高等代数第九章 二次型

x1 x2 q( x1, x2 ,, xn ) = ( x1, x2 ,, xn )A x n
Leabharlann Baidu
令A= (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵 称 = ）式右端的系数所构成的矩阵,称
二次型（ ）的秩指的就是矩阵A的秩 的秩。 二次型（3）的秩指的就是矩阵 的秩。
9.1.2 线性变换
（2） q( x1, x2 ,, xn ) = ∑∑aij xi x j , aij = a ji
i =1 j=1
n
n
的矩阵。 为二次型 q( x1, x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 aij = a ji , 所以A是 上的一个 阶对称矩阵， 上的一个n 所以 是F上的一个 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 ，（2） 法，（ ）式可以写成 （3 ）
0 c1 c2 P′AP = 0 cn
上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 即F上的一个 阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 上的一个 同。
证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 理。回忆一下 里所定义的三种初等矩阵 P j , Di (k)和 ij (k)容易看出， T 容易看出， i
例1 设
0 3 0 0 0 3 6 0 A= 0 6 12 4 3 0 4 0
我们按定理9.1.2所给出的方法对 施行行和列 所给出的方法对A施行行和列 我们按定理 所给出的方法对 初等变换， 初等变换，将A变成 P′AP ，使得 P′AP是一个对 变成 角形矩阵。 角形矩阵。同时对单位矩阵 I4 ，施行同样的初等 变换而得出P。 变换而得出 。 交换A第一列和第二列，第一行和第二行， 交换 第一列和第二列，第一行和第二行，同 第一列和第二列 的第一列和第二列。这时A和 时交换 I4的第一列和第二列。这时 和 I4 分别化 为：
将（5）代入（3）就得到 ）代入（ ）
矩阵P称为线性变换（ ）的矩阵。如果P是非奇异 矩阵 称为线性变换（4）的矩阵。如果 是非奇异 称为线性变换 就称（ ）是一个非奇异线性变换 因为A是 非奇异线性变换。 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为 是 对称矩阵， 对称矩阵，所以 (P′AP)′ = P′A′P = P′AP. P′AP 也是对称矩阵。 也是对称矩阵。
这相当于用 T j ( 1
a1 j a11
) 右乘 ，用 右乘A，
Tj1(
a1 j a11
) = T j ( 1
a1 j a11
)
左乘A。这样， 左乘 。这样，总可以选取初等矩阵 E1, E2 ,, Es , 使得 a11 0 0 0 ′ ′ ′ Es E2E1 AE1E2 Es = A 1 0 阶的对称矩阵。 这里 A 是一个 – 1阶的对称矩阵。 阶的对称矩阵 1 是一个n
(P1 )′BP1 = (P′)1BP1 = A
传递性： 合同， 合同， ③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 合同。 么C 与 A 合同。
事实上， 事实上，由 P′AP = B 和 Q′BQ = C 可得 (PQ)′ A(PQ) = Q′P′APQ = Q′BQ = C 合同的矩阵显然有相同的秩， 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的. 称矩阵合同的矩阵仍是对称的 是数域F上两个 元二次型， 上两个n 设q 和 q′ 是数域 上两个 元二次型，它们的 矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 矩阵分别为 性变换将 q 变为 q′ ，则B与A 合同 反之，设B与 与 合同. 反之， 与 A 合同 于是存在 上非奇异矩阵 使得 B= P′AP . 合同. 于是存在F上非奇异矩阵 上非奇异矩阵P 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 通过以 为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q′ . F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 上两个二次型叫等价， 上两个二次型叫等价 非奇异线性变换将其中一个变成另一个. 非奇异线性变换将其中一个变成另一个
定理9.1.1 设 ∑∑aij xi x j 是数域 上的一个以 为 是数域F上的一个以 上的一个以A为 定理 矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以 为矩 矩阵的 元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 元二次型 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 P′AP 。 推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 推论 换之下保持不变。 换之下保持不变。 注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵， 注意 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立 不成立
定理9.1.3 数域 上两个二次型等价的必要且充分 数域F上两个二次型等价的必要且充分 定理 条件是它们的矩阵合同。 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 令A= (aij ) 是数域 上的一个 阶对称矩 是数域F上的一个 上的一个n阶对称矩 定理 = 阵。总存在F上一个 阶非奇异矩阵P，使得 总存在 上一个n阶非奇异矩阵 ， 上一个 阶非奇异矩阵
(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 的主对角线上元素不全为零， 的主对角线上元素不全为零 如果i 的第1列与第 如，ii ≠ 0.如果 ≠ 1，那么交换 的第 列与第 列， 如果 ，那么交换A的第 列与第I a aii 再交换第1行与第 行与第i行 换到左上角。 再交换第 行与第 行，就可以把 换到左上角。这 P i 右乘 A 1 , 再用 样就相当于初等矩阵 P′i = P i 左乘 . 于是 P′i AP i 的左上角的元素 A 1 1 1 1 a1 j 不等于零. 因此， 不等于零. 因此，我们不妨设 a11 ≠ 0，用 乘 a11 a1 j A的第 列加到第 j 列，再用 的第1列加到第 乘第1行加到第 的第 乘第 行加到第 a11 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第 列位置的 就可以把第一行第 行第1列位置的 元素变成零。 元素变成零。
由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q 使得 由归纳法假设，存在 阶可逆矩阵 1
0 c2 c3 ′ A Q1 = Q1 1 0 cn
取
1 0 0 0 Q= Q1 0
P = E1E2 EsQ
那么
′ ′ ′ P′AP = Q′Es E2E1 AE1E2 EsQ 0 a11 0 0 a11 0 0 0 ′ =Q Q = ′ 1 A Q1 A Q1 1 0 0 0 c1 c2 = 0 cn
第九章 二次型
9.1 9.2 9.3 9.4
二次型和对称矩阵 复数域和实数域上的二次型 正定二次型 主轴问题
我思故我在。 我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650) 笛卡儿
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 如果我能够看的更远， 的肩上。 的肩上。
如果对二次型（ ）的变量施行如下的一个变换： 如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） xi = ∑ pi j y j , i = 1,2,, n, pij ∈ F(1 ≤ i, j ≤ n) ）
i =1 n
那么就得到一个关于 y1, y2 ,, yn 的二次型
q′( y1, y2 ,, yn )
c 的个数等于A的秩 是零。显然， 的秩， 是零。显然，不为零的i 的个数等于 的秩，如 果秩A等于 等于r 果秩 等于 > 0，那么由定理的证明过程可以知 ，
c1, c2 ,, cr ≠ 0, 而cr+1 = cr+2 = = cn = 0
上一个n 阶对称矩阵A， 给了数域 F 上一个 阶对称矩阵 ， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 的证明过程还可以看出， 的证明过程还可以看出 一个可逆矩阵P， 有对角形式， 一个可逆矩阵 ，使 P′AP有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对 施行一对列初等变换和行初等变换的同时， 施行一对列初等变换和行初等变换的同时 n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当 阶单位矩阵 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时， 就化为P。 化为对角形式时，I 就化为 。
（4）式称为变量的线性变换，令 P = ( pij ) 是（4） ）式称为变量的线性变换， ） 的系数据构成的矩阵， 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成 ）
（5） ）
y1 x1 y2 x2 = P y x n n
y1 y2 6） （6） q′( y1, y2 ,, yn ) = ( y1, y2 ,, yn )P′AP y n
牛顿（Newton,1642－1727） --- 牛顿（Newton,1642－1727）
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形 二.教学目的 教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 了解二次型的标准形 三.重点难点 重点难点: 重点难点 合同、线性变换、 合同、线性变换、二次型的标准形
9.1.1 二次型及矩阵
定义1 是一个数域， 上 定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式 是一个数域
2 2 2 q( x1, x2 ,, xn ) = a11x1 + a22x2 ++ ann xn （1 ）
+ 2a12x1 x2 + 2a13x1 x3 ++ 2an1,n xn1 xn
叫做F上的一个 元二次型。 叫做 上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 二次型（ 数，二次型（1）定义了一个函数 q : F n → F. 所 个变量的二次型. 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. 在（1）中令 aij = a ji (1 ≤ i, j ≤ n) . 因为 xi x j = x j xi , ） 所以（ ）式可以写成以下形式： 所以（1）式可以写成以下形式：
P′j = P j ; Di (k)′ = Di (k); Tij (k)′ = Tij (k) i i
现在对矩阵A的阶 作数学归纳法，n = 1时定 现在对矩阵 的阶n作数学归纳法 的阶 作数学归纳法， 时定 理显然成立。 理显然成立。设n > 1，并且假设对于 – 1阶对称 ，并且假设对于n 阶对称 矩阵来说，定理成立。 是一个n阶矩阵 阶矩阵. 矩阵来说，定理成立。 设A= (aij )是一个 阶矩阵 = 如果A 本身就是对角形式。 如果 = O，这时 本身就是对角形式。设 A≠ O, ，这时A本身就是对角形式 ≠ 我们分两种情形来考虑. 我们分两种情形来考虑
这里 c1 = a11 。
(b) 如果 aii = 0, i = 1,2, , n . 由于 由于A≠O，所以 ， 一定有某一个元素 aij ≠ 0, i ≠ j . 把A的第 j 列加 的第 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 列 行 Tji (1) 右乘 . 再用 Tij (1) = Tji (1)′ 左乘 右乘A 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 行第 于是由情形（ ）就归结到情形（ ） 是 2aij ≠ 0 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 P′AP 中，主 的主对角形矩阵 c1 对角线上的元素 , c2 ,, cn 的一部分甚至全部可以
i =1 j=1
n
n
9.1.3 矩阵的合同
是数域F上的两个 定义2 定义 设A，B是数域 上的两个 阶矩阵。如果存 是数域 上的两个n 阶矩阵。 上的一个非异矩阵P， 在F上的一个非异矩阵 ，使得 P′AP = B 上的一个非异矩阵 那么称B与 合同 合同。 那么称 与A合同。 矩阵的合同关系的性质： 矩阵的合同关系的性质： 自反性： 都与自身合同， ① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A 对称性： 合同， 合同， ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 P′AP = B 可以得出