分波 ∞ ψ0 exp(ikz) =ψ0 ∑(2l +1)il jl (kr)P(cosθ) l
l =0
(8.43)
函数, 其中 jl (kr) 为球Bessel函数 其渐近行为 函数 其渐近行为: 1 lπ jl (kr) ≈ sin( kr − ), r →∞ kr 2 2 其解也展开为: 其解也展开为
2 ∞
(8.40)
2m Z' Ze2 2 1 2m Z' Ze 2 r' ) 2 =( 2 ) ∫ exp(− )sin( qr' )dr' = ( 2 2 2 (8.41) h q 4πε0 0 a h 4πε0 (q +1/ a )
高能入射粒子且散射角较大时: 高能入射粒子且散射角较大时 qa = 2kasin(θ / 2) >>1 则:
(8.44) (8.45)
h 2 ∇ +U(r)] = Eψ ψ 另一方面, 薛定鄂方程: 另一方面 薛定鄂方程 [− 2m
2l +1 ∞ ψ(r,θ) = ∑Rl (r)Ylm(θ,ϕ) = ∑Rl (r)P(cosθ) l 4π l=0 l ,m
∞
(8.46)
接下来的任务是求出径向波函数 R (r) . l
第八Hale Waihona Puke Baidu 弹性散射
弹性散射---散射过程中粒子间仅动能交换, 内部状态不变. 弹性散射 散射过程中粒子间仅动能交换 其内部状态不变 散射过程中粒子间仅动能交换
散射的描述方法
微分散射截面 散射中心, 散射中心 假定不动. A ---散射中心 假定不动 散射角, 散射角 入射与散射方向夹角. θ ---散射角 入射与散射方向夹角
1 1 ∂ k' exp(ik'η) G(r, r' ) = − 2 ∫ k'2 −(k +iε)2 dk' (2π) η ∂η −∞
此时位于上半复平面的两个极点为: 此时位于上半复平面的两个极点为 k' = ±(k +iε ) 取上半平面的积分回路, 利用留数定理得: 留数定理得 取上半平面的积分回路 利用留数定理
可导得(见下页 可导得 见下页): 见下页
σ(θ,ϕ) = f (θ,ϕ)
2
(8.6)
因此, 散射问题归结为求出散射振幅. 因此 散射问题归结为求 散射振幅 归结为
推导如下: 推导如下 由于: 由于
dN = Jr dS = Jr r2dΩ =σ(θ,ϕ)JidΩ 则: 2 Jr 2 ji σ(θ,ϕ) = r =r Ji jr
2
mZ' Ze2 2 1 ) σ(θ) = ( 4πε0 4(kh)4 sin 4 (θ / 2)
(8.42)
为经典的Rutherford散射公式 散射公式. 为经典的 散射公式
分波法---低能粒子散射 分波法 低能粒子散射 有心力场且关于 对称下 可把入射平面波 平面波用 在有心力场且关于 z 轴对称下, 可把入射平面波用球面波