幻方的构造

幻方的构造

所谓幻方（magic square），也叫纵横图，就是在n×n的方阵中，放入从1开始的n2个自然数；在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫“幻方常数”或“幻和”。对于任意n阶的幻方来说，其幻方常数S和方阵阶数n的关系是：

1n（n2+1）

S=

2

例如3阶的幻方常数是15，4阶的幻方常数是34，5阶的幻方常数是65……

那么，如何构造幻方呢？下面我们分几种情况分别进行说明：

一、奇数阶幻方

奇数阶幻方，也就是幻方阶数为奇数的幻方，如：3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？

对所有奇数阶幻方的构造，我们都可以采取“连续摆数法”，其法则如下：

把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。

按照这一法则构成5阶幻方的示例如下图：

按上述法则构成11阶幻方如下图：

二、4阶幻方

构造4阶幻方我们可以采取“对角线法”，即首先按从上到下、从右向左（也可按从左到右、从上到下）的次序把1—16填入4阶方阵中，然后将两条主对角线上元素按中心轴对称原则互相交换就行，也就是1和16互换、6和11互换、

4和13互换、7和10互换，见下图：

三、6阶幻方

构造6阶幻方，我们可以采用“斯特雷奇法”，即首先将6阶幻方分成ABCD四个3阶幻方，然后按ABCD的顺序将每个3阶幻方用“连续摆数法”填上，3阶方阵A填数字1—9，B填10—18，C填19—27，D填28—36，如下图：

然后将A中的8、5和4分别和D中的35、32和31交换，形成6阶幻方，如下图：

四、双偶数阶幻方

双偶数阶幻方，即n＝2·2m形式的幻方，我们可以采取

“对称法”（symmetrical method）。即将双偶数阶幻方分成上、下、左、右4个小方阵，首先在左上角方阵中布点：每行每列任取一半方格打上“○”号；然后向其余3个方阵映象，使每个小方阵中各有一半方格被“○”所占据。现在从左上角方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1— n2的值往方阵中填写，但遇到布了“○”点的方格，不填，跳过。这样，只有未布点的一半方格被填了数。这个过程结束后，从右下角开始，用同刚才相反的方向再一次往方阵中填数，这次是只填布点的方格，已有数的方格被封锁不填。由于布点方法的对称性，第二遍填数正好用上第一遍填数中被跳过的数，使整个方阵填入的正是1— n2，而且形成一个幻方！

以8阶为例说明“对称法”的应用，如下图：

五、单偶数阶幻方

单偶数阶幻方，即n＝2（2m＋1）形式的幻方，我们可以采取“LUX法”。这个方法是这样的，为了构成2（2m＋1）阶的幻方，先构成一个（2m＋1）阶的方阵，方阵中上面m+1行方格中央都标一个L，接下去一行标U，余下的m-1行标

X 。然后把中间的那个U 和它上面的L 交换一下。接下去把中央标有字母的方格都用十字线分成4个小方格，使方阵变成所需的2（2m ＋1）阶方阵，下一步就是往方阵中填数了。填数规则有3：

①填数从1顺序开始，每4个数为一组填入中央标有字母的一个单元即4个小方格中；

②往4个小方格中填写数字的次序视中央标记的字母而不同，如下图所示：

③填写大方格的顺序则用构造奇数阶2m ＋1阶幻方的“连续摆数法”确定。

以构造10阶幻方为例，见下图：

L L L L L

L L L L L L L L L L U U U U U X X X X X