解析函数的级数表示

二、 幂级数
形如：
的复函数项级数称为幂级数,其中 a,c0,c1,
c2 ,…, 都是复常数. 以上幂级数还可以写成如下形式
c z
n 1 n

n
c0 c1 z c2 z .
2
定理4.5(阿贝尔)如果幂级数(4.3)
在某点z1(≠a)收敛,则它必在圆
K:|z-a|<|z1-a|(即以a为圆心圆周通过z1的圆)
第一讲
§4.1复数项级数
§4.2复变函数项级数
§4.1 复数项级数
(Series of complex number）
一、复数序列的极限
二、复数项级数
设 { n } (n 1,2,) 为一复数列, 其中
n an ibn , 又设 a ib 为一确定的复数,
如果对于任意给定 0, 总 存 在 正 整 数 N ( ), 当n N时 ， 有 n .

1 n 1 因 为级 数 发 散, 虽 ( 1) 收敛, n n 1 n n1

原级数仍发散.
定理4.3级数
收敛的必要条件是
证明
因为级数
收敛的充分必要条件是
都收敛，再由实级数 收敛的必要条件是

定理4.4若级数
n 1
zn
收敛，则级数 z 也收敛。
n 1 n

若级数 收敛, 则称 绝对收敛.若级数 收敛, 发散，则称 为条件收敛。
那末 称为复数列 { n } 当 n 时的极限, 记作
lim n .
n
此时也称复数列 { n } 收敛于 .
n an bn , a ib, 则 定理4.1 设 复 数 列
lim n 的 充 分 必 要 条 件 是
n
证明
那末对于任意给定 0
一、复变函数项级数
设复变函数项级数 f1(z)+f2(z)+f3(z)+…+fn(z)+… (4.2)
的各项均在区域D内有定义,且在D内存在一个函
数f(z),对于D内的每一点z,级数（4.2）均收敛于
f(z),则称f(z)为级数(4.2)的和函数,记为:
f z f n z
n 1
就能找到一个正数N,
从而有
an a . 所以 lim n
同理
lim bn b.
n
an a , 反之, 如果 lim n
lim bn b,
n
从而有
[证毕]
二、复数项级数
设 n 是一复数列，则
称为复数项级数.
称为级数的部分和. 若{sn}(n=1,2,…,)以有限复数s为极限, 即
n (8i) 是否收敛，若收敛， 例4 判 断 级 数 n! n 1

是绝对收敛？还是条收 件敛
解 因为
( 8i ) n 8 n , n! n!
所以由正项级数的比值判别法知:
8n 收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛. n1 n!

( 1)n 1 [ n i] 是 否 收 敛 ， 例5 判 断 级 数 n 2 n 1 若收敛，是绝对收敛 还 ， 是条件收敛。
内绝对收敛.
•z 1
a
证明
设z是所述圆内任意点.因为
cn z1 a
n 0

n
收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使
za n za n | cn ( z a ) || cn ( z1 a ) ( ) | M | | z1 a z1 a
n n
(n=0,1,2,…),
当 z 0 时, 通项不趋于零, 故级数发散.
(3)存在一点z1≠a,使级数收敛(此时,根据定理 4.5的第一部分知,它必在圆周|z-a|=|z1-a|内部绝 对收敛),另外又存在一点z2,使幂级数（4.3）
发散.(肯定|z2-a|≥|z1-a|);根据推论知,它必在
圆周|z-a|=|z2-a|外部发散.)

( 1)n 解 因为 收敛; n n1
故原级数收敛.

1 收敛, n也 n 1 2

( 1)n 但 为条件收敛, n n 1
所以原级数条件收敛。
பைடு நூலகம்

§4.2 复变函数项级数
(Series of function of complex variable)
一、复变函数项级数 二、幂级数
则称复数项无穷级数(4.1)收敛于s,且称s为 (4.1)的和,写成 S

n 1
n
否则称级数(4.1)为发散.
例1 级 数 z n
n 0
1 zn ( z 1), 1 z n 1 z 1 , lim sn lim 1 z n n 1 z
定理4.2 复级数(4.1)收敛于s=a+ib(a,b为实数) 的充要条件为:
a
n 1

n
a
b
n 1

n
b
证明
（留给学生课堂讨论）
解（1）
（ 2）
1 i 2 n1 例3 级数 是否收敛 ？ n n 1

1 i 2 n1 1 ( 1)n i 1 n 1 i ( 1) 解 n 1 n n n n 1 n n1 n 1
(1)对所有的复数z 幂级数（4.3）均收敛. 例如,
z2 zn 级数 1 z 2 n 2 n
z 1 对任意固定的z, 从某个n开始,总有 , n 2 n zn 1 于是有 n , 故该级数对任意的z均收敛. n 2
(2) 对于任意z≠a幂级数（4.3）都发散. 例如,级数 1 z 22 z 2 nn z n
因为|z-a|<|z -a|, 故级数
1
收敛
cn ( z a )n 在圆K内绝对收敛.
n 0

推论 若幂级数(4.3)在某点z2(≠a)发散, 则满足|z-a|>|z -a|的点z都是幂级数(4.3)发散.
2
z1
z2
a
幂级数, 首先它在z=a点处总是收敛的，
当 z≠a有以下三种情况:
在这种情况下,可以证明,存在一个有限正数R, 使得级数(4.3)在圆周|z-a|=R内部绝对收敛, 在圆周|z-a|=R外部发散.R称为此幂级数的收 敛半径;圆|z-a|<R和圆周|z-a|=R分别称为它 的收敛圆和收敛圆周.在第一情形约定R=+∞; 在第二情形,约定R=0 ,并也称它们为收敛半径.