经管类高等数学微积分
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由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P (1,−1) ,
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 ′ A = z′ , xx | P = 2− z
2
1 ′ ′ |P = B = z′ C = z′yy , xy |P = 0, 2− z
1 故 B − AC = − 0 ( z ≠ 2),函数在 P 有极值. 2 < (2 − z ) 将 P (1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2, z 2 = 6 , 1 当 z1 = −2 时， A = > 0 , 4 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 为极小值； 1 当 z 2 = 6 时， A = − < 0 , 4
即此时最优广告策略是 用0.75万元作电台广告， 万元作电台广告， 用1.25万元作报纸广告 .
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仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点， 的点，均称为函数的驻点. 注意： 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点， 的驻点， 但不是极值点.
问题： 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 充分条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 有一阶及二阶连续偏导数，
例5 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y ( 4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.
解
如图,
先求函数在 D 内的驻点， 内的驻点，
y
x+ y=6
D
x
D
o
解方程组
f x′ ( x , y ) = 2 xy(4 − x − y ) − x 2 y = 0 2 2 ′ f ( x , y ) = x ( 4 − x − y ) − x y=0 y
得区域 D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) = 4 , 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值， 边界上的最值，
在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x ( 6 − x )( −2) ,
一、二元函数的极值
观察二元函数 z = − xy e
x2 + y2
的图形
播放 播放
1.二元函数极值(extreme value)定义
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x 0 , y0 ) 的 点 ( x , y ) ：若满足不等式 f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ) ，则 称 函数在 ( x0 , y0 ) 有 极大值； 若满足 不等 式 f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) ， 则 称 函 数 在 ( x 0 , y 0 ) 有 极小值 ；
2
y
x+ y=6
′ = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 , 由 fx
2
D
o x
得 x1 = 0, x2 = 4 ⇒ y = 6 − x | x = 4 = 2,
f (4,2) = −64,
比较后可知 f ( 2,1) = 4 为最大值,
f (4,2) = −64为最小值.
x+ y 例 6 求z = 2 的最大值和最小值. 2 x + y +1
x
问：店主每天以什么价格卖两种品 牌的果汁可取得最大收益？ 牌的果汁可取得最大收益？
问题的分析
每天的收益为
f ( x, y) =
( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值. 求最大收益即为求二元函数的最大值. 本节我们讨论与多元函数的最值有关的 最简单的优化问题.
x, y , λ ,其中
x,y就是可能的极值点的坐标
例 7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商 品的广告. 品的广告.根据统计资料， 根据统计资料，销售收入 R(万元 R(万元) 万元)与电 台广告费用 x1 (万元) 万元)及报纸广告费用 x 2 (万元) 万元)之 间的关系有如下的经验公式： 间的关系有如下的经验公式：
f y ( x 0 , y0 ) = 0 .
证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
则对于( x 0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时， 有 f ( x , y0 ) < f ( x0 , y0 ),
第三步 定出 AC − B 的符号， 的符号，再判定是否是极值.
2
二、二元函数的最值
与一元函数相类似， 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边 界上的最大值和最小值相互比较， 界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者 即为最大值， 即为最大值，最小者即为最小值. 最小者即为最小值.
说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) = 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
推广 如果三元函数u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数， 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
解： (1)利润函数
L = R − ( x1 + x 2 ) = 15 + 13 x1 + 31 x 2 − 8 x1 x 2 − 2 x1 − 10 x 2
2 2
∂L ∂x = −4 x1 − 8 x2 + 13 = 0 1 由 ∂L = −8 x − 20 x + 31 = 0 1 2 ∂x 2 解得x1 = 0.75(万元 )，x 2 = 1.25(万元 )
第六节 多元函数的极值 及其求法
一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值 拉格朗日乘数法 四、小结 思考题
问题的提出
某商店卖两种品牌的果汁， 某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌 每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元， 店主估计， 店主估计，如果本地品牌的每瓶卖 元，外地品牌的每瓶卖 y 元，则每天可 卖出 本地品牌的果汁 70 − 5 x + 4 y 瓶， 外地品牌的果汁 80 + 6 x − 7 y 瓶.
极大值、 极大值、极小值统称为 极值 。 使函数取得极值的点称为 极值点 。
例1 函数 z = 3 x 2 + 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值． 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z = − x 2 + y 2
(2)
在 (0,0) 处有极大值． 处有极大值．
例３ 函数 z = xy 在 (0,0) 处无极值． 处无极值．
2 2
例 4 求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y
− 4 z − 10 = 0 确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x + 2 z ⋅ z′x − 2 − 4 z′ x = 0 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0
R = 15 + 14 x1 + 32 x 2 − 8 x1 x 2 − 2 x1 − 10 x 2
2
2
(1)在广告费用不限的情况下 (1)在广告费用不限的情况下， 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； 求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为 (2)若提供的广告费用为 1.5 万元， 万元，求相应的最优 广告策略. 广告策略.
条件极值：对自变量有附加条件的极值． 对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y )， 其中 λ 为某一常数， 为某一常数，可由 f x ( x , y ) + λϕ x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) + λϕ y ( x , y ) = 0, ϕ ( x , y ) = 0. 解出
(3)
2.二元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 必要条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数， 具有偏导数， 且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值， 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： 然为零：
f x ( x 0 , y0 ) = 0 ，
x+ y =0 因为lim 2 2 x →∞ x + y + 1 y →∞
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) = , 2 2 2
1 1 1 z(− ,− ) = − , 2 2 2
1 1 ，最小值为− 所以最大值为 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
三、条件极值 拉格朗日乘数法
∂2L ∂2L ∂2L 又A = = −8, C = = −20 = −4, B = 2 2 ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x 2
B 2 − AC = 64 − 80 = −16 < 0, 且A = −4 < 0, 故点( 0.75,1.25)为极大值点， 为极大值点，
由问题的实际意义可知 ：它为最大点
实例： 实例： 小王有200元钱， 元钱，他决定用来购买两 种急需物品： 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘， 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) = ln x + ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 件 8 x + 10 y = 200下的极值点． 下的极值点．
所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值.
求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤： 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
f y ( x, y) = 0
求出实数解， 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
又 f x ( x 0 , y0 ) = 0 , f y ( x 0 , y0 ) = 0 ， 令 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ，
f yy ( x0 , y0 ) = C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： 处是否取得极值的条件如下： （1） AC − B > 0 时具有极值， 时具有极值， 当 A < 0 时有极大值， 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时有极小值； （2） AC − B 2 < 0 时没有极值； 时没有极值； （3） AC − B = 0 时可能有极值, 时可能有极值,也可能没有极值， 也可能没有极值， 还需另作讨论． 还需另作讨论．
( x 2 + y 2 + 1) − 2 x ( x + y ) = 0, 解 由 zx = 2 2 2 ( x + y + 1) ( x 2 + y 2 + 1) − 2 y( x + y ) zy = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1)
1 1 1 1 , ) 和( − ,− ) , 得驻点( 2 2 2 2
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数,
1 ′ A = z′ , xx | P = 2− z
2
1 ′ ′ |P = B = z′ C = z′yy , xy |P = 0, 2− z
1 故 B − AC = − 0 ( z ≠ 2),函数在 P 有极值. 2 < (2 − z ) 将 P (1,−1) 代入原方程, 有 z1 = −2, z 2 = 6 , 1 当 z1 = −2 时， A = > 0 , 4 所以 z = f (1,−1) = −2 为极小值； 为极小值； 1 当 z 2 = 6 时， A = − < 0 , 4
即此时最优广告策略是 用0.75万元作电台广告， 万元作电台广告， 用1.25万元作报纸广告 .
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仿照一元函数， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点， 的点，均称为函数的驻点. 注意： 注意：驻点 极值点
例如, 点(0,0)是函数 z = xy 的驻点， 的驻点， 但不是极值点.
问题： 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 如何判定一个驻点是否为极值点？
定理 2（充分条件） 充分条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续， 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 有一阶及二阶连续偏导数，
例5 求二元函数 z = f ( x , y ) = x 2 y ( 4 − x − y ) 在直线 x + y = 6 ， x 轴和 y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值.
解
如图,
先求函数在 D 内的驻点， 内的驻点，
y
x+ y=6
D
x
D
o
解方程组
f x′ ( x , y ) = 2 xy(4 − x − y ) − x 2 y = 0 2 2 ′ f ( x , y ) = x ( 4 − x − y ) − x y=0 y
得区域 D 内唯一驻点( 2,1) , 且 f ( 2,1) = 4 , 再求 f ( x , y ) 在 D 边界上的最值， 边界上的最值，
在边界 x = 0 和 y = 0 上 f ( x , y ) = 0 ,
在边界 x + y = 6 上，即 y = 6 − x
于是 f ( x , y ) = x ( 6 − x )( −2) ,
一、二元函数的极值
观察二元函数 z = − xy e
x2 + y2
的图形
播放 播放
1.二元函数极值(extreme value)定义
设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域 内 有 定 义 ， 对 于 该 邻 域 内 异 于 ( x 0 , y0 ) 的 点 ( x , y ) ：若满足不等式 f ( x , y ) < f ( x0 , y0 ) ，则 称 函数在 ( x0 , y0 ) 有 极大值； 若满足 不等 式 f ( x , y ) > f ( x 0 , y0 ) ， 则 称 函 数 在 ( x 0 , y 0 ) 有 极小值 ；
2
y
x+ y=6
′ = 4 x ( x − 6) + 2 x = 0 , 由 fx
2
D
o x
得 x1 = 0, x2 = 4 ⇒ y = 6 − x | x = 4 = 2,
f (4,2) = −64,
比较后可知 f ( 2,1) = 4 为最大值,
f (4,2) = −64为最小值.
x+ y 例 6 求z = 2 的最大值和最小值. 2 x + y +1
x
问：店主每天以什么价格卖两种品 牌的果汁可取得最大收益？ 牌的果汁可取得最大收益？
问题的分析
每天的收益为
f ( x, y) =
( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1.2)(80 + 6 x − 7 y )
求最大收益即为求二元函数的最大值. 求最大收益即为求二元函数的最大值. 本节我们讨论与多元函数的最值有关的 最简单的优化问题.
x, y , λ ,其中
x,y就是可能的极值点的坐标
例 7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商 品的广告. 品的广告.根据统计资料， 根据统计资料，销售收入 R(万元 R(万元) 万元)与电 台广告费用 x1 (万元) 万元)及报纸广告费用 x 2 (万元) 万元)之 间的关系有如下的经验公式： 间的关系有如下的经验公式：
f y ( x 0 , y0 ) = 0 .
证 不妨设 z = f ( x , y )在点( x 0 , y0 ) 处有极大值,
则对于( x 0 , y0 ) 的某邻域内任意
( x , y ) ≠ ( x 0 , y 0 ) 都有 f ( x , y ) < f ( x 0 , y 0 ) ,
故当 y = y 0 ， x ≠ x 0 时， 有 f ( x , y0 ) < f ( x0 , y0 ),
第三步 定出 AC − B 的符号， 的符号，再判定是否是极值.
2
二、二元函数的最值
与一元函数相类似， 与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边 界上的最大值和最小值相互比较， 界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者 即为最大值， 即为最大值，最小者即为最小值. 最小者即为最小值.
说明一元函数 f ( x , y0 )在 x = x 0 处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) = 0 ;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) = 0 .
推广 如果三元函数u = f ( x , y , z )在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数， 具有偏导数，则它在 P ( x0 , y0 , z0 ) 有极值的必要条 件为 f x ( x 0 , y 0 , z 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 ， f z ( x 0 , y0 , z 0 ) = 0 .
解： (1)利润函数
L = R − ( x1 + x 2 ) = 15 + 13 x1 + 31 x 2 − 8 x1 x 2 − 2 x1 − 10 x 2
2 2
∂L ∂x = −4 x1 − 8 x2 + 13 = 0 1 由 ∂L = −8 x − 20 x + 31 = 0 1 2 ∂x 2 解得x1 = 0.75(万元 )，x 2 = 1.25(万元 )
第六节 多元函数的极值 及其求法
一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值 拉格朗日乘数法 四、小结 思考题
问题的提出
某商店卖两种品牌的果汁， 某商店卖两种品牌的果汁，本地品牌 每瓶进价1元，外地品牌每瓶进价1.2元， 店主估计， 店主估计，如果本地品牌的每瓶卖 元，外地品牌的每瓶卖 y 元，则每天可 卖出 本地品牌的果汁 70 − 5 x + 4 y 瓶， 外地品牌的果汁 80 + 6 x − 7 y 瓶.
极大值、 极大值、极小值统称为 极值 。 使函数取得极值的点称为 极值点 。
例1 函数 z = 3 x 2 + 4 y 2
在 (0,0) 处有极小值． 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z = − x 2 + y 2
(2)
在 (0,0) 处有极大值． 处有极大值．
例３ 函数 z = xy 在 (0,0) 处无极值． 处无极值．
2 2
例 4 求由方程 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y
− 4 z − 10 = 0 确定的函数 z = f ( x , y ) 的极值
解 将方程两边分别对 x , y 求偏导
2 x + 2 z ⋅ z′x − 2 − 4 z′ x = 0 2 y + 2 z ⋅ z′y + 2 − 4 z′y = 0
R = 15 + 14 x1 + 32 x 2 − 8 x1 x 2 − 2 x1 − 10 x 2
2
2
(1)在广告费用不限的情况下 (1)在广告费用不限的情况下， 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； 求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为 (2)若提供的广告费用为 1.5 万元， 万元，求相应的最优 广告策略. 广告策略.
条件极值：对自变量有附加条件的极值． 对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y ) 在条件ϕ ( x , y ) = 0 下的 可能极值点， 可能极值点， 先构造函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λϕ ( x , y )， 其中 λ 为某一常数， 为某一常数，可由 f x ( x , y ) + λϕ x ( x , y ) = 0, f y ( x , y ) + λϕ y ( x , y ) = 0, ϕ ( x , y ) = 0. 解出
(3)
2.二元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件） 必要条件） 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数， 具有偏导数， 且 在点 ( x0 , y0 ) 处有极值， 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： 然为零：
f x ( x 0 , y0 ) = 0 ，
x+ y =0 因为lim 2 2 x →∞ x + y + 1 y →∞
即边界上的值为零.
1 1 1 z( , ) = , 2 2 2
1 1 1 z(− ,− ) = − , 2 2 2
1 1 ，最小值为− 所以最大值为 . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
三、条件极值 拉格朗日乘数法
∂2L ∂2L ∂2L 又A = = −8, C = = −20 = −4, B = 2 2 ∂x1 ∂x1∂x2 ∂x 2
B 2 − AC = 64 − 80 = −16 < 0, 且A = −4 < 0, 故点( 0.75,1.25)为极大值点， 为极大值点，
由问题的实际意义可知 ：它为最大点
实例： 实例： 小王有200元钱， 元钱，他决定用来购买两 种急需物品： 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带， 计算机磁盘和录音磁带，设他 购买 x 张磁盘， 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x , y ) = ln x + ln y．设每张磁 盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 U ( x , y ) = ln x + ln y 在条 件 8 x + 10 y = 200下的极值点． 下的极值点．
所以 z = f (1,−1) = 6 为极大值.
求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤： 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x , y ) = 0,
f y ( x, y) = 0
求出实数解， 求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x 0 , y0 ) ，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
又 f x ( x 0 , y0 ) = 0 , f y ( x 0 , y0 ) = 0 ， 令 f xx ( x0 , y0 ) = A ， f xy ( x0 , y0 ) = B ，
f yy ( x0 , y0 ) = C ，
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下： 处是否取得极值的条件如下： （1） AC − B > 0 时具有极值， 时具有极值， 当 A < 0 时有极大值， 时有极大值， 当 A > 0 时有极小值； 时有极小值； （2） AC − B 2 < 0 时没有极值； 时没有极值； （3） AC − B = 0 时可能有极值, 时可能有极值,也可能没有极值， 也可能没有极值， 还需另作讨论． 还需另作讨论．
( x 2 + y 2 + 1) − 2 x ( x + y ) = 0, 解 由 zx = 2 2 2 ( x + y + 1) ( x 2 + y 2 + 1) − 2 y( x + y ) zy = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1)
1 1 1 1 , ) 和( − ,− ) , 得驻点( 2 2 2 2