流体力学漩涡理论ppt课件
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速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
Γ AB＝－Γ BA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
C L 2 nd
n 0 Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Γ ｃ=-Γ Ｌ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
21
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡a面bdb上aea n0 0
ab ba 0
ab ba
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
该处的速度
v vxi vy j vzk
流速与流线相切
dx dy dz v vx(x, y,z,t) vy(x, y,z,t) vz(x, y,z,t)
ds
ds
8
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
元流
截面积为无限小的流束
称为元流
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ω ndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
d
流量
Q dQ ud
10
二、速度环量（velocity circulation）
或 c cVsds 2 nd
n
漩涡理论
d
C
16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vБайду номын сангаас y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 / s
V Vs
B
ds
漩涡理论
12
沿封闭周线C的速度环量
c cVsds
V
α Vs
ds C
cV ds cVxdx Vydy Vzdz
漩涡理论
13
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
Vxdx
AB
Vy dy
Vz dz
AB
x
dx
y
dy
z
dz
B
A d B A
V Vs
B
对于有旋场:
ds
AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
A
漩涡理论
14
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
即 d 0
dt
漩涡理论
22
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
体，没有固体或空洞。
3 任意曲面
n
推广到有限大平面
d
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB' A'EA AB C BA L
AB BA
C L 2 nd 漩涡理论
与此线相切。 3
2
相切。
v3 v2
1
v1
7
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk 该处的旋转角速度
xi y j zk
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)
y
(
dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
z,
t
)
积分时将ｔ看成参数
σ
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
19
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处
为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2nd 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
漩涡理论
20
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
dy
c
而
( v y x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy
vy x
dx
a vx
0
b x
d 2zdS 2ndS 2dJ
漩涡理论
17
2 有限平面
C 2nd 2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds 2 nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
15
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
旋涡理论
2
园盘绕流尾流场中的旋涡
3
园球绕流尾流场中的旋涡
4
园柱绕流尾流场中的旋涡
5
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
6
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量 同瞬时的流速矢量 v 与此线
路径的线积分。
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
Γ AB＝－Γ BA
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
11
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds)ds
C L 2 nd
n 0 Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Γ ｃ=-Γ Ｌ
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
漩涡理论
21
§5-2 汤姆逊定理
假设：
（1）理想流体；
（2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）
汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变.
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量） 2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.兰金组合涡
1
§５-１ 旋涡运动的基本概念
旋涡场: 存在旋涡运动的流场 有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
流场，非有势力。
漩涡理论
23
§５-３ 海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
abdbaea 2 nd
涡a面bdb上aea n0 0
ab ba 0
ab ba
流线微分方程：
取流线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk
该处的速度
v vxi vy j vzk
流速与流线相切
dx dy dz v vx(x, y,z,t) vy(x, y,z,t) vz(x, y,z,t)
ds
ds
8
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
元流
截面积为无限小的流束
称为元流
9
旋涡强度
Ｊ表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小
dＪ＝ω ndσ
J nd
如果 是涡管的截面
则J为涡管强度
n
d
流量
Q dQ ud
10
二、速度环量（velocity circulation）
或 c cVsds 2 nd
n
漩涡理论
d
C
16
斯托克斯定理证 明三步曲：
1、微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vБайду номын сангаас y
dy)dx
vydy
( vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 / s
V Vs
B
ds
漩涡理论
12
沿封闭周线C的速度环量
c cVsds
V
α Vs
ds C
cV ds cVxdx Vydy Vzdz
漩涡理论
13
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
AB
Vxdx
AB
Vy dy
Vz dz
AB
x
dx
y
dy
z
dz
B
A d B A
V Vs
B
对于有旋场:
ds
AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
A
漩涡理论
14
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
即 d 0
dt
漩涡理论
22
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
体，没有固体或空洞。
3 任意曲面
n
推广到有限大平面
d
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB' A'EA AB C BA L
AB BA
C L 2 nd 漩涡理论
与此线相切。 3
2
相切。
v3 v2
1
v1
7
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
ds dxi dyj dzk 该处的旋转角速度
xi y j zk
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)
y
(
dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
z,
t
)
积分时将ｔ看成参数
σ
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
19
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处
为零，则沿任意封闭周线的速度环量为
零
c 2nd 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
漩涡理论
20
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
dy
c
而
( v y x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy
vy x
dx
a vx
0
b x
d 2zdS 2ndS 2dJ
漩涡理论
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2 有限平面
C 2nd 2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds 2 nd
————斯托克斯定理
漩涡理论
15
三、斯托克斯定理
沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍,即 Γｃ＝２J
旋涡理论
2
园盘绕流尾流场中的旋涡
3
园球绕流尾流场中的旋涡
4
园柱绕流尾流场中的旋涡
5
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
6
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
同瞬时的旋转角速度矢量 同瞬时的流速矢量 v 与此线