高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)doc

高中数学立体几何 空间距离

1.两条异面直线间的距离

和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.

2.点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离

如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

题型一：两条异面直线间的距离

【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；

【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.

(2)在Rt △BEF 中，BF =

a 23

,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2

12，即EF =a 22

.

由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为

a 2

2

. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .

∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .

∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.

∵CE =23

,∴CF =FD =2

1,∠EFC =90°,EF =

2221232

2

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是

2

2

. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：

（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.

（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.

例1题图

例2题图

（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.

题型二：两条异面直线间的距离

【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =

3

2BE =332332=

⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =363312

22=

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】

在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =

2

π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,

求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.

【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin

55

,AD =3a ,∴AF =5

3a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535=

=a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 3

5. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,

∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,

∴PB =2a ,∴AH =a 2

2.

【例5】

如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.

解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.

∴DF=C 1H=2. .622

2

=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，

由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.

在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离.

.11

33

417

12317

123,17

121743cos 3cos 3,.

17,1,2

2

1

1

221=+

⨯

=

⨯=

∴=⨯

===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CG

BG

CC EB 知由从而可得由

解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.

∵AEC 1F 为平行四边形，

例3题图