第二章__内积空间

§ 2.1
内积空间的概念
一、内积空间的定义与基本性质
定义 1 设 V 是数域 F 上的线性空间，如果在 V 上还定义了一种叫内积的 运 算 ： 对 于 V 中 任 意 向 量 , 都 有 F 中 唯 一 的 数 x 与 之 对 应 ， 记 为
( , ) x ．并且这种内积运算还具有如下性质：对于任意的 , , V 及任意
且 (1 ,2 ,...,n ) (1 , 2 ,..., n ) P ．则1 ,2 ,...,n 也是标准正交基． 证 沿用定理 5 证明中的记法，则有
(i , j ) piT p j ij ， i, j 1, 2,..., n ．
这说明1 ,2 ,...,n 为一组标准正交基． 定义 10 如果欧氏空间 V 的非空子集 V1 对于 V 的已有运算也构成一个欧
证
(4)
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
2 Re( , ) 2 ( , ) 2
( )2 ．
2 2 2 2 2
( , ) xi y j ( i , j ) ．
i 1 j 1
n
n
令 显然 aij a ji ．于是
aij ( i , j ) ，
i, j 1, 2,..., n ．
a11 a A 21 an1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
并且 V1 V2 V ， 则称 V2 是 V1 的正交补空间， 简称正交补， 并记 V2 V1 ． V1 V2 ， 由于 V1 V2 {0} ，故知 V V1 V2 V1 V2 ，即说互为正交补的两个子空 间的和必是直和． 例 1 设 1 , 2 ,
, n 是 n 维欧氏空间的正交基， 1 m n ．若令

，
(2)
则 0 是 经单位化得到的单位向量．
2
定理 1
[Ｃauchy-Ｓchwarz 不等式]对于内积空间中任意向量 , 有
( , )

．
(3)
并且，等号成立的充要条件是 , 线性相关． 证明略． 9º (三角不等式)对任意向量 , ，有
．
若 P 按列分块为
P ( p1 , p2 ,..., pn ) ，
则 pi 恰是i 在基 1 , 2 ,..., n 之下的坐标，于是
piT p j (i , j ) ij , i, j 1, 2,..., n ．
这说明 P 是正交矩阵． 定理 6 在欧氏空间中，若 1 , 2 ,..., n 为标准正交基， P 为正交矩阵，
第二章 内积空间
在线性空间中， 元素之间仅限于加法及数乘两种线性运算， 但在三维欧氏 空间中，也就是在向量代数中，向量的数量积(内积)是一个重要的概念，它是 引入向量正交、 长度和两向量夹角等概念的基础， 为了使这些应用较广的概念 能在抽象的线性空间中得到反映， 有必要将这些概念加以拓广， 建立线性空间 的内积的概念，由此形成内积空间．
矩阵．为证明实对称矩阵 A 正定，只须证明实二次型 xT Ax 正定，设
x ( x1 , x2 ,..., xn )T
为任一非零实 n 元数组．令
x11 x2 2
则 是 V 中非零向量，于是
xn n ，
xT Ax ( , ) 0 ，
可见 xT Ax 为正定二次型，从而知 A 为正定矩阵．
的 k F ，有 1) ( , ) ( , ) ； 3) ( , ) ( , ) ( , ) ； 此时称 V 为一个内积空间． 例 1 对于复数域上的线性空间 C n ，若规定向量 (a1 , a2 , 2) (k , ) k ( , ) ； 4)当 0 时， ( , ) 0 ．
T
y1 y1 y p y p y p 1 y p 1 y r y r ．
(5)
r p 称为负惯性指数． 上式中的 r 称为该 H—二次型的秩数，p 是正惯性指数，
3
与规范形(5)相应的厄米特二次型的矩阵
1 1 1 B 1 0 0
n n , l j j l j ( , j ) ． j 1 j 1 n m m n k , l i i j j ki l j (i , j ) ． j 1 i 1 i 1 j 1
5º
称为 H—矩阵 A 的规范形，显然有 B P H AP ．与实二次型类似，可以根据正 负惯性指数的不同情况把 Hermite 二次型及 Hermite 矩阵分别定义为正定、 负 定、半正定、半负定和不定的． 定义 4 在内积空间中，如果两向量 , 的内积为零，则称 , 正交或垂
直，记作 (规定零向量与任何向量都是正交的)． 10 º (勾股定理)对于内积空间中的向量 , ，若 ，则有
则 C n 构成一个内积空间． 内积的四条规定可推出如下性质 1º 2º 3º 4º
( , k ) k ( , ) ．
( , ) ( , ) ( , ) ．
(k , l ) kl ( , ) ．
m m k , i i ki ( i , ) ． i 1 i 1
为一个实对称矩阵．向量 , 内积可表示为
( , ) xT Ay ．
这里 x, y 分别是 , 的坐标．我们称 A 为 V 在基 1 , 2 ,..., n 下的度量矩阵． 定理 3 证 欧氏空间在任一组基下的度量矩阵都是正定矩阵．
设 V 是 n 维欧氏空间， 1 , 2 ,..., n 是 V 的一组基， A 是该基下的度量
6º 7º
( ,0) (0, ) 0 ．
定义 2
对于内积空间 V 中的向量 ，定义它的长度为
( , ) ．
关于向量的长度，有下面性质 8º k k ． ( k 为数 k 的模)
(1)
长度为 1 的向量称为单位向量，任何非零向量 都可以单位化， 即令
0
V1 L(1 , 2 ,..., m ) ， V2 L( m1 , m2 ,..., n ) ，
4
组组成的基称为标准正交基．
n 维内积空间的 n 个向量 1 , 2 ,..., n 构成标准正交基的充要条件是
0, 当i j时, ( i , j ) ij 1, 当i j时.
利用施密特[Ｓchmidt]标准正交化过程可以从一个已知线性无关向量组
1 , 2 ,..., m 出发，得到一个与之等价的标准正交组．
由于欧氏空间是实数域上的内积空间， 因而内积的共轭对称性就成了对称 性． 设 V 是 n 维欧氏空间， 1 , 2 ,..., n 是 V 的一组基．对于 V 中两个向量
5
x11 x2 2
y11 y2 2
由内积的性质，知
xn n ， yn n ，
, an )T ，
(b1 , b2 , , bn )T 的内积为
( , ) a1b1 a2b2
则 C n 是一个复数域上的内积空间． 例 2
V 是 [a, b] 区间上全体实连续函数对于函数加法与数乘所成的实数
anbn H ，
域上的线性空间．对于 V 中元素 f ( x), g ( x) ，定义内积

定义 5
2
．
2
2
(6)
内积空间中两向量 , 的距离定义为
d{ , } ．
(7)
二、标准正交基
定义 6 在内积空间中， 由两两正交的一些非零向量组成的向量组称为一 个正交向量组，简称正交组． 易证正交向量组是线性无关的． 定义 7 每个向量都是单位向量的正交组称为一个标准正交组或单位正交 组． 定义 8 在内积空间中，由正交向量组组成的基称为正交基；由标准正交
2Hale Waihona Puke Baidu
2
由此即知(4)成立． 定义 3 设 A 为 n 阶 H -矩阵， x x1 , x2 ,, xn 为 n 维复变元向量，则称
T
f x x H Ax 为一个厄米特(Hermite)二次型，称为 H -二次型．
无论 x 为任何 n 维复向量，二次型 f x 的值总是实数，这是因为
6
定理 4 定理 5 阵． 证
n 维欧氏空间 V 的一组基为标准正交基的充要条件是在该基下的
欧氏空间两组标准正交基间的变换矩阵 (过渡矩阵)必是正交矩
度量矩阵为单位矩阵．
设 1 , 2 ,..., n 及1 ,2 ,...,n 都是标准正交基，且有
(1 ,2 ,...,n ) (1 , 2 ,..., n ) P ．
单位化：令 i 标准正交向量组． 定理 2
i , i 1, 2, , m ，则 1 , 2 , , m 为与 1 , 2 , , m 等价的 i
n 维内积空间必有标准正交基． (n 0)
§ 2.2
定义 9 间．
欧氏空间
实数域上的内积空间称为欧几里得 [Euclid]空间，简称欧氏空
氏空间，则称 V1 为 V 的欧氏子空间． 定义 11
V2 是欧氏空间 V 的两个子空间． 设 V1 ， 如果对于 V1 中任意向量
及 V2 中任意向量 ，都有
( , ) 0 ，
则称 V1 与 V2 是正交的子空间，记为 V1 V2 ．
7
定义 12
对于欧氏空间 V 的子空间 V1 ，如果有 V 的子空间 V2 ，使得
f x x H Ax x T Ax x T Ax


T
x T A x x H Ax f x ．
T
任一厄米特[Hermite]二次型 x H Ax 必可经复数域上适当的可逆线性变换
x Py[ P为n阶可逆复矩阵, y y1 y n ] 化为唯一的规范形
( f ( x), g ( x)) f ( x) g ( x)dx ，
a b
则 V 构成一个内积空间．
1
例 3 设 A 是 n 阶正定 H-矩阵( AH ( A)T A ，详见本章第三节)．对于复 线性空间 C n 中的任意向量 , ，若规定内积为
( , ) H A ，
实施过程又分为两大步．一是逐步正交化过程，一是单位化过程． 逐步正交化：令 1 1 ， 2 证 (2 , 1 ) 0 ，只需 k
( 2 , 1 ) 1 2 ，[设 2 k 1 2 ，为保 ( 1 , 1 )
( , ) ( , ) ( 2 , 1 ) .] ， 3 3 1 1 3 2 2 3 ， ． ． ． ， ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
i 1
j 1
i
( i 1 , j ) ( j , j )
易知 1 , 2 , , i 1 与 1 , 2 , , i 1 j i 1 ，i 1, 2, , m 1 ，
等价， 1 , 2 ,
, m 与 1 , 2 ,
m 等价．