运筹学-6(图与网络分析)

每一条边和两个节点关联，一
3
条边可以用两个节点的标号表示
（i，j）
i
j
2
■路径（Path）
前后相继并且方向相同的边序列
1
4
P={(1,2),(2,3),(3,4)}
3
■链（Chain）
2
前后相继并且方向不一定相同的边
序列称为链 C={(1,2),(3,2),(3,4)}
1
4
3
■回路（Circuit）
F 228 CF A→C→F
I
258 EI A→B→E
→I
H 288 FH A→C→F →H
步 已解点 候选点 骤
相关 成本
A C 7F I H
F 8I
H D
D D G J G, J
G J J G
348 291 360 384 336, 414 360 384 414 396
第n个 最近
节点
最小 最新 成本 连接
计算运费：1*7+2*5+1*4+2*3+1*2=29
案例——通俗思路解题
起点和终点不同的单一路线选择
例1： 如图5—5所示，A是一煤矿所在地，I是 煤炭需求地，B，C，D，E，F，G，H，I是由A到J 的可经过的城镇。每两节点之间的距离已经标 出，现在要找出从A到J之间的最短路线。这就是一 个最短路问题。
2
起点和终点重合的路径称为回路
μ={(1,2),(2,4),(4,1)}
1
4
回路中各条边方向相同
3
■圈(Cycle)
起点和终点重合的链称为圈 ρ ={(1,2),(2,4),(3,4),(1,3)} 圈中各条边方向不一定相同
■连通图
任意两个节点之间至少有一条 链的图称为连通图
■树(Tree)
无圈的连通图称为树 树中只与一条边关联的节点称 为悬挂节点
图的基本概念(续)
由点和边组成的图叫做无向图，记为G=（V，E）
由点和弧组成的图叫做有向图，记为D=（V，A）
例1. v1
e5
e1
e2
v2
v3 a8
v5
v7
a1
a10
பைடு நூலகம்
e3
e4
v1
a3 a4 a6 a9
a11
a2
v6 a7
v4
e6
v3
v2
a5
v4
e7 无向图：点集、边集
有向图：点集、弧集
图的基本概念(续)
2
1
4
3
2 1
3 5
4
图上作业法
已知如图所示：三个工厂向四个市场配 送，请确定最佳配送路线。
B4
1 7
A3
3
1
4
A1 3 5
4
B1
B2
2
4
3
3
B3 1 2
3 A2
先去掉两个圈内路线最长的线，得到下列流量图
7 A1 3 5
（3）
B4 1
(1)
A3
1
3
4
B1
B2
(1)
2
3
4
B3
1
2 (2)
(1) 3 A2
运筹学基础教程
6
黄桐城 主编 赵弘志 改编 主讲
第六章 图与网络分析
主要内容—我们的教材p-116
★ 图论的基本概念 ★ 最短路问题 ——不重要内容 ★ 最大流问题 ——不重要内容 ★ 网络计划
6.1 图论的基本概念
6.1.1 引论 哥尼斯堡七桥问题
C
简捷表示事物之间的 本质联系，归纳事物 之间的一般规律
步 已解点 候选点 骤
相关 成本
第n个 最近
节点
最小 成本
最新 连接
A到各 N节点 最短 路径
1A
2A B
A 3B
C
BCD
CD CE
90,138,348
138,348 156,174
D
348
E
174
DF
291,228
B
90 AB A→B
C 138 AC A→C
E 174 BE A→B→E
步 已解点 候选点 骤
相关 成本
A 4C
E
A 5C
E F
A 6C
F I
D D, F F, I
D D I H, G
D D H, G H, J
348 291, 228 294, 258
348 291 258 288, 360
348 291 288, 360 390, 384
第n个 最近
节点
最小 成本
最新 连接
A到各 N节点 最短 路径
A到各 N节点 最短 路径
D 291 CD A→C→D
J
384 IJ
A→B→E
→I→J
6.2 网络计划
6.2.1 基本概念—p130
·网络计划是用网络分析的方法编制的计划 ·杜邦公司—关键路线法CPM ·美国海军武器局—计划评审技术PERT ·网络图（有向赋权图）的构成 ·结点，也称事项，一道工序的开始或结束 ·工序（弧），相对独立的活动，消耗资源 ·虚工序，只表示衔接关系，不消耗资源 ·工序时间（权），完成工序的时间消耗
A D
B A
C
D
B
引论 图的用处
A、B、C、D、E 五支球队进行循环赛
A
B
C
某公司的 组织机构设置图
总公司
分公司
工厂或 办事处
D
E
6.1.2 图的基本概念
图是由点和线构成的。 点的集合V表示，V={vi} 不带箭头的连线叫做边(edge)，边
的集合记为E= { ej } ，一条边可以 用两点[ vi,vj ]表示,ej= [ vi,vj ]. 带箭头的连线叫做弧(arc),弧的集合 记为A，A= { ak },一条弧也是用两 点表示，ak= [ vi,vj ],弧有方向： vi为始点，vj为终点
6.2.2 网络图的绘制原则
只 能 有 一 个 始 点 事 项 和 一 个 终 点 事 项 不 允 许 出 现 编 号 相 同 的 箭 线 不 允 许 出 现 循 环 线 路 作 业 要 始 于 结 点 终 于 结 点
4
3
验证：第一圈内总长：3+4+5+4+7=23 第一圈逆时针内配送路长：3+4+5=12>11.5，则不是最优方案 第二圈内配送路长：4+2+3+4=13 第二圈逆时针内配送路长：2<6.5，则是最优方案。 第二圈顺时针内配送路长：3<6.5，则是最优方案。
修正第一圈内方案，取逆时针方向最小值1，然后逆时针方向配送路线减去 1，顺时针方向配送及未走路线加上1，则得到第一圈内配送路长：5<总长 一半，则是最优方案。如图所示：
以点u为端点的边的条数，叫做点u的次 次为1的点叫做悬挂点；次为0的点叫做孤立点；
次为奇数则称奇点；次为偶数则称偶点。 点弧交替序列称为链；闭合的链称为圈 首尾相接的链称为路；闭合的路称回路 任意两点之间都有边相连，称为连通图
图的基本概念(续)
■网络由节点和边组成
2
■节点与（有向）边
1
4
B4
(1)
1
A1 3
7 5
B1 (2)
2
A3 3
1
4
(1)
3
4
B3
1
2 (1)
(2)
3 A2
验证：
4
3
第一圈顺时针内配送路长：7+4=11<11.5，则是最优方案；
第一圈逆时针内配送路长：5<11.5，则是最优方案。
第二圈顺时针内配送路长：3<6.5，则是最优方案。
第二圈逆时针内配送路长：4+2=6<6.5，则是最优方案。