复变函数讲义第二章(3)
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A 1, B i
e iy cos y i sin y
复指数函数
(欧拉公式)
e e
z
x iy
e e e (cos y i sin y )
x iy x
性质:
(1) e e e
z1 z2
z1 z2
dez (e z )' ez dz
复指数函数在复平面内处处可导,处处解析.
或
f (t ) k cos(wt )
Re(e iwt ), ke i
f (t ) a cos(wt ) b sin(wt ) Re(e iwt ), (a ib)e i
振荡电路系统应用
Is
电 源
当电源取如下形式时， 计算电路中的电流s 。 I
I s Re[
e
iwt
Reff
]
(a ib)e
i
3.4 三角函数
iz
e ix e ix e ix e ix sin x cos x 2i 2
iz
定义:
e e sin z 2i
e e cos z 2
iz
iz
性质:(1) 三角恒等式仍成立 例：sin2 z cos2 z 1
(2) sin z, cos z的模可能大于 或者无界。 1
e 1 e 1 例: cos i 2
1
e y e y cos iy ( y ) 2
(3)解析的性质:在复平面内处处可导，处处解析.
(sinz )' cos z
(cosz )' sinz
小
结
熟练掌握：指数函数表达式,解析性,周期性;
Vs
电源Vs :
k cos(wt )
k sin(wt )
a cos(wt ) b sin(wt )
电容: 电感:
对应的等效电阻为 对应的等效电阻为
1 Rc iwC
Rl iwL
R iwC iwL 1 R iwC
整个电路的总电阻为: Reff
要计算的电流： I
d [ g ( y )] g ( y ) 2 dy
2
求得 g( y ) A cos y B sin y, A, B为常数
根据初始条件 g(0) e
iy
i0
e 1 Acos0 B sin 0
0
dg de iy | y 0 | y 0 (ie ) | y 0 i Asin 0 B cos0 dy dy
e e e
z1 z2
z z
z1 z 2
de (e )' ex dx
de z (e )' e dz
设z x iy ,
则 e z e x iy
e e e
z1 z2
z1 z2
（令 z1 x , z2 iy）
iy
e e
z
z
x iy
e e
( 2) 周期性 e z以2ki (k Z ) 为周期
e
z 2 ki
e
x i ( y 2 k )
e x [cos(y 2k ) i sin(y 2k )] e z
(3) e
z1
e
z2
z 1 z 2 2ki (k Z )
(4) 电路或信号系统中的许多“信号”可以利用复指数 函数表示
许多信号可以表示为 f (t ) 的形式：
1.直流信号： f (t ) k k 为常数
复指数信号： f (t ) ke st k为常数, s jw 为复数
0, w 0
2.正弦信号： f (t ) k sin( ) k 为振幅，w为频率，为相位 wt
Im(e iwt ), ke i
第三节
初等函数
介绍几种常见的复变函数—指数函数,对数函数, 幂函数,三角函数
3.1 指数函数
定义复指数函数的主要思路:
(1)复指数函数z 是实指数函数x 在复数范围的推广 e e ;
(2)保留许多实指数函数 e x的一些性质。
实指数函数 e
x
复指数函数e
z
e e e
x1 x2
x x
x1 x2
e
iwt
Reff
若 VS k cos(wt ) 若 VS k sin(wt )
I s Re[ I s Im[
e iwt
Reff
iwt
] ke i ] ke i
e
Reff
若 VS a cos(wt ) b sin(wt )
x
下面重点讨论e iy 的形式
de z e （令 z iy） dz
iy
de iy e d ( iy)
iy
de d 2 (e iy ) d d iy iy iy 即 ie ( ie ) i (e ) e iy 2 dy dy dy d ( y)
设g( y ) e iy , 得到g( y )满足的微分方程
三角函数表达式,解析性,模的取值（可能 Nhomakorabea于1或无界）.
1. e 在复平面内（
z
D
）
（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析
2. 设f ( z ) sinz，下列命题不正确的是 （
D
）
( A) f ( z )在复平面内处处解析 （B） f (z ) 是无界的
(C ) f ( z )以2为周期
e iz e iz ( D) f ( z ) 2
3. 方程1 e z 0的全部解为 z
4. 方程sinz 0的全部解为
2ki
k 0,1, k 0,1,
z k
e iy cos y i sin y
复指数函数
(欧拉公式)
e e
z
x iy
e e e (cos y i sin y )
x iy x
性质:
(1) e e e
z1 z2
z1 z2
dez (e z )' ez dz
复指数函数在复平面内处处可导,处处解析.
或
f (t ) k cos(wt )
Re(e iwt ), ke i
f (t ) a cos(wt ) b sin(wt ) Re(e iwt ), (a ib)e i
振荡电路系统应用
Is
电 源
当电源取如下形式时， 计算电路中的电流s 。 I
I s Re[
e
iwt
Reff
]
(a ib)e
i
3.4 三角函数
iz
e ix e ix e ix e ix sin x cos x 2i 2
iz
定义:
e e sin z 2i
e e cos z 2
iz
iz
性质:(1) 三角恒等式仍成立 例：sin2 z cos2 z 1
(2) sin z, cos z的模可能大于 或者无界。 1
e 1 e 1 例: cos i 2
1
e y e y cos iy ( y ) 2
(3)解析的性质:在复平面内处处可导，处处解析.
(sinz )' cos z
(cosz )' sinz
小
结
熟练掌握：指数函数表达式,解析性,周期性;
Vs
电源Vs :
k cos(wt )
k sin(wt )
a cos(wt ) b sin(wt )
电容: 电感:
对应的等效电阻为 对应的等效电阻为
1 Rc iwC
Rl iwL
R iwC iwL 1 R iwC
整个电路的总电阻为: Reff
要计算的电流： I
d [ g ( y )] g ( y ) 2 dy
2
求得 g( y ) A cos y B sin y, A, B为常数
根据初始条件 g(0) e
iy
i0
e 1 Acos0 B sin 0
0
dg de iy | y 0 | y 0 (ie ) | y 0 i Asin 0 B cos0 dy dy
e e e
z1 z2
z z
z1 z 2
de (e )' ex dx
de z (e )' e dz
设z x iy ,
则 e z e x iy
e e e
z1 z2
z1 z2
（令 z1 x , z2 iy）
iy
e e
z
z
x iy
e e
( 2) 周期性 e z以2ki (k Z ) 为周期
e
z 2 ki
e
x i ( y 2 k )
e x [cos(y 2k ) i sin(y 2k )] e z
(3) e
z1
e
z2
z 1 z 2 2ki (k Z )
(4) 电路或信号系统中的许多“信号”可以利用复指数 函数表示
许多信号可以表示为 f (t ) 的形式：
1.直流信号： f (t ) k k 为常数
复指数信号： f (t ) ke st k为常数, s jw 为复数
0, w 0
2.正弦信号： f (t ) k sin( ) k 为振幅，w为频率，为相位 wt
Im(e iwt ), ke i
第三节
初等函数
介绍几种常见的复变函数—指数函数,对数函数, 幂函数,三角函数
3.1 指数函数
定义复指数函数的主要思路:
(1)复指数函数z 是实指数函数x 在复数范围的推广 e e ;
(2)保留许多实指数函数 e x的一些性质。
实指数函数 e
x
复指数函数e
z
e e e
x1 x2
x x
x1 x2
e
iwt
Reff
若 VS k cos(wt ) 若 VS k sin(wt )
I s Re[ I s Im[
e iwt
Reff
iwt
] ke i ] ke i
e
Reff
若 VS a cos(wt ) b sin(wt )
x
下面重点讨论e iy 的形式
de z e （令 z iy） dz
iy
de iy e d ( iy)
iy
de d 2 (e iy ) d d iy iy iy 即 ie ( ie ) i (e ) e iy 2 dy dy dy d ( y)
设g( y ) e iy , 得到g( y )满足的微分方程
三角函数表达式,解析性,模的取值（可能 Nhomakorabea于1或无界）.
1. e 在复平面内（
z
D
）
（A）无可导点 （B）有可导点，但不解析 （C）有可导点，且在可导点集上解析 （D）处处解析
2. 设f ( z ) sinz，下列命题不正确的是 （
D
）
( A) f ( z )在复平面内处处解析 （B） f (z ) 是无界的
(C ) f ( z )以2为周期
e iz e iz ( D) f ( z ) 2
3. 方程1 e z 0的全部解为 z
4. 方程sinz 0的全部解为
2ki
k 0,1, k 0,1,
z k