二次曲线的切线
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程
胡圣团
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2009(000)008
【摘要】1 知识简介记G（x,y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F.1.1
【总页数】6页(P7-12)
【作者】胡圣团
【作者单位】湖南省澧县一中 415500
【正文语种】中文
【中图分类】O182.1
【相关文献】
1.过二次曲线上点P（xo，yo）的切线方程的统一形式 [J], 熊绍英;杨富利
2.圆的切线方程与切点弦方程关系探究 [J], 杨福海
3.一点定直线形同意不同--对二次曲线切线和切点弦所在直线方程的推广与研究[J], 汪志强
4.探讨二次曲线定点弦与切点弦的相关性 [J], 袁利江
5.二次曲线中点弦方程和弦中点的轨迹方程 [J], 彭京鹏;
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§5.3 二次曲线的切线
§5.3 二次曲线的切线一、概念1. 定义1：如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个重合的交点叫做切点；如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每一个点都可以看作切点.2.定义2：二次曲线F(x, y)=0上满足条件F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0的点(x0, y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点. 奇点是中心，但中心不一定是奇点.注：(1) 二次曲线有奇点的充要条件是I3= 0，(2) 二次曲线的奇点一定是二次曲线的中心，但反之不然.二、切线求法1.已知切点求切线：设点(x0, y0)是二次曲线F(x, y)=0上的点, 则通过点(x0, y0)的直线方程总可以写成那么此直线成为二次曲线切线的条件，当Φ(X, Y)≠0时∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.因为点 (x0, y0) 在二次曲线上，所以F(x0, y0)=0；因而上式可化为F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.当Φ(X, Y)= 0时除了F(x0, y0)=0外，唯一的条件仍然是F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y=0.(1)如果点(x0, y0)是二次曲线F (x, y)=0的正常点：那么由以上条件得X:Y = F2(x0, y0)：(-F1(x0, y0))，因此切线方程为或写成，或 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，其中 (x0, y0) 是它的切点；(2)如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，即F1(x0, y0)=F2(x0, y0)=0，则切线方向X:Y不能唯一地被确定，从而通过点 (x0, y0)的切线不确定,这时通过点 (x0, y0) 的任何直线都和二次曲线F (x, y)=0相交于相互重合的两点，我们把这样的直线也看成是二次曲线的切线.这样我们就得到定理1：如果点(x0, y0) 是二次曲线F (x, y)= 0的正常点，则通过点(x0, y0)的切线方程是 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0，(x0, y0)是它的切点.如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y)=0的奇异点，则通过点 (x0, y0) 的每一条直线都是二次曲线F (x, y)=0的切线.推论：如果点 (x0, y0) 是二次曲线F (x, y) = 0的正常点，则通过点 (x0, y0) 的切线方程是a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.证明：过点(x0, y0) 的切线方程可改写成xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)]=0,那么xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)-[x0F1(x0, y0)+y0F2(x0, y0)+ F3(x0, y0)]=0,则有xF1(x0, y0)+yF2(x0, y0)+ F3(x0, y0)=0,即 x(a11x + a12y+a13)+y(a12x + a22y+a23)+( a13x + a23y+a33)=0,从而得a11x0x + a12(x0y+xy0)+a22y0y+a13(x+x0)＋a23(y+y0)+a33=0.2.已知二次曲线外一点，求过此点的切线：设点(x0 , y0)不是二次曲线上的点，即F(x0 , y0)≠0, 则过点(x0 , y0)的直线方程为此直线成为二次曲线上切线唯一条件是Φ(X, Y)≠0且∆=[F1(x0, y0)X +F2(x0, y0)Y]2-Φ(X, Y)⋅F(x0, y0)=0.由此解出X:Y，从而得(两条)切线的方程.例1. 求以下二次曲线在所给点或通过所给点的切线方程.（1）曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0, 在点 (2, 1)；（2）曲线x2+xy+y2＋x＋4y+3=0, 经过点 (-2, -1).解：（1）F (x, y)= 3x2+4xy+5y2-7x-8y-3, F1(x, y)=3x+2y-, F2(x, y)=2x+5y-4,因为 F (2, 1)=12+8+5-14-8-3+=0，且F1(2, 1)=≠0, F2(2, 1)=5≠0,所以点(2, 1)是二次曲线上的正常点.因此切线方程为(x-2)+5(y-1)=0，化简得 9x+10y-28=0.（2）F (x, y)= x2+xy+y2+x+4y+3, F1(x, y)=x+, F2(x, y)=, 因为F(-2, -1)=4≠0, 所以点 (-2, -1) 不在曲线上，而F1(-2, -1)= -2, F2(-2, -1)=0,设所求切线方程为，由 (-2X)2-4(X2+XY+Y2)=0 得X1:Y1=-1:1, X2:Y2=1:0,所以两条切线方程为与，即x+y+3=0 与y+1=0.例3. 已知曲线x2+4xy+3y2-5x-6y+3=0的切线平行于x+4y=0，求切线方程和切点坐标.解：设切点为(x0, y0)，则切线方程为x0x+2(x0y+xy0)+3y0y-(x+x0)-3(y+y0)+3=0,即 (x0+2y0-)x+(2x0+3y0-3)y-x0-3y0+3=0,由已知条件有即 4(x0+2y0-)=2x0+3y0-3,或 2x0+5y0-7=0, ①又切点在曲线上，从而+4x0y0+3-5x0-6y0+3=0, ②由①, ②解得切点为 (1, 1)，(-4, 3), 故所求切线方程为x+4y-5=0 和x+4y-8=0.例4. 试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点 (1,-2) 及切直线x-y-1=0于点 (0, -1) 的二次曲线方程.解：因为二次曲线过原点 (0, 0)，所以设二次曲线为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y=0,切线方程为 (x-x0)F1(x0, y0)+(y-y0)F2(x0, y0)=0,还可写为F1(x0, y0)x+F2(x0, y0)y+F3(x0, y0)=0.从而过点 (1, -2) 及 (0, -1) 的切线分别为(a11-2a12+a13)x+(a12-2a22+a23)y+a13-2a23=0,(-a12+a13)x+(-a22+a23)y-a23=0,由题设它们应分别为4x+3y+2=0及x-y-1=0，故有,解得λ: μ = 1: -,从而a11=6, a12 = , a22 = -1, a13= 1, a23= -,故所求二次曲线为6x2+3xy-y2+2x-y=0.作业题：1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程.(1) 曲线 5x2+7xy+y2-x+2y=0 在原点；(2) 曲线 5x2+6xy+5y2=8经过点 (0, 2).2. 已知曲线x2+xy+y2=3 的切线平行于x轴，求切线方程和切点坐标.。
二次曲线
二次曲线- 二次曲线二次曲线- 正文也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。
当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。
当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。
在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y 的二元二次方程：。
若截面不通过锥面的顶点，令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α，则当时，所截曲线为圆；当时，截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆；当θ=α时，截面与锥面的一条母线平行，所截曲线为抛物线；当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行，所截曲线为双曲线。
焦点与准线如果圆锥曲线不是圆，则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线，使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数，这个定点称为圆锥曲线的焦点，定直线称为圆锥曲线的准线。
为了得到焦点与准线，只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。
设球面与平面σ相切于点F，球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ω，ω与σ相交于直线l，则点F，就是焦点，直线l就是准线（图1）。
二次曲线二次曲线这时,圆锥曲线上任意一点P到焦点F的距离｜PF｜与到准线l的距离｜PD｜之比为：。
其中θ,α都与P在曲线上的位置无关，所以是常数。
这个常数称为圆锥曲线的离心率，记为e。
当截线是椭圆时，e<1；当截线是双曲线时，e>1；当截线是抛物线时，e=1。
对于椭圆或双曲线，存在两个合于以上要求的球面，因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。
每个焦点与其相应的准线都有上述性质。
抛物线只有一个焦点与一条准线。
若椭圆的两个焦点为F1,F2。
如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。
这时对于椭圆上任意一点P，令通过P的母线OP（O为圆锥面的顶点）与C1、C2的交点分别为A、B。
则P 到F1的距离｜PF1｜与P到F2的距离｜PF2｜之和为｜PF1｜｜PF2｜=｜P A｜｜PB｜=｜AB｜。
二次曲线的定义
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
二次曲线的定义PPT课件
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
x3
)
a12
a22
a23
x2
0,
a13 a23 a33 x3
或 S XAX 0. ( A A, 秩( A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji,| Aij || aij |2 0.
这里Aij是aij的代数余子式.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
分别以AM, BM截得
O(A, B, P, M ).
AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
注意到 M M , AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。
但是 S OAOB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即
解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
利用定理1的证明，此二射影线束
AB 0
A
B
0
生成的二阶曲线的方程为
aAA dBB bAB cAB 0
(2)
由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
x1x3 x2x3 x32 0,
五种方法解二次曲线的切线问题，理解应用这些公式你离学霸不远了
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题型：已知焦点在x轴上的椭圆与直线2x+3y-10=0相切，且离心率为√3/2，求此椭圆方程
这里给出五种方法求解，几乎每种都代表着不同的方法，这些方法中蕴含着丰富的知识，同学们好好研究一下，对你们的学习非常有帮助呢！
解法一：（判别式法）
初等数学中，二次曲线的切线问题源于判别式，且利用判别式还可得出有关切线的某些性质、公式或定理。
解法二：。
二次曲线的切线方程及应用
二次曲线的切线方程及应用[摘要] 本文主要利用隐函数求导的方法推导常见二次曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）上某点处的切线方程，并得出一般二次曲线的切线方程及切点弦方程，再将相应结论进行应用。
[关键词] 二次曲线切线方程切点弦方程有关二次曲线的切线方程及其应用问题，近年来在各类考试中出现的频率颇高，为更好地解决此专题的问题，笔者将常见二次曲线的切线方程及切点弦方程的有关结论及推导过程整理一遍，并简述其应用，以供广大教师及学生参考．1几个常见结论及推导1．在圆上一点处的切线方程为：．（注：为与求其它二次曲线的切线方程所用方法一致，这里利用涉及隐函数求导的方法来推导．）将圆的方程中的y视为关于x的函数（即y是x的隐函数），那么就可以在上式两边分别对x求导数．隐函数求导法则，实际与复合函数求导法则一致，将y看作中间变量，外函数是，内函数为，故．于是有：在两边分别对x求导，得，若，则有．由导数的几何意义知，曲线上某点处切线的斜率是该点的导数值．故对于圆上点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率，故所求切线方程为．又，① 为所求．若，由图象可知，此时所求切线方程为：或．又，故所求切线方程为：或．也满足①式．故在圆上一点处的切线方程可统一写为：．2．在椭圆上一点处的切线方程为：．推导过程如下：在两边分别对x求导得：，对于点，若，则有，此即为在点M处切线的斜率．故所求切线方程为，又，故②为所求．若，此时所求切线方程为：或，也满足②式．故在椭圆上一点处的切线方程为：．3．在双曲线上一点处的切线方程为：③．注：推导过程与结论1和结论2的推导过程类似，可让学生动手推导，体会其中的思想．4．在抛物线上一点处的切线方程为：．在两边对x求导，得．对于点，若，则有，此即为在点M处的切线的斜率．故所求切线方程为，即，又在抛物线上，故，因此所求切线方程为：④．若，此时所求切线方程为：也满足④式．故在抛物线上一点处的切线方程为：．结论4的切线方程形式与前3个结论有些不同，引导学生从抛物线的方程的形式观察，得到结论：抛物线的切线方程实际上可写为，进而得到一般性的结论5．将以上四个结论推广，可得到以下结论：5．设是二次曲线上一点，则此曲线在点M处的切线方程为：⑤．注：二次曲线的方程中不含项．此结论推导过程可仿照上述结论的推导过程来完成，这里不再赘述．从结论5出发，进一步思考，若点在二次曲线外，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，那么由切点在曲线上及结论5可知，曲线在点A处的切线方程为，曲线在点B处的切线方程为，因点在切线上，故⑥，同理，⑦，综合⑥⑦得，点，的坐标都满足方程．因为经过点的直线是唯一的，故过点A,B的直线方程为：．由此，我们可以得到另一个结论：6．设是二次曲线外一点，则过点M可作曲线的两条切线，设切点分别为，则直线AB的方程（即切点弦方程）为：．由结论6，将曲线方程特殊化为高中常见的二次曲线方程，即可得到关于圆、椭圆、双曲线和抛物线的切点弦方程的相应结论．2应用有关切线方程及切点弦方程的考题，近几年均是热点，比如广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）（简称“广州市一模”）第20题，2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科/理科）第20题，2014年清华等七校自主招生考试（简称“华约卷”）第5题等．2013年广东高考的解析几何题虽和当年广州市一模的解析几何题有较大相似度，但考试结果仍不理想，文[1]指出，2013年的解析几何题“不仅加大了计算量，而且对计算的技巧性的要求大大增强，与压轴题的难度接近（第20题得分2.85分，第21题得分2.13）．”因此，有必要对切线方程及切点弦方程这一专题内容做一个梳理．现将2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第20题展示如下：已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线 :的距离为 .设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线 ,其中为切点.(Ⅰ) 求抛物线的方程；(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.略解：(Ⅰ)易得所求抛物线方程是：．(Ⅱ)利用第1部分的结论6，即得所求直线的方程（即切点弦方程）为：，即．（注：高考需将结论6的过程在答卷上推演一遍，因其不是高中课本内的结论.第(Ⅲ)小题解答略．）从此题的解答看，熟知第1部分的几个结论虽可立即得正解，但在高考题的作答中仍要将推导过程再演算一遍，似乎不太便捷，这是因为此题直接考查结论（求切点弦方程），若考查的是利用切点弦方程再求其它问题，那熟知结论的优越性立刻体现．请看2014年华约卷第5题：过椭圆上一点作圆的两条切线，切点为，设直线与轴、轴分别交于点，求的面积的最小值．解析：法一：设，由结论6知，直线的方程为：，，，故的面积．又点在椭圆上，故．由基本不等式得：，即（当且仅当时，等号成立），．，即的面积的最小值为．法二：（利用椭圆的参数方程求解）因点在椭圆上，故可设，由结论6知，直线的方程为：，故，的面积（当且仅当，即或时，等号成立），故的面积最小值为．解法一与解法二虽具体利用的知识不同，但其求解思路是一致的，关键的一步在于写出直线PQ的方程，而在自主招生或竞赛类考试中，直接写出二次曲线的切线方程或切点弦方程是允许的．因此，教师可将有关二次曲线的切线方程及切点弦方程问题形成一个小专题，根据学生水平及实际需要，适当讲解以上结论作为拓展，为学生获得更佳成绩打好基础．3小结由于高中阶段没有涉及到隐函数求导的内容，因此高考题在考纲范围内只能考查形如的抛物线的切点弦方程，对于一般水平的学生，教师只需讲透高中常见的解法即可．而第1部分的结论是常见二次曲线的有关切线方程和切点弦方程的结论，结论5、结论6将常见二次曲线的切线方程、切点弦方程统一起来，得到一般二次曲线的切线方程、切点弦方程．实践表明，对于能力较强的学生，是可以理解第1部分的几个结论的推导，并且利用这些结论对于他们应对自主招生或竞赛类考试有一定的帮助．参考文献[1] 彭建开.于平凡处见“真功夫”——2013年高考广东理科试题第20题解析[J].广东教育(高中版), 2013(7·8): 59-60．。
《二次曲线的切线》课件
二次曲线的切线在解析几何中的 应用
在解析几何中，二次曲线的切线可以用来研究曲线的性质 和关系。通过切线，我们可以更好地理解曲线的方程和参 数，从而更好地研究曲线的几何性质。
要点二
具体应用
在解析几何中，可以利用切线来研究曲线的对称性、中心 、顶点和焦距等性质，有助于我们更深入地理解曲线的结 构和性质。
在几何上，切线是唯一与曲线 在某一点既相切又平行的直线 。
03
二次曲线切线的求法
切线的点斜式方程
总结词
通过切点和斜率表示切线的方程。
详细描述
切线的点斜式方程是二次曲线切线的一种表示形式，它通过切点和该点的斜率 来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，斜率为$m$，则切线的点斜式方程为 $y - y_0 = m(x - x_0)$。
切线的点向式方程
总结词
通过切点和方向向量表示切线的方程。
详细描述
切线的点向式方程是另一种表示形式，它通过切点和方向向量来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，方向向 量为$(dx, dy)$，则切线的点向式方程为$(x - x_0)dx + (y - y_0)dy = 0$。
切线的参数式方程
在物理学中的应用
二次曲线的切线在物理学 中的应用
在物理学中，二次曲线的切线可以用来描述 物理现象和规律。例如，在力学中，物体的 运动轨迹可以看作是二次曲线的切线；在光 学中，光线通过透镜的路径也可以看作是二 次曲线的切线。
具体应用
在物理学中，可以利用切线来描述物体的运 动轨迹、光线的传播路径等物理现象，有助 于我们更准确地理解和描述物理规律和现象
《二次曲线的切线》ppt课件
• 二次曲线的基本概念 • 二次曲线的切线定义 • 二次曲线切线的求法 • 二次曲线切线的应用 • 二次曲线切线的扩展知识
3二次曲线的切线和奇点
(5.3－1) (5.3－2)
( x − x0 ) F1 ( x0 , y 0 ) + ( y − y 0 ) F2 ( x0 , y 0 ) = 0
如果 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0，那么（7）变为恒等式，任意的方向 X : Y 都是二次曲线的切方向，从而切 线不确定，通过点 M0 (x0，y0)的任意直线都是二次曲线的切线． .2 二次曲线（1）上满足条件 F1 ( x0 , y 0 ) = F2 ( x0 , y 0 ) = 0 的点 (x0，y0) 叫做二次曲线的奇异点，简 定义 5.3 5.3.2 称为奇点．二次曲线上的非奇异点叫做二次曲线的正常点． .1 命题 5.3 5.3.1 如果 (x0 ， y0) 是二次曲线（ 1 ）的正常点，那么二次曲线通过点 ( x0 ， y0 ) 的切线方程是
§5.3 二次曲线的切线
.1 如果直线与二次曲线交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，重合的交 定义 5.3 5.3.1 点叫做切点．如果直线全部在二次曲线上，也称其为二次曲线的切线，此时直线上的每一点都可以看作切点． 设 M0 (x0，y0) 是二次曲线（1）上的任一点，则过 M0 的直线 l 的方程总可以写成（2）的形式： ⎧ x = x0 + X t ⎨ ⎩ y = y0 + Y t 代入（1）的方程得（5.2－1） ．欲使 l 成为（1）的切线，当 Φ ( X, Y ) ≠ 0 时，必须使判别式 Δ = [ XF1 ( x0 , y0 ) + YF2 ( x0 , y0 )] 2− Φ ( X , Y ) F ( x0 , y0 ) = 0 因为 M0 (x0，y0) 在二次曲线上，F (x0，y0 ) = 0，因而（6）变为 (6)
二次曲线的切线问题
二次曲线的切线问题洪江摘要：本文针对历年来的二次曲线的切线这个高考热点问题进行探讨。
其中主要介绍椭圆、双曲线、抛物线这三种二次曲线。
文中概述了切点在曲线上和曲线外时切线的求法，并以高考题目作为例子进行论述。
随后本文还讨论了切点所带来的切点弦问题、切点弦方程的求法及应用的关键。
最后还提出和总结了几种二次曲线中与切线相关的小性质，并且说明了其来源。
关键词：二次曲线；椭圆；双曲线；抛物线；切线；切点弦；性质An Study on Tangent Lines of ConicHongjiangAbstract: This study intends to discuss tangent lines of conic which has been a hot topic in National College Entrance Examination since these years. Firstly, it mainly exam Three parts of conic—Ellipse, Hyperbola, Parabola. This study summarizes ways to get tangent pains either on the curve or out of it and it also uses questions from NCEE to support it. Secondly, in this study, we discuss chord of contact which follows the tangent point, methods to work out equation of the cut point and how to use well. Finally, it also finds and summarizes some qualities of conic and shows their origins.Key words: Conic, Ellipse, Hyperbola, Parabola, Tangent, Quality二次曲线在高考中占着很重要的地位，往往是作为压轴题出场，特别是近年来其切线问题的应用的综合性问题更是一个热点。
5. 二次曲线
§ 5 二次曲线一、圆[圆的切线]圆x2 + y2 = R2上一点M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y = R2圆x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0 上一点M(x0, y0)的切线方程为x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0[两个圆的交角、圆束与根轴]式中含交点的坐标，所以在两交点的两交角必相等[反演] 设C为一定圆，O为圆心，r为半径(图7.1)，对平面上任一点M，有一点M'与它对应.使得满足下列两个条件：（i）O, M, M'共线，（ii ）OM ⋅OM ' = r ，这种点M '称为点M 关于定圆C 的反演点，C 称为反演圆，O 称为反演中心，r 称为反演半径.由于M 和M '的关系是对称的，所以M 也是M '的反演点.因r 2 > 0，所以M 和M '都在O 的同侧.M 和M '之间的对应称为关于定圆C 的反演.取O 为原点，则一切反演点M (x , y )和M '(x ',y ')的对应方程为222222,yx yr y y x x r x +='+=' 反演具有性质：1︒ 不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆. 2︒ 通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.3︒ 通过反演中心的一条直线变为它自己.4︒ 不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆. 5︒ 反演圆变为它自己.6︒ 与反演圆正交的圆变为它自己，其逆也真.7︒ 如果两条曲线C 1，C 2交于一点M ，则经过反演后的曲线C 1', C 2'必交于M 的反演点M '.8︒ 如果两条曲线C 1, C 2在一点M 相切，则经过反演后的曲线C 1', C 2'必在M 的反演点M '相切.9︒ 两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见，反演是一个保角变换.二、 椭圆1．椭圆的基本元素 主轴(对称轴))0(22>>⎩⎨⎧==b a b CD aAB 轴短轴长 顶 点 A , B , C , D 椭圆中心 G 焦 点 F 1, F 2 焦 距 2221,2b a c c F F -==离 心 率 1<=ac e压缩系数 2221,e a b -==μμ焦点参数 ab p 2=(等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半，即F 1H )焦点半径 r 1, r 2(椭圆上一点(x , y )到焦点的距离) r 1 = a - ex ， r 2 = a + ex 直 径PQ (通过椭圆中心的弦)图7.1图 7.2共轭直径 二直径斜率为k k ',，且满足22a b kk -='准 线L 1和L 2(平行于短轴，到短轴的距离为ea )1︒ 椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数(即长轴)的动点M 的轨迹 (r 1 + r 2 = 2a ). 2︒ 椭圆也是到一定点(即焦点之一)的距离与到一定直线(即一准线L )的距离之比为小于1的常数(即离心率)的动点M 的轨迹(MF 1/ME 1 = MF 2/ME 2 = e ).3︒ 椭圆是将半径为a 的圆沿y 轴方向按比ab=μ(即压缩系数)压缩而得到.4︒ 椭圆上一点M (x 0, y 0)的切线(MT )方程为12020=+byy a xx 切线把点M 的两焦点半径间的外角(即∠F 1MH )平分(即α=β,02tan tan cy b ==βα),M 点的法线MN 把内角(即∠F 1MF 2)平分(图7.3).如果椭圆的切线(MT )的斜率为k ,则其方程为 222b a k kx y +±=式中正负号表示直径两端点的两切线.图 7.35︒椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的弦平分(图7.4) 如果两共轭直径的长分别为2a 1和2b1, 两直径与长轴的夹角(锐角)分别为α和β, 则a 1b 1sin(α + β) = aba 12 +b 12 = a 2 + b 26︒ 椭圆上任一点M 的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方. 7︒ 设MM ', NN '为椭圆的两共轭直径, 通过M , M '分别作直线平行于NN '; 又通过N , N '分别作直线平行于MM ', 则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab (图7.5). 4.椭圆各量计算公式12222=+by a xa b=⎰⎰-=-222arccos22d sin 1d cos 1πx a x t t e a t t e a图 7.4三、 双曲线1．双曲线的基本元素 主轴(对称轴)⎩⎨⎧>=>=)0(2)0(2b b CD a a AB轴虚轴实 顶 点 A , B 中 心 G 焦 点 F 1, F 2焦 距 F 1F 2 = 2c , 22b a c +=离 心 率 1>=ace 焦点参数 a bp 2= (等于过焦点且垂直于实轴的弦长之 半,即F 1H ) 焦点半径 r 1, r 2 (双曲线上一点(x , y )到焦点的距离, 即MF 1, MF 2)r 1 = ± (ex - a ), r 2 = ± (ex + a )直 径 PQ (通过中心的弦)图 7.6共轭直径 二直径斜率为k , k ',且满足22ab k k ='准 线L 1和L 2 (垂直于实轴, 到中心的距离为ea )b+1︒ 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a )的动点M 的轨迹(使a r r 221=-的各点属于双曲线的一支，而使a r r 221=-的各点属于其另一支).2︒ 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L 1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M 的轨迹(e ME MF ME MF ==2211//).3︒ 双曲线上一点M ),(00y x 的切线(MT )的方程为12020=-byy a x x它把M 点两焦点半径间的内角(即21MF F ∠)平分(即2tan tan ,cy b ===βαβα)，而M 点的法线MN 把外角(即MH F 1∠)平分(图7.7).如果双曲线的切线的斜率为k ，则其切线的方程为 222b a k kx y -±=式中正负号表示在直径两端点的两切线.4︒ 两条渐近线x aby ±=之间的切线线段TT 1被切点M 平分(TM = MT 1)，且∆OTT 1的面积ab S OTT =1，平行四边形OJMI 的面积(图7.8的阴影部分)2abS OJMI =5︒ 双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(图7.9)如果两共轭直径的长分别为2a 1,2b 1, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为α和β(α<β)，则22212111)sin(ba b a abb a -=-=-αβ 6︒ 双曲线上任一点M 的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.7︒ 设MM ', NN '为双曲线的两共轭直径，通过M , M '分别作直线平行于NN '；又通过N , N '分别作直线平行于MM '，则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab (图7.10).4．双曲线各量计算公式12222=-by a x图 7.8图 7.9图 7.10=四、 抛物线1．抛物线的基本元素 抛物线的主轴 AB 顶 点 A 焦 点 F 焦点参数 p (等于过焦点且垂直于轴的 弦CD 之长的一半) 焦点半径 MF (抛物线上一点到焦点的 距离) 直 径 EMH (平行于抛物线的轴的直 线) 准 线 L (与抛物线的轴垂直，到顶点A 的距离等于2p，到焦点F 的距离等于p)2．抛物线的方程、顶点、焦点与准线图 7.11)0 1︒ 抛物线是到一定点F (焦点)的距离与到一定直线L (准线)的距离相等的动点M 的轨迹(MF '=ME )(图7.12)2︒ 抛物线上一点),(00y x M 的切线MT 的方程为)(00x x y py +=它把M 点的焦点半径与直径的夹角(∠FMG )平分(∠FMT =∠TMG )，并且一切与切线MT 平行的弦被过M 点的直径平分(PI =IQ ).如果抛物线的切线的斜率为k ，则其切线的方程为kp kx y 2+= 3︒ 抛物线的任两切线的夹角等于两切点的焦点半径的夹角的一半.4︒ 从焦点F 作抛物线在点M 的切线的垂线，则垂足的轨迹为在顶点的切线. 4．抛物线各量计算公式 pxy 22=图 7.12=pxp p x x 2Arsh22+⎪⎭⎫ ⎝⎛+五、 一般二次曲线1．二次曲线的一般性质上面所列举的椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程关于x,y 都是二次的,关于x,y 的一般二次方程的形式是ax bxy cy dx ey f 222220+++++=它所表示的曲线称为一般二次曲线.这里列举它们的一些共同性质.[直线与二次曲线的交点] 一直线与一个二次曲线交于两点(实的,虚的,重合的).[二次曲线的直径与中心] 一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上,称它为二次曲线的直径,它平分某一组弦.设已知方向的方向数为α,β,则直径的方程为()()a b x b c y d e αβαβαβ+++++=0或改写为()()ax by d bx cy e +++++=αβ0由此可见,二次曲线的直径组成一个直线束.束内任一直径通过下列两直线交点:ax by d bx cy e ++=++=00,1︒ a b bc≠,即ac b -≠20.这时二次曲线的一切直径通过同一点,称为中心,这种曲线称为有心二次曲线,中心的坐标为x be cd ac b y ae bdac b 0202=--=--, 2︒a b bc=,即ac b -=20 (i) a b b c de =≠,这时曲线无中心;(ii) a b b c de==,这时曲线有无限个中心,即中心在同一直线上(中心直线).这两种曲线称为无心二次曲线.[二次曲线的主轴(或对称轴)] 如果直径垂直于被它所平分的弦,则称它为二次曲线的主轴(对称轴), 无心二次曲线有一条实的主轴;有心二次曲线有两条实的主轴,它们是互相垂直的,交点就是中心.[二次曲线的切线与法线]二次曲线上的一点()M x y 00,的切线方程为()()()ax x cy y b x y y x d x x e y y f 0000000++++++++=在点M 与二次曲线的切线垂直的直线称为在点M 的法线,它的方程为x x ax by d y y bx cy e-++=-++000000 2．二次曲线的不变量 由一般二次曲线的方程ax bxy cy dx ey f 222220+++++= (1)的系数所组成的下列三个函数:D a b d bc e defa b b cac b S a c ===-=+,,δ2称为二次曲线的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式D 称为二次方程(1)的判别式.3．二次曲线的标准方程与形状4二次曲线都是用平面切割正圆锥面的截线.因此二次曲线也称为圆锥截线（图7.13）用一平面P 切割正圆锥时,若P 不通过锥顶,且不平行于任一母线,则截线为椭圆;若P 不通过锥顶,而平行于一条母线时,截线为抛物线;若P 不通过锥顶而平行于两条母线时,截线为双曲线;若P 垂直于锥轴,截线为圆.若P 通过锥顶,则椭圆变为一点,双曲线变为一对相交直线,抛物线变为P 与圆锥相切的一直线.。
二次曲线系的探讨(2012.10.16)
关于二次曲线系的几点说明（2012年10月16日）山东临沂沂州实验学校 李守峰关于二次曲线系的一点探讨1. 设(,)0f x y =表示二次曲线，(,)0g x y =表示一条直线。
则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多与(,)0f x y =同类。
也就是说若(,)0f x y =表示圆，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示圆；若(,)0f x y =表示椭圆，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示椭圆；若(,)0f x y =表示双曲线，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示双曲线；若(,)0f x y =表示抛物线，则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多表示抛物线。
上述结论告诉我们：过两交点的二次曲线并非包含所有的二次曲线，而是与“母曲线”相似的曲线2. 设(,)0f x y =，(,)0g x y =均表示二次曲线。
则曲线(,)(,)0f x y g x y λμ+=至多与(,)0f x y =或(,)0g x y =同类的二次曲线。
3. 两条相交直线或平行直线的积为退化的二次曲线()()0a x b y c m x n y p ++++= 当它不含xy 项时，可与对称轴平行于坐标轴的二次曲线同类。
4. 对称轴平行于坐标轴的二次曲线，在直角坐标系中的方程不含xy 项。
5. 设C 为二次曲线，AB 为二次曲线的任意弦，以直线AB 为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，若C 在此坐标系下的方程为(,)0g x y =，则(,0)0g x =不含x 的一次项。
6. 设由二次曲线(,)0f x y =和直线1x y αβ+=决定的关于x y 、的二次齐次式为220Ay Bxy Cx ++=，则12()()y y B x x A +=-，12()()y y C x x A⋅= 特别的：当直线与二次曲线的两交点与原点的连线互相垂直时0A C +=，也就是说单二次项的系数之和等于0；当直线与二次曲线的两交点与原点的连线关于坐标轴对称时0B =，也就是说齐次式中不含xy 项。
二次曲线的切线方程
二次曲线的切线方程定义：二次曲线是一种多次曲线，其函数拟合表达式的幂次均为2，它也称为双曲线、椭圆或双曲椭圆等。
切线定义：当一条曲线上的点移动时，其他点的切线就是一条曲线，它在前点的位置时，跟其他点的曲线有一条相对较为紧密的曲线；在后点的位置时，它是一条几乎平行的线，这条线称为该点的“切线”。
切线方程：二次曲线的切线方程，可以按照一定的方法推导出来，其具体推导步骤如下：1.先求出二次曲线的切点，切点坐标为(x0,y0)；2.切点与其他点(x1,y1)构成的直线的斜率与曲线的斜率比较，求出它们的差的倒数，即为新曲线的斜率；3.新曲线的斜率代入形如y=kx+b的切线方程，并根据切点的坐标值求出常数b。
例题：已知下列曲线的方程：y2=16x求曲线上点(2,4)处的切线方程。
解：因为该曲线是一类二次曲线，首先求出切点，切点即为(2,4)。
由于该曲线的斜率为：dy/dx=8x，而切点(2,4)处的切线的斜率为：(4-4)/(2-2)=0，所以曲线的切线的斜率为：k=1/8。
代入求切线的方程：y=1/8x+b，知切点处y=4，将此值代入上式得：4=1/8(2)+b，求出常数b=3.5，所以曲线上点(2,4)处的切线方程为：y=1/8x+3.5以上就是二次曲线的切线方程的推导过程。
切线方程的应用：1.体运动问题：当物体运动的轨迹是曲线时，求出该曲线上每个点处的切线方程就可以求出物体在该点处的加速度。
2.算机图形学：计算机图形学中，用切线的斜率信息可以用来渲染高精度的曲面，如曲面的阴影、光照等。
3.物生长：可以用切线方程描述植物的生长轨迹，并使用切点处的切线方程来确定植物从一个形态转换到另一个形态时的侧向伸展量。
4.济分析：切线方程可以用来分析资产价格和销售量的关系，即在价格的变动中，消费者的需求是如何变化的。
总结：以上就是关于二次曲线的切线方程的概念、推导过程及其应用的介绍，有助于我们更好地理解和分析二次曲线的切线方程，从而更好地应用其解决实际问题。
二次曲线知识点
椭圆的倾斜角为α的焦点弦 双曲线的倾斜角为α的焦点
长｜AB｜=
弦长｜AB｜=
半径为r的圆中，弦心距为d 或圆心角为α的弦长易由勾 股定理或三角函数的定义求 得
特别地，过焦点与长轴（或实轴）垂直的弦称为椭圆（或 双曲线）的通径，其长为
已知P（x',y'）在二次曲线L：Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0 上，则过P的L的切线方程为：
一般方程：圆心（-D/2，E/2）,半径
一般方Байду номын сангаас：化为标准方程计算即可
准线方程 离心率 焦半径 光学性质
e=c/a，0<e<1，e越大椭圆 e=c/a，e>1，e越大双曲线
越扁
开口越大
设P(x0,y0）为椭圆上一 设P(x0,y0）为双曲线上一
点，则左焦半径｜PF1｜ 点，则左焦半径｜PF1｜=-
=a+ex0，右焦半径｜PF2｜ a-ex0，右焦半径｜PF2｜
定义
二次曲线知识点小总结
圆
椭圆（焦点在x轴上）
双曲线（焦点在x轴上）
平面内与定点（圆心）距离 等于定长（半径）的点的轨 迹
第一定义：平面内与两个定 点F1、F2的距离之和为常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨 迹 第二定义：平面内到一个定 点（焦点）和一条不经过此 点的定直线（此侧准线）的 距离之比为常数e（0<e<1） 的点的轨迹
=a-ex0
=a-ex0
从椭圆一焦点发出的光线， 经椭圆反射，过另一焦点
从双曲线的一个焦点发出的 光线，经双曲线反射，反射 光线的反向延长线过另一焦
设直线y=kx+m与二次曲线f（x，y）=0（圆，椭圆，双曲线，抛物线均可）交于A（x1，y1），B（x2，y 韦达定理以及下列公式可求得弦长：
二次曲线的切线方程
二次曲线的切线方程
二次曲线实际上是一类由二次多项式所构成的曲线，利用数学符号可以表示为：
y=ax+bx+c
其中，a、b、c是数字系数，x是未知数，y是与x相关的变量。
它常用于描述抛物线等曲线形状的函数。
二、二次曲线的切线方程
如果y=ax+bx+c是一条二次曲线，则其切点的方程为：
(x-x1)(x-x2)=0
此外，它的切线方程也可以表示为：
Y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)*(X-x1)
其中y1、y2为两切点处的函数值，x1、x2为两切点处的横坐标值。
三、求二次曲线的切线
一般来说，若要求二次曲线的切线，需要做以下步骤：
1、设定函数，确定曲线形状；
2、求出曲线的两个切点；
3、代入两个切点的x坐标和y坐标，计算两切点的函数值；
4、根据已知的信息，求出曲线的切线方程。
四、曲线的应用
二次曲线的切线在生活中有着很多的应用。
例如，抛物线在物理学中可以用来描述物体在受力作用下的运动轨迹，而在建筑学中，它
可以用来描述建筑物的形状。
此外，二次曲线还可以用来建立模型，用于预测数据和分析复杂的系统。
五、结论
从上述解析可以看出，二次曲线的切线在数学中是一个常见的概念，它可以用来描述曲线的切点并计算出曲线的切线方程。
此外，它也在日常生活中有广泛的应用，如在物理学中用来描述物体的运动轨迹，在建筑学中用来描述建筑物的形状，以及在建立数据模型中用来预测数据和分析系统。
常态二次曲线的切点弦方程
常态二次曲线的切点弦方程梁延堂【期刊名称】《数学教学研究》【年(卷),期】1991(000)004【摘要】文[1]中给出了四个定理,并用它们求出了椭圆、双曲线、抛物线的切点弦方程。
本文将一般地给出常态二次曲线的切点弦方程。
一、定义与记号定义1 若过一点不能向二次曲线作（实）切线,则称该点为二次曲线的无切线点;若过一点只能向二次曲线作一条（实）切线,则称该点为二次曲线的一切线点;若过一点能向二次曲线作两条切线,则称该点为二次曲线的二切线点。
定义2 称无切线点所在区域为二次曲线的内部,称二切线点所在区域为二次曲线的外部。
约定:常态二次曲线方程为 F（x,y）≡a<sub>11</sub>x<sup>2</sup>+2a<sub>12</sub>xy+a<sub>22</su b>y<sup>2</sup>+2a<sub>13</sub>x+2a<sub>23</sub>y+a<sub>33 </sub>=0 （1） (a<sub>11</sub>,a<sub>12</sub>,a<sub>22</sub>不全为零)【总页数】2页(P38-39)【作者】梁延堂【作者单位】甘肃兰州师专【正文语种】中文【中图分类】G633.6【相关文献】1.二次曲线的切点弦方程的探究 [J], 万国友;2.一点定直线形同意不同--对二次曲线切线和切点弦所在直线方程的推广与研究[J], 汪志强3.二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程 [J], 胡圣团4.常态二次曲线的虚切点弦方程 [J], 赵渭杰5.常态二次曲线的切点弦方程 [J], 梁延堂;马世祥因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
非退化二次曲线的标准方程与其切线方程的统一性
非退化二次曲线的标准方程与其切线方程的统一性作者：张金军来源：《考试周刊》2013年第87期摘要：二次曲线是高中数学的重要内容之一，该题型的灵活性较强，大部分同学对这一问题深感头痛.所以，在高中数学教学过程中，从教师到学生，都应该以一种研究探索的精神学习这部分内容.本文对非退化二次曲线的切线问题进行了归类比较，得出了简单的公式.关键词：非退化二次曲线标准方程切线方程高中数学中解析几何这部分内容里常有计算曲线的切线类问题，通用的方法是用代入法，即先把直线方程代入曲线方程，消去一元y后，得到关于x的一元二次方程，再利用判别式△=0确定切线斜率，展开运算.这种方法运算量相当大，很容易出错.下面对非退化二次曲线的切线问题进行归类比较，得出简单的公式，可以帮助我们轻松地解决此类问题.1.圆的标准方程x■+y■=R■，过圆上一点P（x■，y■）的切线方程为xx■+yy■=R■.这个结论容易证明.证明：∵直线OP的斜率K■=■∴过P点的切线方程为：y-y■=-■（x-x■）=-■（x-x■）整理得xx■+yy■=R■.圆的切线可以用求导函数的方法求斜率，但根据垂直二线的斜率积为-1，再利用过切点的半径与切线垂直这一性质，就更加容易了.2.椭圆的标准方程为■+■=1，过椭圆上一点P（x■，y■）的切线方程我们猜想为■+■=1.证明：曲线在第一象限部分的函数方程为y=b■求导得：y′=-■■过P的切线斜率为k=-■■过P点的切线方程为：y-y■=-■■（x-x■）又∵■+■=1整理化简得■+■=1和抛物线一样，椭圆在第二、三、四象限部分的函数解析式略有不同，其证明方法相同.焦点在y轴上的椭圆的标准方程为■+■=1，其切线方程为■+■=1.3.双曲线的标准方程为■-■=1，过双曲线上一点P（x■，y■）的切线方程为■-■=1.证明方法和椭圆的切线一样.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为■-■=1，曲线的切线方程为■-■=1.4.抛物线标准方程为y■=2px，过抛物线上一点P（x■，y■）的切线方程为yy■=px+px■.证明：如图，不妨取P（x■，y■）为第一象限点曲线在第一象限部分的函数方程为y=■x■求导得：y′=■■x■∴过P的切线斜率为k=■∴过P点的切线方程为：y-y■∴=■（x-x■）又∵y■■=2px■整理化简得yy■=px+px■.这个结论是把标准方程为y■=2px化为y■=px+px之后，就容易想到了.证明中省略了对第四象限的部分，其证明方法相同.另外，对其他几种标准方程也可以对比记忆：抛物线y■=-2px的切线为yy■=-px-px■抛物线x■=2py的切线为xx■=py+py■抛物线x■=-2py的切线为xx■=-py-py■我们可以把这一结果作为公式教给学生，在记住抛物线标准方程的基础上，这个公式很容易记住.数学是严密的，这里曲线的标准方程和其切线方程的形式是如此的统一，如此的美丽.。
在公共点处的切线方程相同
在公共点处的切线方程相同在数学中，切线是一条与曲线相切且仅与曲线有一个公共点的直线。
而切线方程则是描述切线在直角坐标系中的数学表达式。
当两个曲线在某一点处的切线方程相同时，这两个曲线在该点处有相同的切线。
我们来考察一下二次函数的切线方程。
对于一般的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过求导数的方法得到该函数在某一点$(x_0,y_0)$处的切线斜率$k$。
根据导数的定义，我们有$k=\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=2ax_0+b$。
而切线方程的一般形式可以表示为$y-y_0=k(x-x_0)$。
因此，对于二次函数来说，不同的切线方程对应于不同的切线斜率，而切线斜率又决定于二次函数的系数$a$和$b$。
即使两个二次函数的系数不同，只要它们在某一点处的切线斜率相等，那么它们在该点处的切线方程也是相同的。
接下来，我们来考察一下三角函数的切线方程。
对于任意的三角函数$y=f(x)$，我们可以通过求导数的方法得到该函数在某一点$(x_0,y_0)$处的切线斜率$k$。
根据导数的定义，我们有$k=\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
而切线方程的一般形式可以表示为$y-y_0=k(x-x_0)$。
因此，对于三角函数来说，不同的切线方程对应于不同的切线斜率，而切线斜率又决定于三角函数在某一点处的导数。
即使两个三角函数不同，只要它们在某一点处的导数相等，那么它们在该点处的切线方程也是相同的。
除了二次函数和三角函数，还有很多其他类型的函数也具有相同切线方程的性质。
例如，指数函数和对数函数在其共同的底数上具有相同的切线方程。
另外，多项式函数在其相同的导数值处也具有相同的切线方程。
这些性质都是由函数的导数决定的。
总结起来，当两个曲线在某一点处的切线方程相同时，这两个曲线在该点处有相同的切线。
不同类型的函数在某一点处的切线方程相同的条件是不同的，对于二次函数来说，它们在该点处的切线斜率相等；对于三角函数来说，它们在该点处的导数相等。
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XF1 ( x0 , y0 ) YF2 ( x0 , y0 ) 0
X :Y F2 (x0, y0 ) :[F1(x0, y0 )]
因此过二次曲线上的点 M0 (x0, y0 )的切线方程为
x
y
x0 y0
F2 (x0 , F1(x0 ,
y0 y0
)t )t
x x0 y y0 F2 (x0 , y0 ) F1(x0 , y0 )
解：因为F(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,
且
F1(2,1)=5/2≠0, F 2 (2,1)=-2 ≠0
所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在
点(2,1)的切线方程为：
5/2 (x-2)-2(y-1)=0
即： 5x-4y-6=0
例2 求二次曲线 x2 xy y2 1 0 通点(0,2) 的切线方程
定义5.3.1 如果直线与二次曲线相交于相互重合的 两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的切线，这个 重合的交点叫做切点，如果直线全部在二次曲线上， 我们也称它为二次曲线的切线，直线上的每个点都可 以看作切点.
设M0 (x0，y0) 是二次曲线（1)上的任一点，则过M0的直线l 的方程总可以写成下面的形式：
解：设切点为 (x0, y0 ) ，则切线方程为：
x0
x
1 2
( x0
y
xy0
)
y0y1Fra bibliotek0
，
且 x0 2 y0 1 0，
x02 x0 y0 y02 1 0
解得
x0
y0
1与
0
x0
y0
1，
1
切线方程为： 2x y 2 0 与 x y 2 0 。
x y
x0 y0
Xt Yt
当 ( X, Y ) ≠ 0时，必须使判别式 Δ [ XF1(x0 , y0 ) YF2 (x0 , y0 )]2 ( X ,Y )F (x0, y0 ) 0 M0 (x0, y0 )在二次曲线上，F(x0, y0 ) 0 ，上式变为
推论 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是：
a11x0x a12 (x0 y xy0 ) a22 y0 y
a13(x x0 ) a23( y y0 ) a33 0
例1 求二次曲线x2-xy+y2+2x-4y-3=0在点(2,1)的切 线方程
即： (x x0 )F1(x0 , y0 ) ( y y0 )F2 (x0 , y0 ) 0
定义5.3.2 二次曲线(1)上满足条件F1(x0,y0)=F2(x0,y0)=0 的点(x0,y0)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线 的非奇异点叫做二次曲线的正常点.
定理5.3.1 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的正常点，那么 通过(x0,y0)的切线方程是 (x-x0)F1 (x0,y0)+ (y-y0)F2 (x0,y0)=0， (x0,y0)是它的切点. 如果(x0,y0)是二次曲线(1)的奇异点，那 么通过(x0,y0)的切线不确定，或者说过点(x0,y0)的每一条 直线都是二次曲线(1)的切线.