关于二次曲线的切线及奇异点的探讨
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义 １ ［ 如 果直 线 与 二 次 曲 线相 交 于 相互 重 点 的任 意直 线都是 二 次曲线 （ ）的切线 ． １ （ｉ 求 过二 次 曲线外 的点 Ｍｏｚ ， 。 ｉ ） （ 。Ｙ ）的切线 方法一 因为 Ｍ０ 在二次 曲线上 ， Ｍｏ的切 不 过 渐近方 向 ， 可设 Ｘ ： 为过 二次 曲线 外 的点 Ｍ。 故 Ｙ 的
且
［ ＸＦ１ｚ ，ｏ ＋ Ｙ （ ， ｏ］ 一 （ ｏ ） Ｆ２ ｏＹ ）
（ ， Ｆ（ 。 Ｙ ）＝ ０， ｘ ｙ） ｚ ， 。
的点 Ｍ０ｚ ， 。 （ 。 Ｙ ）叫做 二 次 曲线 的 奇 异 点 ； 次 曲线 二
的非 奇异 点 ， 叫做 二次 曲线 的正 常点．
二次 曲线 的奇异 点一 定是 二次 曲线 的中心． 定理［ 如 果 Ｍｏｚ ， 。 是 二 次 曲 线 （ ）的正 （。Ｙ ） １
１ 引 言 和 预 备 知 识
ａ ３ ＋ Ｙ ） ａ ３— ０ ２（ ｏ＋ ３ ．
（） ３
文 ［ ］给 出了二 次曲线 １
口 １ ２ ｌｘ ＋ ａ ２ 。 ｌＸ ＋ ａ ２ ｙ ２Ｙ 十
２ 二 次 曲线 的 切 线 的 求 法
（ｉ 过 二 次 曲线 上 的点 Ｍｏｚ ， ）的切线 的 ） （ 。
收 稿 日期 ： ０ ８— ０ ２０ ９— ２ ｌ 改 日期 ： ０ ８ １ ４修 ２ ０ — ２— ２ ． Ｏ
则 Ｍ】 是奇异 点 ， 否则 二次 曲线 （ ） 奇异点 。 二次 １无 若
曲线 （）是线 心 曲线 ， 出中心 直线 ｚ如果 ｚ １ 求 ， 上存 在
点 Ｍ（ ３ ｘ，， ）在二 次 曲线 （ ）上 ， ｌ １ 则 上所 有点 都为 奇
二次 曲线 的切 线有 两种 可能 的情况 ： 一是具 有非 切线 的方 向 ， Ｘ ： 则 Ｙ满足
点都 可 以看成 是切 点．
渐近方 向的切 线 ， 是具 有渐 近方 向的切 线． 二
定义 ２ Ⅲ 二次 曲线 （ ）上满 足条件 １
Ｆ１ ｚ ， ｏ （ ｏ Ｙ ）一 Ｆ２ ｚ ， ）＝ ０ （ ｏ
由（ ） （ ）写 出二次 曲线 （ ）的过 点 Ｍ 的切 线方 ２或 ３ １
高 等 数 学研 究
１ ４
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ Ｅ Ｎ ＯＬＬ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ３ Ｎｏ ２ Ｉｌ ， ． Ｍ ａ ．。 ０１ ｒ ２ ０
关 于 二次 曲线 的切线 及 奇 异点 的探 讨
刘 耀 斌
（ 州学 院 数 学 系 ， 德 山东德 州 ， ５ ０ ３ ２３２）
ｃ Ｘ， ｐ（ ｙ）≠ ０
合 的两个点 ， 么这 条直 线 就 叫做二 次 曲线 的切 线 ， 的方法 那 这个 重合 的交 点 叫做切 点 ； 如果直 线全部 在二 次曲线
一
据定 义 ， 线方 向一定是 非 切 ｓ我 Ｉ， 们也称 它为二 次 曲线 的 切线 ， ． 直线 上 的 每 一个 线一定 不在二 次 曲线上 ，
（） １
２ ｌｚ ＋ ２ ２Ｙ＋ ａ ３＝ ０ ａ３ ａ３ ３
求 法
的切线及奇异点 的定义 ， 出 了过二 次 曲线上 及二 次 给
首先判 断 点 Ｍｏ 否为正 常点 ， Ｍｏ 是 若 是正常点 ，
２ 式或 （ ） 写 出二次 曲线 （ ） ３式 １ 的过 Ｍｏ 的 曲线 外一点 的切线 的求 法 ， 文 主要讨 论 过 曲线 外一 则 可根据 （ ） 本 点的切线 的求法以及不 同类 型的二次 曲线的奇异点 的 切线 方程． Ｍｏ 二次 曲线 （ ）的奇异 点 ， 若 是 １ 则通过该 个数． 为讨论 问题方 便 ， 本文沿用文 ［］的习惯符号． １
１ Ｙ— Ｙ ＋ Ｙ ． ０ ｔ
方法二 因二次 曲线 的奇异 点是二 次曲 点 ， 是切 点有 可能是 奇异 点 ， 但
其 中 Ｍｏ 是切 点 ； 如果 Ｍｏ 是二 次 曲线 （ ）的奇异 点 ， 因此首先 判 断二次 曲线是 否 有奇异 点． 因为奇异点 １ 又 那么通过 Ｍｏ的切线 不 确定 ， 者说 通 过 点 Ｍ。的每 必是二 次 曲线 的 中心 ， 二 次 曲线 （ ）是 中心 曲线 ， 或 若 １
摘
要 利 用 二 次 曲 线 的 切线 的定 义 ， 分别 讨 论 过 二 次 曲线 上 的一 点 的切 线 的求 法 及 过 二 次 曲 线外 的一 点 的
切 线 的两 种 求 法 ， 且得 到 了存 在 奇 异 点 的二 次 曲 线 的具 体 类 型 ． 并
关 键 词 二 次 曲线 ； 线 ； 异 点 ． 切 奇 中 图分 类 号 Ｏ１２ ２ ８ ．
一
条直线 都是二 次 曲线 （ ）的切线 ． １ 推论叫 如果 Ｍ０ 二次 曲线 （ ）的正常 点 ， 是 １ 那
求 出其 中心 Ｍｉ ， ， （ Ｙ ）若
Ｆ（ ｌ １ ｚ ， ）一 ０，
么通过 Ｍ０ 的切 线方 程是
ａ ｌ ｏ ＋ 口 ２ ｚ Ｙ－ ｘ ｏ ｌｘ ｘ ｌ（ ｏ ４ ｙ ）＋ － 口 ２ Ｙ０ ａ ３ ｚ＋ Ｘ ）－ ２Ｙ ＋ ｌ（ ｏ ４ －
异点 ， 否则二 次 曲线 （ ） 奇异 点． １无 当二次 曲线 （ ）无奇 异点 时 ， １ 可设切 点为 Ｍ 则 ，
作者简介 ： 刘耀斌 （ ９ ８ ） 男 ， １ ６ － ， 山东德州人 ， 士， 硕 讲师 ， 从事代数 学
研究 ， ｍａｌｌｂ ｇ ８ ８ ＠ ｓｈ ．ｏ ． Ｅ ｌ ｙ ｃｈ ９ ５ ｏ ｕ ｃｒ ｌ ｎ
（ ｚ— Ｘ ） （ ｏ Ｙ ）＋ ｏ Ｆ１ ｚ ， ０ （ — ｏ Ｆｚ ｏ Ｙ ）＝ ０ ） （ ，ｏ （） ２
由此可 以确定 Ｘ： 从 而得 出过二 次 曲线 （ ） 的一 Ｙ， １外 点 Ｍｏ的切 线方 程为
ｆ — 。＋ ｘ ， ｚ
常点 ， 那么通 过 Ｍｏ的切 线方 程是
且
［ ＸＦ１ｚ ，ｏ ＋ Ｙ （ ， ｏ］ 一 （ ｏ ） Ｆ２ ｏＹ ）
（ ， Ｆ（ 。 Ｙ ）＝ ０， ｘ ｙ） ｚ ， 。
的点 Ｍ０ｚ ， 。 （ 。 Ｙ ）叫做 二 次 曲线 的 奇 异 点 ； 次 曲线 二
的非 奇异 点 ， 叫做 二次 曲线 的正 常点．
二次 曲线 的奇异 点一 定是 二次 曲线 的中心． 定理［ 如 果 Ｍｏｚ ， 。 是 二 次 曲 线 （ ）的正 （。Ｙ ） １
１ 引 言 和 预 备 知 识
ａ ３ ＋ Ｙ ） ａ ３— ０ ２（ ｏ＋ ３ ．
（） ３
文 ［ ］给 出了二 次曲线 １
口 １ ２ ｌｘ ＋ ａ ２ 。 ｌＸ ＋ ａ ２ ｙ ２Ｙ 十
２ 二 次 曲线 的 切 线 的 求 法
（ｉ 过 二 次 曲线 上 的点 Ｍｏｚ ， ）的切线 的 ） （ 。
收 稿 日期 ： ０ ８— ０ ２０ ９— ２ ｌ 改 日期 ： ０ ８ １ ４修 ２ ０ — ２— ２ ． Ｏ
则 Ｍ】 是奇异 点 ， 否则 二次 曲线 （ ） 奇异点 。 二次 １无 若
曲线 （）是线 心 曲线 ， 出中心 直线 ｚ如果 ｚ １ 求 ， 上存 在
点 Ｍ（ ３ ｘ，， ）在二 次 曲线 （ ）上 ， ｌ １ 则 上所 有点 都为 奇
二次 曲线 的切 线有 两种 可能 的情况 ： 一是具 有非 切线 的方 向 ， Ｘ ： 则 Ｙ满足
点都 可 以看成 是切 点．
渐近方 向的切 线 ， 是具 有渐 近方 向的切 线． 二
定义 ２ Ⅲ 二次 曲线 （ ）上满 足条件 １
Ｆ１ ｚ ， ｏ （ ｏ Ｙ ）一 Ｆ２ ｚ ， ）＝ ０ （ ｏ
由（ ） （ ）写 出二次 曲线 （ ）的过 点 Ｍ 的切 线方 ２或 ３ １
高 等 数 学研 究
１ ４
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ Ｅ Ｎ ＯＬＬ ＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ ＿ ３ Ｎｏ ２ Ｉｌ ， ． Ｍ ａ ．。 ０１ ｒ ２ ０
关 于 二次 曲线 的切线 及 奇 异点 的探 讨
刘 耀 斌
（ 州学 院 数 学 系 ， 德 山东德 州 ， ５ ０ ３ ２３２）
ｃ Ｘ， ｐ（ ｙ）≠ ０
合 的两个点 ， 么这 条直 线 就 叫做二 次 曲线 的切 线 ， 的方法 那 这个 重合 的交 点 叫做切 点 ； 如果直 线全部 在二 次曲线
一
据定 义 ， 线方 向一定是 非 切 ｓ我 Ｉ， 们也称 它为二 次 曲线 的 切线 ， ． 直线 上 的 每 一个 线一定 不在二 次 曲线上 ，
（） １
２ ｌｚ ＋ ２ ２Ｙ＋ ａ ３＝ ０ ａ３ ａ３ ３
求 法
的切线及奇异点 的定义 ， 出 了过二 次 曲线上 及二 次 给
首先判 断 点 Ｍｏ 否为正 常点 ， Ｍｏ 是 若 是正常点 ，
２ 式或 （ ） 写 出二次 曲线 （ ） ３式 １ 的过 Ｍｏ 的 曲线 外一点 的切线 的求 法 ， 文 主要讨 论 过 曲线 外一 则 可根据 （ ） 本 点的切线 的求法以及不 同类 型的二次 曲线的奇异点 的 切线 方程． Ｍｏ 二次 曲线 （ ）的奇异 点 ， 若 是 １ 则通过该 个数． 为讨论 问题方 便 ， 本文沿用文 ［］的习惯符号． １
１ Ｙ— Ｙ ＋ Ｙ ． ０ ｔ
方法二 因二次 曲线 的奇异 点是二 次曲 点 ， 是切 点有 可能是 奇异 点 ， 但
其 中 Ｍｏ 是切 点 ； 如果 Ｍｏ 是二 次 曲线 （ ）的奇异 点 ， 因此首先 判 断二次 曲线是 否 有奇异 点． 因为奇异点 １ 又 那么通过 Ｍｏ的切线 不 确定 ， 者说 通 过 点 Ｍ。的每 必是二 次 曲线 的 中心 ， 二 次 曲线 （ ）是 中心 曲线 ， 或 若 １
摘
要 利 用 二 次 曲 线 的 切线 的定 义 ， 分别 讨 论 过 二 次 曲线 上 的一 点 的切 线 的求 法 及 过 二 次 曲 线外 的一 点 的
切 线 的两 种 求 法 ， 且得 到 了存 在 奇 异 点 的二 次 曲 线 的具 体 类 型 ． 并
关 键 词 二 次 曲线 ； 线 ； 异 点 ． 切 奇 中 图分 类 号 Ｏ１２ ２ ８ ．
一
条直线 都是二 次 曲线 （ ）的切线 ． １ 推论叫 如果 Ｍ０ 二次 曲线 （ ）的正常 点 ， 是 １ 那
求 出其 中心 Ｍｉ ， ， （ Ｙ ）若
Ｆ（ ｌ １ ｚ ， ）一 ０，
么通过 Ｍ０ 的切 线方 程是
ａ ｌ ｏ ＋ 口 ２ ｚ Ｙ－ ｘ ｏ ｌｘ ｘ ｌ（ ｏ ４ ｙ ）＋ － 口 ２ Ｙ０ ａ ３ ｚ＋ Ｘ ）－ ２Ｙ ＋ ｌ（ ｏ ４ －
异点 ， 否则二 次 曲线 （ ） 奇异 点． １无 当二次 曲线 （ ）无奇 异点 时 ， １ 可设切 点为 Ｍ 则 ，
作者简介 ： 刘耀斌 （ ９ ８ ） 男 ， １ ６ － ， 山东德州人 ， 士， 硕 讲师 ， 从事代数 学
研究 ， ｍａｌｌｂ ｇ ８ ８ ＠ ｓｈ ．ｏ ． Ｅ ｌ ｙ ｃｈ ９ ５ ｏ ｕ ｃｒ ｌ ｎ
（ ｚ— Ｘ ） （ ｏ Ｙ ）＋ ｏ Ｆ１ ｚ ， ０ （ — ｏ Ｆｚ ｏ Ｙ ）＝ ０ ） （ ，ｏ （） ２
由此可 以确定 Ｘ： 从 而得 出过二 次 曲线 （ ） 的一 Ｙ， １外 点 Ｍｏ的切 线方 程为
ｆ — 。＋ ｘ ， ｚ
常点 ， 那么通 过 Ｍｏ的切 线方 程是