定理22(唯一性)若某数列收敛,则它只有一个极限.

若bn为常数c时有, lim(an c) lim an c
n n
lim(can ) c lim an
an 若再假设bn 0及 lim 0, 则也是收敛 n bn an an lim n 数列, 且有 lim lim bn n b
n
定理2.7(四则运算) 若{an }与{bn }为收敛数列, 则{an bn },{an bn } 也都是收敛数列, 且有 lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
lim(an bn ) lim an lim bn
n n n
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间[ M , M ]上.
定理 2.3 （有界性） 收敛的数列必定有界. 注：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散.
例 证明数列x n ( 1) n 1 是发散的.
定理 2.4(保号性) 若 lim xn a 0(或 0), 则对任何a (0, a)
n n
n
n
an 例1 求 lim n , 其中a 1 n a 1
例2
am nm a1n a0 lim n b n k b1n b0 k
例3
lim n ( n 1 n )
n
子列定义 设{xn }为数列,{nk }为正整数集N 的无限子集, 且 n1 n2 nk , 则数列xn1 , xn2 , , xnk , 称为数列{xn }的一个子列, 简记为{xnk }.
n
(或a (a, 0)), 存在正数N , 使得当n N时有xn a(或xn Baidu Nhomakorabea).
定理2.5(保序性) 设{an }与{bn }均为收敛数列.若存在正数N 0 , 使得当n N 0时有an bn , 则 lim an lim bn .
n n
注 如果把定理中条件an bn换成严格不等式an bn， 此时结论不可换作 lim an lim bn，仍有 lim an lim bn
是第 k 项，而 xnk 在原数列 xn 中却 是第 nk 项，显然，nk k.
定义 平凡子列和非平凡子列
定理 2.8 数列 { xn }收敛的充要条件是 : { xn }的任何 子列都收敛 .
（一般用来证明发散）
定理 2.9 数列{xn }收敛的充要条件是 :{x2n }和{x2n1}都收敛.
第二节 收敛数列的性质
定理2.2（唯一性）若某数列收敛,则它只有一个极限.
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自然数 n , 恒 有 x n M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
n ; 有界 n1
例如, 数列 x n
数列 x n 2 n . 无界
定义：在数列 xn 中任意抽取无限多项并保持 这些项在原数列 xn 中的先后次序，这样得到 的一个数列称为原数列 xn 的子数列（或子列）．
x1 , x2 ,, xi , xn ,
注
在子数列 xnk 中，一般项 xnk

x n1 , x n2 ,, x nk ,
n n n n
定理2.6(迫敛性) 设收敛数列{an },{bn }都以a为极限, 数列{cn } 满足 : 存在正数N 0 ,当n N 0时有an cn bn , 则数列{cn }收敛, 且 lim cn a.
1 1 1 ... ;lim n n ; 提供了求极限的方法：lim 2 n n2 2 n2 n n n 1