中考几何三大变换(含答案17页)

圏① 囹②

中考几何变换专题复习（针对几何大题的讲解）

几何图形问题的解决，主要借助于基本图形的性质（定义、定理等）和图形 之间的关系（平行、全等、相似等）.基本图形的许多性质都源于这个图形本身的

“变换特征”，最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形”极多的情况也同 样具有“变换”形式的联系.本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样， 和相互间的位置没有直接关系， 但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形， 大多数都有一定的位置关系（或成轴对称关系，或成平移的关系，或成旋转的关 系（包括中心对称）.这样，在解决具体的几何图形问题时，如果我们有意识地 从图形的性质或关系中所显示或暗示的“变换特征”出发，来识别、构造基本图 形或图形关系，那么将对问题的解决有着极为重要的启发和引导的作用

.下面我

们从变换视角以三角形的全等关系为主进行研究 . 解决图形问题的能力，核心要素是善于从综合与复杂的图形中识别和构造出基

本图形及基本的图形关系，而“变换视角”正好能提高我们这种识别和构造的能力•

1. 已知正方形 ABCC 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥ BD 交BC 于F ,连 接DF G 为DF 中点，连接Eq CG

（1） 求证：EG=CG

（2） 将图①中厶BEF 绕B 点逆时针旋转45° ,如图②所示，取 DF 中点G 连接 EG CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由；

（3） 将图①中厶BEF 绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问 （1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明） .

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；正方

形的性质。

专题：压轴题。

分析：（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG

（2）结论仍然成立，连接AG过G点作M⊥AD于M与EF的延长线交于N点; 再证明△ DAG^△ DCG得出AG=CG再证出△ DMFNG得到MG=N Q再证明

△ AM3A ENG得出AG=EG最后证出CG=EG

（3）结论依然成立.还知道EGL CG

解答：（1）证明：在Rt△ FCD中，

VG为DF的中点，

∙∙∙ CG=FD,

Ξ

同理，在Rt△ DEF中，

EG= FD

2

∙∙∙ CG=EG

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG

证法一：连接Aq过G点作MNLAD于M与EF的延长线交于N点.

在厶DAG与^ DCG中,

V AD=CD ∠ADG∠CDG DG=DG

•••△DAG^ DCG

二AG=CG

在厶DMGf A FNG中，

V∠ DGM∠ FGN FG=DG ∠ MDG∠ NFG

• △ DMQ FNG

∙∙∙ MG=N；

在矩形AENMK AM=EN

在厶 AMG与^ ENG中,

V AM=EN ∠AMG∠ENG MG=NG •••△ AM3A ENG

∙∙∙ AG=EG

∙∙∙ EG=CG

证法二：延长CG至M,使MG=CG

连接MF ME Eq

在厶 DCG与^ FMG中 ,

V FG=DG ∠MGF∠CGD MG=CG

DCG^ FMG

∙∙∙ MF=CD ∠ FMG∠ DCG

∙∙∙ MF// CD// AB

∙∙∙ EF⊥ MF

在Rt△ MFE与Rt△ CBE中,

V MF=CB EF=BE

•••△ MFE^△ CBE

∙∙∙∠ MEF∠ CEB

∙∙∙∠ MEC∠MEF∠ FEC∠ CEB∠ CEF=90 ,•••△ MEC为直角三角形.

V MG=CG

∙∙∙ EG=I MC

∙∙∙ EG=CG

(3)解：(1)中的结论仍然成立.

即EG=CG其他的结论还有：EGL CG

團②(二)

閤②t 一)

点评：本题利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形

的判定和性质.

2. (1)如图1,已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EF⊥BD于

(2)若点E在BC的延长线上，如图2，过点E作EF⊥BD于点F, EGLAC的延长线于点G CH L BD于点H,则EF、EG CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；

(3)如图3, BD是正方形ABCD勺对角线，L在BD上，且BL=BC连接CL,点E 是

CL上任一点，EF⊥ BD于点F, EGL BC于点G 猜想EF、EG BD之间具有怎样

勺数量关系,直接写出你勺猜想；

(4)观察图1、图2、图 3 勺特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、EG CH这样的线段，并满足(1)或(2)的结论，写出相关题设的条件和结论．

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。专题：几何综合题。

分析：(1)要证明CH=EF+E,首先要想到能否把线段CH分成两条线段而加以证明，就自然的想到添加辅助线，若作CELNH于N,可得矩形EFHN很明显只需证明EG=CN 最后根据AAS可求证△ EGC2^CNE得出结论.

(2)过C点作COL EF于Q可得矩形HCoF因为HC=DO所以只需证明EO=EG 最后根据AAS可求证△ COE2^CGE得出猜想.

(3)连接AC过E作EG作EHLAC于H,交BD于Q可得矩形FOHE很明显只需证明EG=CH最后根据AAS可求证△ CHE^△ EGC得出猜想.

(4)点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和(或差)等于这个等腰三角形腰上的高，很显然过C作CELPF于E,可得矩形GCEF 而且AAS 可求证△ CEP^△ CNP 故CG=P F PN

解答：(1)证明：过E点作ENL GH于N (1分)

V EF L BD CHL BD

•••四边形EFHN是矩形.

∙∙∙EF=NH FH// EN ∙∙∙∠ DBC∠ NEC