傅里叶变换的性质.

设
x(t) FT X ( j)
则
x(t)e j0t FT X [ j( 0 )]
因为
ℱ x(t)e j0t x(t)e j0te jt dt x(t)e j(0 )t dt
同样道理
X [ j( 0 )]
x(t)e j0t FT X [ j( 0 )]
设信号x(t)与一等幅正弦波相乘， 其波形如图：
a
a
x(t) FT X ( j) X ( j) Sa( )
2
x(t) 1
2
2
t
x(2t) FT Sa( ) 24
x(2t) 1
4
4
t
x( t )
2
x( t ) FT2Sa()
1
2
t
X ( j)
2
1 X( j ) 22
2
4
2X ( j2)
2
从上例可清楚地看出，信号的时间波形宽度变窄，频 率波形的宽度就变宽；反之，频率波形的宽度就变窄。
1FT 2 ()
ℱcos 0t
()
()
根据频移特性
1 e j0t FT 2 ( 0 )
于是，正、余弦信号的傅里叶变换
0
0
()
0
jℱsin 0t
()
0
c os0t
1 2
(e
j0t
e j0t ) FT [( 0 )
(
0 )]
sin
0t
1 2j
(e j0t
e j0t ) FT
j[( 0 )
§3-5 傅里叶变换的基本性质
信号的时间函数式与其傅里叶变换，分别从时域和频 域对同一信号进行了描述。傅里叶变换的性质就建立起信 号时间特性和频率特性之间的对应关系。理解和掌握这些 性质，对以后的学习至关重要。
一、线性
设 则
xi (t) FT X i ( j)
N
N
x(t) ci xi (t) FT X ( j) ci X i ( j)
四、时移特性
设
x(t) FT X ( j)
则
x(t t0 ) FT X ( j)e jt0 X ( j) e j[()t0 ]
因为 ℱx(t t0 ) x(t t0 )e jt dt
令 t-t0=τ，dt=dτ，于是上式等于
ℱ x(t t0 ) x()e j(t0 )d e jt0 x()e jd
1
t
x(t)cosΩ0t的傅里叶变换就应该如下图所示：
x(t) cos 0t t
ℱ x(t) cos0t
1 2
0
0
x(t)cosΩ0t的图形是一幅度随信 号x(t)变化的正弦波形，称这种波
x(t) cos 0t
为调幅波，对应信号称为已调信号。
t
x(t)称为调制信号或基带信号， 对应信号的频带宽度，称为基带带 宽。cosΩ0t称为载波信号或受调信 x(t) 号，它的频率称为载波频率，简称 载频。
x(t) cos0t
x(t) 2
(e j0t
e j0t )
1 [x(t)e j0t x(t)e j0t ] 2
其傅里叶变换
ℱx(t) cos 0t
1 2
{X[
j(
0 )]
X
[
j(
0
)]}
x(t) t
cos 0t t
x(t) cos 0t t
若设信号x(t)的傅里叶变换如图：
x(t)
X ( j)
i 1
i 1
2u(t)
例如：
2 t
1
x(t) sgn(t) 2u(t) 1
X ( j) 2[() 1 ] 2() 2
j
j百度文库
二、时频对偶性
设
x(t) FT X ( j)
则
X ( jt ) FT 2x()
若x(t)是偶对称的，则
X ( jt ) FT 2x()
x(t) 1
2
2
t
X ( jt)
(
0 )]
六、微分特性
设
x(t) FT X ( j)
则
x(t) FT jX ( j)
------时域微分性
jtx(t) FT dX ( j) d
y(t) x(t) cos 0t
z(t)
cos 0t
z(t) y(t) cos 0t x(t) cos2 0t
x(t) 2
(1 cos20t)
20
x(t)
Y ( j)
1 2
0
0
Z( j)
1 2
0 c
c 0
20
利用频移特性，可以求得正、余弦信号的傅里叶变换。
已知直流信号的傅里叶变换是强度为2π的冲激，
三、展缩（尺度变换）特性
设 则
x(t) FT X ( j) x(at) FT 1 X ( j )
aa
（a为非零实常数）
因为，当a>0
x(at)e jt dt
1
j
x()e a d
1
X( j )
a
a
a
同样，当a<0
x(at)e jt dt
1
j
x()e a d
1
X( j )
a
y(t) x(t) cos 0t cos 0t
获得已调信号的过程称为调 制。通过调制，基带信号的频 谱被保留，并整体搬移到载波 频率处。
ℱ x(t) cos0t
1 2
0
0
由已调信号恢复基带信号的过程，称为解调。对于以 正弦信号为载波的调幅波，解调与调制过程类似：让已 调信号与其载波频率相同的正弦波相乘，再通过一频率 选择性滤波器。
x(t)
X ( j)
x(0)
X ( j0)
2
2
t
B 2
B 2
如上图，假设实线图形表示一对傅里叶变换，虚线图形 是面积与对应实线图形相等的矩形。时间图形中的矩形宽 度τ，称为对应波形的等效脉冲宽度，简称脉宽或时宽； 频域图形中的矩形宽度B，称为对应波形的等效频带宽度， 简称频宽。
x(t)
X ( j)
x(0)
X ( j0)
2
2
t
B 2
B 2
由上图可见，两矩形的面积分别为
x(0) x(t)dt [ x(t)e jtdt]0 X ( j0)
所以有
B X ( j0) X ( j)d [ X ( j)e jtd]t0 2x(0)
B 2
B 2
•即信号的时宽频宽积等于 常量，或频宽与时宽成反 比关系。
X ( j)e jt0
x(t) 1
2
2
t
x(t ) 12
t
2
ℱ
x (t
2
)
Sa(
)e
2
j 2
信号经过时移后，其对应的频 谱（傅里叶变换）中的振幅频谱没 有变化，只是相位频谱增加了一个 相对于频率Ω线性变化的分量。
X ( j)
2
2
2
() 2
2
2
五、频移特性与调幅波
2
t
sgn(t)
1
t
t
1
X ( j)
2
x()
2
2
2
例如： (t) FT 1
x(t)
(1)
0
t
X ( j)
1
0
1FT 2()
X ( jt)
1
x()
(2)
0
t
0
事实上，这个性质是出自于傅里叶正、反变换公式的 对称关系
X ( j) x(t)e jt dt
x(t)
1
X ( j)e jt d
2