北师大版(2019)高中数学必修第二册 第五章 1.1复数的概念-学案
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复数的概念
【学习过程】
一、预习提问
目前我们所知的最大数集是什么?是否有更大的数集存在?
【提示】一元二次方程在实数范围无解,但是在复数总是有解。 二、合作探究
1.复数的概念
【例1】(1)给出下列三个命题:①若z C ∈,则20z ≥;②21i -的虚部是2i ;③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
(2)已知复数()22z a b i =--的实部和虚部分别是2和3,则实数a ,b 的值分别是__________.
(3)下列命题正确的是__________(填序号). ①若,x y C ∈,则12x yi i +=+的充要条件是1x =,2y =; ②若实数a 与ai 对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ③实数集的补集是虚数集.
2.复数的分类
【例2】(1)复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是( ) A .a b =
B .0a <且a b =-
C .0a >且a b ≠
D .0a >且a b =±
(2)已知m R ∈,复数()()22231
m m z m m i m +=
++--,当m 为何值时,
①z 为实数?②z 为虚数?③z 为纯虚数?
3.复数相等的充要条件 [探究问题]
(1)0a =是复数z a bi =+为纯虚数的充分条件吗?
(2)323i i ++>正确吗?
【例3】(1)若()()1x y yi x i ++=+,求实数x ,y 的值;
(2)关于x 的方程()22311022
a
x x x x i --=--有实根,求实数a 的值.
【学习小结】
(一)复数的概念及分类
1.数系的扩充及对应的集合符号表示
自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系↓↓↓↓↓
N Z Q R C
2.复数的有关概念
3.复数的分类
(1)复数()
()
()
()
()
,0
b
a bi a
b R a
b
a
⎧=
⎪
+∈⎧=
⎨⎪
≠⎨
⎪≠
⎪⎩
⎩
实数
纯虚数
虚数
非纯虚数
(2)集合表示
(二)两个复数相等的充要条件
在复数集{}
,
C a bi a b R
=+∈中,任取两个复数a bi
+,()
,,,
c di a b c
d R
+∈,规定a bi
+与c di
+相等的充要条件是a c
=且b d
=.
【精炼反馈】
1.设集合{}
A=实数,{}
B=纯虚数,{}
C=复数,若全集S C
=,则下列结论正确的是()
A .A
B
C ⋃= B .A B =
C .(
)SB
A ⋂=∅
D .()()SA
SB C ⋃=
2.若复数243a a i --与复数24a ai +相等,则实数a 的值为( ) A .1
B .1或4-
C .4-
D .0或4-
3.复数(1i 的实部为________.
4.已知213z m m mi =-+,()2454z m i =++,其中m R ∈,i 为虚数单位,若12z z =,
则m 的值为________.
5.已知集合()(){}231,8M a b i =++-,集合()(){}
23,12N i a b i =-++满足
M N ⋂≠∅,求整数a ,b .