极坐标系(优秀)

P
M [1]极径是正的时候：
3，2k
4
O
X
[2]极径是负的时候：
（3， 2k ）
4
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六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（,）,就可以在极坐标平面 内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个 极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
P
M (ρ,θ)…
x
针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
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二、极坐标系内一点的极坐标的规定:
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用
表示从Ox到OM 的角度，
叫做点M的极径， 叫做点M 的极角，有序数对（，） 就叫做M的极坐标。
O
M x
特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的
距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox（极轴）为
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三、点的极坐标的表达式的研究:
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的其他表达式 . O
思考：这些极坐标之间有何异同？
极径相同，不同的是极角。
M X
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们 是终边相同的角。
本题点M的极坐标统一表达式：
4 ，2 k π +
对于点M（，）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ; O
X
如图示：
M
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2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
示“反向 ”。
O
P
X P
X
M
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练答习：：（写－出6，点 （+π6），6
）的负极径的极坐标
或（－6，－ 11 +π）
6
6
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时）， 认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况使用。
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五、极坐标系下点的极坐标
探索点M（3，/4）的所有极坐标
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
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5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
通常的习惯一致，用“负”表
π 4
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练一练
题组2：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) B(6, 2 ) C (3, )
2
D(5, 4 )
3
E(3, 5 )
6
F (4, )
G(6, 5 )
3
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解析：
2
5
6
C
E
F
A O
B X
4
D
G 5
3
3
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四、1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情 况下，极径也可以取负值。
y
x
（1）在数轴上，直线上所有点的集合与全体实数的集合建立一一对应；
（2）在平面直角坐标系上，平面上所有点的集合与全体有序实数对
（x , y）的集合建立一一对应；
（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对
（x , y , z）的集合建立一一对应；
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直角坐标系
数
平面直角
学习要点： 极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种
坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在 运动的过程中，若点作平移变动，则选择直角坐标系；而若点 作旋转变动，则采用极坐标系。
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4.1.1 直角坐标系
y P(x,
● y)
z P(x,y,z) ●
●
●
oP
o
xo
始边，OM 为终边的角。
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题组1：说出下图中各点的极坐标
2
4
5
6
C
E
D
B
A
O
X
4 F 3
G 5 3
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特别规定: 当M在极点时，它的极坐标=0，可以 取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？ ②若不唯一，那有多少种表示方法？ ③坐标不唯一是由谁引起的？ ④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
轴
坐标系
R
（x , y)
空间直角 坐标系
（x , y , z)
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建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不 同？
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4、正、负极径时，点的确定过程比较
P
画出点: （3，/4） 和（－3，/4）
M
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的上取一点M，使OM= 3
O
X
P
[1]作射线OP，使XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使
O
X
OM= 3
O
X
如图示：
M（－3，/4）
●
M
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练一练
题组3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标
2C
11
6
12
D
E
A
O
X
B
23
12
5
4
3
2
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3、关于负极径的思考
“负极径”真是“负”的吗？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现
在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？
思考：试把负极径时点的确定过程，与正极径时
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巩固练习
选择适当的坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
y
F
E
A
O
D
x
B
C
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创设情境
（1）若有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群 水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？
军舰
水雷群
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创设情境
从这向 北1000 米
请问去农行 路怎么走？
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情境分析
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
O
X
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六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
一般地,若(ρ,θ)是一点M的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)或 (－ρ,θ+(2k + 1)π)都可以作为它的极坐标.
从这向北走1000米！
Leabharlann Baidu
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点 的位置。这种用方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
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一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线Ox，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单 O
位及它的正方向（通常取逆时