1.7定积分的简单应用教师用书教案新人教A版选修2_2

1.7 定积分的简单应用

学习目标

核心素养

1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)

2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点) 通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.

1．定积分与平面图形面积的关系

(1)已知函数f (x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f (x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：

f (x)的符号平面图形的面积与定积分的关系

f (x)≥0 S＝⎠⎛

a

b f (x)d x

f (x)＜0 S＝－⎠⎛

a

b f (x)d x

(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)＞g(x)，那么直线x＝a，x

＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝

⎠⎛

a

b[f(x)－g(x)]d x.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．

2．变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，

b]上的定积分，即s＝

⎠⎛

a

b v(t)d t.

思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？

[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．

3．变力做功

如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动

到x＝b(a

⎠⎛

a

b F(x)d x.

1．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成的图形的面积等于( ) A ．⎠⎛－11(x －x 3)d x

B ．⎠⎛－1

1(x 3－x )d x

C ．2⎠⎛0

1(x －x 3)d x D ．2⎠⎛－1

0(x －x 3)d x

C [由题意知，由y ＝x 3及y ＝x 所围成的图形如图所示．

显然S ＝2⎠⎛0

1(x －x 3)d x .]

2．一物体沿直线以v ＝3t ＋2(t 单位：s ，v 单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6 s 间的运动路程为( )

A ．46 m

B ．46.5 m

C ．87 m

D ．47 m

B [s ＝⎠

⎛3

6(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2

＋2t ⎪⎪⎪

6

3 ＝(54＋12)－⎝⎛⎭⎫

272＋6＝46.5(m)．]

3．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F (x )相同的方向，从x ＝1处运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所作的功为________J.

14 [由题意可知，力F (x )所作的功

W ＝⎠⎛13F (x )d x ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )⎪⎪⎪

3

1

＝14 J ．]

利用定积分求平面图形的

面积问题

观察图形，完成下列探究问题：

1．图中阴影部分的面积能否用定积分⎠⎛0

8[2x －(x －4)]d x 表示？为什么？

[提示] 不能．由定积分的几何意义可知，当x ∈[0,8]时，被积函数y ＝2x －(x －4)表示的图形如图所示：

2．若以x 为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？ [提示] S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛2

8[2x －(x －4)]d x .

3．能否以y 为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？ [提示] 能．可表示为S ＝⎠⎛－24

⎝

⎛⎭⎫y ＋4－y

2

2d y . 【例1】 (1)已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为4

3，

则k ＝________.

(2)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－1

3

x 所围成的图形的面积．

(1)2 [由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝k ，

y ＝k 2

，

故阴影部分的面积为⎠

⎛0

k (kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3⎪⎪⎪

k

0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝4

3，解得k ＝2.] (2)[解] 画出图形，如图所示．

解方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

y ＝x ，

x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x ，

y ＝－13x

及⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋y ＝2，

y ＝－13x ，

得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，

所以S ＝⎠⎛0

1⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛1

3⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎠⎛0

1⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋⎠⎛1

3⎝

⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2⎪⎪⎪

1

0＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2＋16x 2⎪⎪⎪

3

1＝23＋16＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2⎪⎪⎪

3

1＝56＋6－13×9－2＋13＝136

.

1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点A ⎝⎛⎭⎫0，1

4，点P (x 0，y 0)(x 0＞0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等”，则x 0＝________.

[解] 由题意知 12×x 0×1

4＝⎠

⎛0

x 0 x 2d x ， 即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝

64或x 0＝－6

4

或x 0＝0. ∵x 0＞0，∴x 0＝

6

4

. 2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及x 轴所围成的图形面积为S ”，求S .

[解] ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4，故所求