高三基础知识天天练 数学11-6人教版
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第11模块 第6节
[知能演练]
一、选择题
1.如右图,向圆内投镖,如果每次都投入圆内,那么投中正方形区域的概率为
( )
A.2
π B.1π C.23
D.13
解析:投中正方形区域的概率为正方形的面积与圆的面积之比,设正方形的边长为1,则其面积为1,圆的半径为
22,面积为π(22)2=π2,故投中正方形区域的概率为1π2
=2
π
,故选A.
答案:A
2.在500 mL 的水中有一个细菌,现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察,则发现这个细菌的概率是
( )
A .0.004
B .0.002
C .0.04
D .0.02
解析:由于取水样的随机性,所求事件A “在取出的2 mL 水样中有细菌”的概率等于水样的体积与总体积之比,即P =2
500
=0.004.故选A.
答案:A
3.已知Ω={(x ,y )|x ≥0,y ≥0,x +y ≤6},A ={(x ,y )|x ≤4,y ≥0,x -2y ≥0},若向区域Ω内随机投一点P ,则点P 落在区域A 内的概率为
( )
A.13
B.23
C.19
D.29
解析:由于点P 落在区域Ω内的位置的随机性,所求事件A 的概率等于区域A 的面积与区域Ω的面积之比,即P =1
2×4×212
×6×6=2
9
.故选D.
答案:D
4.如下图所示,ABCD 是正方形,E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点,三只麻雀分别落在这三个正方形木板上休息,它们落在所在木板的任何地方是等可能的,麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率分别是P 1、P 2、P 3,则
(
)
A .P 1
B .P 1
C .P 1=P 2=P 3
D .P 1>P 2=P 3
解析:因为每一个图形中阴影部分的面积均是正方形面积的一半,所以麻雀落在甲、乙、丙三块木板中阴影部分的概率都是1
2
.故选C.
答案:C 二、填空题
5.一个路口的红绿灯,红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是________、________、________.
(1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯.
解析:在75秒内,每一时刻到达路口是等可能的,属于几何概型. (1)P =亮红灯的时间全部时间=3030+40+5=25;
(2)P =亮黄灯的时间全部时间
=575=1
15;
(3)P =不是亮红灯的时间全部时间=亮黄灯或绿灯的时间全部时间=4575=3
5.
故填25、115、3
5.
答案:25 115 35
6.已知函数f (x )=-x 2+ax -b .若a 、b 都是从区间[0,4]内任取的一个数,则f (1)>0成立的概率是________.
解析:f (1)=-1+a -b >0,即a -b >1,如右图,A (1,0),B (4,0),C (4,3),
S ΔABC =92,P =S ΔABC S 矩=924×4=932
.故填9
32
.
答案:9
32
三、解答题
7.在1万平方千米的大陆架海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,假设在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?
解:石油在1万平方千米的大陆架海域中的分布可以看作是随机的,而40平方千米可看作构成事件的区域面积,由几何概型的概率公式可以求得概率.记“钻到油层面”为事件A ,则P (A )=储藏石油的大陆架面积大陆架海域的面积
=4010000=0.004.
答:钻到油层面的概率是0.004.
8.已知集合A ={x |-1≤x ≤0},集合B ={x |ax +b ·2x -1<0,0≤a ≤2,1≤b ≤3}. (1)若a ,b ∈N ,求A ∩B ≠Ø的概率; (2)若a ,b ∈R ,求A ∩B =Ø的概率.
解:(1)因为a ,b ∈N ,(a ,b )可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共9组.
令函数f (x )=ax +b ·2x -1,x ∈[-1,0],则f ′(x )=a +b ln2·2x . 因为a ∈[0,2],b ∈[1,3],所以f ′(x )>0, 即f (x )在[-1,0]上是单调递增函数.
f (x )在[-1,0]上的最小值为-a +b 2-1.要使A ∩B ≠Ø,只需-a +b
2-1<0,即2a -b +2>0.
所以(a ,b )只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共7组. 所以A ∩B ≠Ø的概率为7
9
.
(2)因为a ∈[0,2],b ∈[1,3],所以(a ,b )对应的区域为边长为2的正方形(如右图),面积为4.由(1)可知,要使A ∩B =Ø,只需f (x )min =-a +b
2-1≥0⇒2a -b +2≤0,所以满足A ∩B =Ø的(a ,b )对应的区域是图中的阴影部分,
所以S 阴影=12×1×12=1
4,
所以A ∩B =Ø的概率为P =1
44=1
16
.
[高考·模拟·预测]
1.在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ,则点P 到点A
的距离小于等