一维单原子.ppt

• 晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热 学性质,还与固体的弹性性质,介电性质,光 学性质,电磁学性质,结构相变等固体各方面 的物理性质密切相关,是研究固体物理性质 的基础.
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-1一维单原子晶格振动
重点内容
晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式 —— 格波 格波的研究 —— 先计算原子之间的相互作用力 —— 根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程
受到第n-1和n+1个原子的作用力，且设βn,n-1= βn+1,n= β,则:
Fn1,n n1,n ( xn xn1 )
Fn1,n n1,n ( xn1 xn )
F Fn1,n Fn1,n n1,n ( xn xn1 ) [ n1,n ( xn1 xn )]
U
(a


)

1 2
(
2U r 2
)
2
恢复力可表示为：
F
dU
d

(
2U r 2
)a




2U ( r 2
)a
称为力常数
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
3-2.3写出运动方程
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
原则：牛顿运动定律F=ma。
B 最近邻近似:若只考虑最近邻原子的作用，则第n个原子
平衡位置处两原子间 互作用势能记作U(a)
产生相对 位移后
U(a+δ) 按简谐近似处理
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
A 简谐近似
泰勒基数展开
U (a

)

U(a) ( U r
)a

1 2
(
2U r 2
)
2
高阶项
考虑到简谐近似
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3-2.2体系恢复力与相对位移关系
通常采用谐振子模型来描述晶格振动，故原子围绕平衡位置的
往复振动，受到恢复力的作用。
n-2 n-1
n n+1
a n+2
m
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
设第n个和第n+1个原子间相对位移用δ来表示： δ =xn+1-xn
F ( xn1 xn1 2 xn ) mxn ( xn1 xn1 2 xn )
每个原子对应一个方程， 若原子链有N个原子，则有 N个方程，这实际上表示N 个联立的线性齐次方程。
注意：这里不考虑原子链端点的边界效应。
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
绝热近似
固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子实 组成，所以固体实际上是由电子和离子实组成的多粒 子体系。由于电子之间、电子与离子实以及离子实之 间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体总量是不 可能的。但注意到电子与离子实的质量相差很大，离 子实的运动速度比电子慢得多(3个数量级)可以近似 地把电子的运动与离子实的运动分开来考虑，
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
一维单原子链的色散关系
何为色散关系？
指晶格振动的频率ω与波矢q（或k）的关系,记作ω(q)。
如何求色散关系？
求晶格振动的运动方程的解。
求解：m&x&n (xn1 xn1 2xn )
简谐近似 且只考虑 最近邻相 互作用
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章、晶格振动与晶体热学性质
主要内容
§3-1一维单原子晶格振动（掌握） • §3-2一维双原子晶格振动 • §3-3 三维晶格振动（理解） • §3-4 声子,声子谱的测定 • §3-6 晶格热容 • §3-7 非简谐效应
吉林建筑工程学院材料学院
•
晶格振动理论
晶格振动理论就是在这种绝热近似的基础上建立的。
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
Biblioteka Baidu
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
基本概念
1、晶格振动：晶体中的原子、离子实际上不是静止
在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，即为 晶格振动；
2、关于热学性质(热容、热膨胀、热传导)：对晶格
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
3-1.1一维单原子链体系及参数
n-2 n-1
m
n
n+1
a n+2
xn-2
xn-1
xn
xn+1
xn+2
体 质量——m；
系 平衡时原子间距——a；
参 数
第n个原子离开平衡位置的位移——xn； 第n个和第n+1个原子间相对位移——xn+1-xn 。
这种近似方法称为绝热近似-Born-Oppenheimer 近似-1927年
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
• 在研究电子的运动时，认为离子静止在平衡位置上， 变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；
固体电子论
• 在研究离子实的运动时，则认为电子能够即时跟上 离子实位置的变化，变成离子实或原子如何围绕平 衡位置运动的问题。
振动的研究是从解释固体的热学性质开始的。最初认为 固体比热容服从杜隆—珀替定律；1907年爱因斯坦提出 固体比热容的量子理论；1912年德拜提出固体的比热容 理论，把固体当成连续介质处理；此后，玻恩及其学派 建立与发展了比较系统的晶格振动理论。
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
求一维单原子链的色散关系
求色散关系（w~q），即解如下运动方程：
m
d 2 xn dt 2

( xn1
xn1 2 xn )
设试探解为： xn Aei(tnaq)
x&n (i) Aei(tnaq) &x&n (i)2 Aei(tnaq)
吉林建筑工程学院材料学院
3 – 1 一维单原子链
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3-1一维单原子晶格振动
主要内容
• 3-1.1介绍一维单原子链体系及参数； • 3-1.2体系恢复力与相对位移关系； • 3-1.3写出运动方程(根据牛顿定律)； • 3-1.4解出一维单原子链的色散关系； • 3-1.5讨论一维单原子链晶格振动特点