高中数学等差数列提高题(含答案解析)

等差数列提高题
第I卷
徐荣先汇编一．选择题（共20小题）
1．记S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
+a
5
=24，S
6
=48，则{a
n
}的公差为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．等差数列{a
n }中，a
3
，a
7
是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a
n
}的前9
项和等于（）
A．﹣18 B．9 C．18 D．36
3．已知S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
4
+a
9
=10，则S
12
等于（）
A．30 B．45 C．60 D．120
4．等差数列{a
n }中，a
3
=5，a
4
+a
8
=22，则{a
n
}的前8项的和为（）
A．32 B．64 C．108 D．128
5．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
2
+a
4
+a
9
=24，则S
9
=（）
A．36 B．72 C．144 D．70
6．在等差数列{a
n }中，a
9
=a
12
+3，则数列{a
n
}的前11项和S
11
=（）
A．24 B．48 C．66 D．132
7．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
6
=24，S
9
=63，则a
4
=（）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．一已知等差数列{a
n }中，其前n项和为S
n
，若a
3
+a
4
+a
5
=42，则S
7
=（）
A．98 B．49 C．14 D．147
9．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=6，a
2
=1，则公差d等于（）
A．B．C．D．2
10．已知等差数列{a
n }的前n项和S
n
，其中且a
11
=20，则S
13
=（）
A．60 B．130 C．160 D．260
11．已知S
n 是等差数列{a
n
}的前n项和，若4S
6
+3S
8
=96，则S
7
=（）
A．48 B．24 C．14 D．7
12．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且满足a
4
+a
10
=20，则S
13
=（）
A．6 B．130 C．200 D．260
13．在等差数列{a
n }中，S
n
为其前n项和，若a
3
+a
4
+a
8
=25，则S
9
=（）
A．60 B．75 C．90 D．105
14．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=﹣15，a
2
+a
5
=﹣2，则公差d等于（）
A．5 B．4 C．3 D．2
15．已知等差数列{a
n }，a
1
=50，d=﹣2，S
n
=0，则n等于（）
A．48 B．49 C．50 D．51
16．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若S
4
=﹣4，S
6
=6，则S
5
=（）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
17．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
4
，a
6
是方程x2﹣18x+p=0的两根，那
么S
9
=（）
A．9 B．81 C．5 D．45
18．等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=15，a
2
=5，则公差d等于（）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
19．等差数列{a
n }中，a
1
+a
3
+a
5
=39，a
5
+a
7
+a
9
=27，则数列{a
n
}的前9项的和S
9
等
于（）
A．66 B．99 C．144 D．297
20．等差数列{a
n }中，a
2
+a
3
+a
4
=3，S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，则S
5
=（）
A．3 B．4 C．5 D．6 二．选择题（共10小题）
21．设S
n 是等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
2
=3，a
6
=11，则S
7
= ．
22．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
3
=4，S
3
=3，则公差d= ．
23．已知等差数列{a
n }中，a
1
=1，a
2
+a
3
=8，则数列{a
n
}的前n项和S
n
= ．
24．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若公差d=2，a
5
=10，则S
10
的值是．
25．设{a
n }是等差数列，若a
4
+a
5
+a
6
=21，则S
9
= ．
26．已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
3
=9﹣a
6
，则S
8
= ．
27．设数列{a
n }是首项为1的等差数列，前n项和S
n
，S
5
=20，则公差为．
28．记等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若，则d= ，S
6
= ．
29．设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
4
=4，则S
7
= ．
30．已知等差数列{a
n }中，a
2
=2，a
12
=﹣2，则{a
n
}的前10项和为．
I卷答案
一．选择题（共20小题）
1．（2017•新课标Ⅰ）记S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
+a
5
=24，S
6
=48，则
{a
n
}的公差为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
【解答】解：∵S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和，a
4
+a
5
=24，S
6
=48，
∴，
解得a
1
=﹣2，d=4，
∴{a
n
}的公差为4．故选：C．
2．（2017•于都县模拟）等差数列{a
n }中，a
3
，a
7
是函数f（x）=x2﹣4x+3的两
个零点，则{a
n
}的前9项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．36
【解答】解：∵等差数列{a
n }中，a
3
，a
7
是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，
∴a
3+a
7
=4，
∴{a
n }的前9项和S
9
===．
故选：C．
3．（2017•模拟）已知S
n 为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
4
+a
9
=10，则S
12
等于（）
A．30 B．45 C．60 D．120
【解答】解：由等差数列的性质可得：．故选：C．
4．（2017•尖山区校级四模）等差数列{a
n }中，a
3
=5，a
4
+a
8
=22，则{a
n
}的前8项
的和为（）
A．32 B．64 C．108 D．128
【解答】解：a
4+a
8
=2a
6
=22⇒a
6
=11，a
3
=5，
∴，
故选：B．
5．（2017•三模）设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
2
+a
4
+a
9
=24，则S
9
=（）
A．36 B．72 C．144 D．70 【解答】解：在等差数列{a
n
}中，
由a
2+a
4
+a
9
=24，得：3a
1
+12d=24，即a
1
+4d=a
5
=8．
∴S
9=9a
5
=9×8=72．
故选：B．
6．（2017•一模）在等差数列{a
n }中，a
9
=a
12
+3，则数列{a
n
}的前11项和S
11
=（）
A．24 B．48 C．66 D．132
【解答】解：在等差数列{a
n }中，a
9
=a
12
+3，
∴，
解a
1
+5d=6，
∴数列{a
n }的前11项和S
11
=（a
1
+a
11
）=11（a
1
+5d）=11×6=66．
故选：C．
7．（2017•三模）已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
6
=24，S
9
=63，则a
4
=
（）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
6
=24，S
9
=63，
∴，
解得a
1
=﹣1，d=2，
∴a
4
=﹣1+2×3=5．故选：B．
8．（2017•一模）一已知等差数列{a
n }中，其前n项和为S
n
，若a
3
+a
4
+a
5
=42，则
S
7
=（）
A．98 B．49 C．14 D．147
【解答】解：等差数列{a
n }中，因为a
3
+a
4
+a
5
=42，
所以3a
4=42，解得a
4
=14，
所以S
7==7a
4
=7×14=98，
故选A．
9．（2017•南关区校级模拟）等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=6，a
2
=1，则
公差d等于（）A．B．C．D．2
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=6，a
2
=1，
∴，
解得，d=．故选：A．
10．（2017•一模）已知等差数列{a
n }的前n项和S
n
，其中且a
11
=20，则S
13
=（）
A．60 B．130 C．160 D．260
【解答】解：∵数列{a
n
}为等差数列，
∴2a
3=a
3
，即a
3
=0
又∵a
11
=20，
∴d=S
13=•（a
1
+a
13
）=•（a
3
+a
11
）=•20=130
故选B．
11．（2017•龙门县校级模拟）已知S
n 是等差数列{a
n
}的前n项和，若4S
6
+3S
8
=96，
则S
7
=（）
A．48 B．24 C．14 D．7
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，
∵4S
6+3S
8
=96，∴+=96，
化为：a
1+3d=2=a
4
．
则S
7==7a
4
=14．
故选：C．
12．（2017•模拟）等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且满足a
4
+a
10
=20，则S
13
=（）
A．6 B．130 C．200 D．260
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且满足a
4
+a
10
=20，
∴S
13=（a
1
+a
13
）=（a
4
+a
10
）=20=130．
故选：B．
13．（2017•大东区一模）在等差数列{a
n }中，S
n
为其前n项和，若a
3
+a
4
+a
8
=25，
则S
9
=（）
A．60 B．75 C．90 D．105
【解答】解：∵等差数列{a
n }中，S
n
为其前n项和，a
3
+a
4
+a
8
=25，
∴3a
1
+12d=25，∴，
∴S
9==9a
5
=9×=75．
故选：B．
14．（2017•延边州模拟）等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=﹣15，a
2
+a
5
=﹣2，
则公差d等于（）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=﹣15，a
2
+a
5
=﹣2，
∴，
解得a
3
=﹣2，d=4．故选：B．
15．（2017•金凤区校级四模）已知等差数列{a
n }，a
1
=50，d=﹣2，S
n
=0，则n等
于（）
A．48 B．49 C．50 D．51
【解答】解：由等差数列的求和公式可得，==0 整理可得，n2﹣51n=0
∴n=51
故选D
16．（2017•一模）设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若S
4
=﹣4，S
6
=6，则S
5
=（）
A．1 B．0 C．﹣2 D．4
【解答】解：设等差数列{a
n }的公差为d，∵S
4
=﹣4，S
6
=6，∴d=﹣4，d=6，
解得a
1
=﹣4，d=2．
则S
5
=5×（﹣4）+×2=0，故选：B．
17．（2017•南关区校级模拟）设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
4
，a
6
是方
程x2﹣18x+p=0的两根，那么S
9
=（）A．9 B．81 C．5 D．45
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，
a 4，a
6
是方程x2﹣18x+p=0的两根，那
∴a
4+a
6
=18，
∴S
9
===81．故选：B．
18．（2017•模拟）等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=15，a
2
=5，则公差d等
于（）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，且S
5
=15，a
2
=5，
∴，
解得a
1
=7，d=﹣2，∴公差d等于﹣2．故选：B．
19．（2017•模拟）等差数列{a
n }中，a
1
+a
3
+a
5
=39，a
5
+a
7
+a
9
=27，则数列{a
n
}的前
9项的和S
9
等于（）
A．66 B．99 C．144 D．297
【解答】解：∵等差数列{a
n }中，a
1
+a
3
+a
5
=39，a
5
+a
7
+a
9
=27，
∴3a
3=39，3a
7
=27，解得a
3
=13，a
7
=9，
∴数列{a
n
}的前9项的和：
S
9
===．
故选：B．
20．（2017•二模）等差数列{a
n }中，a
2
+a
3
+a
4
=3，S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，
则S
5
=（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵等差数列{a
n }中，a
2
+a
3
+a
4
=3，
S n 为等差数列{a
n
}的前n项和，
∴a
2+a
3
+a
4
=3a
3
=3，
解得a
3
=1，
∴S
5==5a
3
=5．
故选：C．
二．选择题（共10小题）
21．（2017•一模）设S
n 是等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
2
=3，a
6
=11，则S
7
=
49 ．
【解答】解：∵a
2+a
6
=a
1
+a
7
∴
故答案是49
22．（2017•宝清县校级一模）已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
3
=4，S
3
=3，
则公差d= 3 ．
【解答】解：由等差数列的性质可得S
3
===3，
解得a
2=1，故公差d=a
3
﹣a
2
=4﹣1=3
故答案为：3
23．（2017•费县校级模拟）已知等差数列{a
n }中，a
1
=1，a
2
+a
3
=8，则数列{a
n
}的
前n项和S
n
= n2．
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，
∵a
1=1，a
2
+a
3
=8，
∴2×1+3d=8，解得d=2．
则数列{a
n }的前n项和S
n
=n+=n2．
故答案为：n2．
24．（2017•四模）设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若公差d=2，a
5
=10，则S
10
的值是110 ．
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若公差d=2，a
5
=10，
∴a
5=a
1
+4×2=10，
解得a
1
=2，
∴S
10
=10×2+=110．故答案为：110．
25．（2017•一模）设{a
n }是等差数列，若a
4
+a
5
+a
6
=21，则S
9
= 63 ．
【解答】解：∵{a
n }是等差数列，a
4
+a
5
+a
6
=21，
∴a
4+a
5
+a
6
=3a
5
=21，解得a
5
=7，
∴=63．
故答案为：63．
26．（2017•三模）已知等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
3
=9﹣a
6
，则S
8
= 72 ．
【解答】解：由题意可得a
3+a
6
=18，
由等差数列的性质可得a
1+a
8
=18
故S
8=（a
1
+a
8
）=4×18=72
故答案为：72
27．（2017•凉山州模拟）设数列{a
n }是首项为1的等差数列，前n项和S
n
，S
5
=20，
则公差为．
【解答】解：设等差数列{a
n }的公差为d，∵a
1
=1，S
5
=20，
∴5+d=20，解得d=．故答案为：．
28．（2017•鹿城区校级模拟）记等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若，则d= 3 ，
S
6
= 48 ．
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d，∵，∴+d=20，解得d=3．
∴S
6
==48．
故答案为：3，48．
29．（2017•金凤区校级一模）设等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，若a
4
=4，则S
7
=
28 ．
【解答】解：∵等差数列{a
n }的前n项和为S
n
，a
4
=4，
∴S
7=（a
1
+a
7
）=7a
4
=28．
故答案为：28．
30．（2017•三模）已知等差数列{a
n }中，a
2
=2，a
12
=﹣2，则{a
n
}的前10项和为
6 ．
【解答】解：∵等差数列{a
n }中，a
2
=2，a
12
=﹣2，
∴，
解得a
1
=2.4，d=﹣0.4，
∴{a
n
}的前10项和为：
=6．
故答案为：6．
第II卷
一、选择题
1．在等差数列{a n}中，a2＝1，a4＝5，则{a n}的前5项和S5＝( )
A ．7
B ．15
C ．20
D.25
2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9
S 5等于( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D.12
3．等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11
D.12
4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )
A.172
B.192
C ．10
D.12
5．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D.－15
二、填空题
6．已知{a n }是等差数列，a 4＋a 6＝6，其前5项和S 5＝10，则其公差为d ＝________.
7．{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则S 10＝________.
8．若数列⎩⎪⎨
⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫1
n
n ＋1
的前n 项和为S n ，且S n ＝19
20
，则n ＝________.
[能力提升]
1．如图2­2­4所示将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )
图2­2­ 4
A.3n2
2
B.
n n＋1
2
C.3n n－1
2
D.
n n－1
2
3．(2015·高考)已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋1
2
(n≥2)，则数列{a n}
的前9项和等于________．
资*源%库4．(2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n＞0，a2n＋2a n＝4S n＋3.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)设b n＝
1
a
n
a
n＋1
，求数列{b n}的前n项和．
第III卷
1．已知{a n}为等差数列，a1＝35，d＝－2，S n＝0，则n等于( ) A．33 B．34
C．35 D．36
【答案】 D
【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由S n＝na1＋n n－1
2
d＝
35n＋n n－1
2
×(－2)＝0，可以求出n＝36.
2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )
A ．13
B ．26
C ．52
D ．156
【答案】 B
【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13
＝
13a 1＋a 132
＝
13a 4＋a 102
＝
13×4
2
＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90
【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.
4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28.
【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；
(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设
S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；
(3)由S n ＝d
2n 2
＋n (a 1－d
2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d
2)，故⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫S n n 是一个等差数列，又2×
20＝12＋28，∴2×
S 2020＝S 1212＋S 2828
，可求得S 28.
【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋
n n －1
2
d .
由已知条件得：⎩⎪⎨
⎪⎧
12a 1＋12×11
2
d ＝84，20a 1
＋20×19
2d ＝460，
整理得⎩⎨
⎧
2a 1＋11d ＝14，
2a 1＋19d ＝46，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝－15，d ＝4.
所以S n ＝－15n ＋
n n －1
2
×4＝2n 2
－17n ，
所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.
方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，
所以⎩⎨⎧ 122
a ＋12
b ＝84，202
a ＋20
b ＝460，
整理得⎩⎨
⎧
12a ＋b ＝7，
20a ＋b ＝23.
解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ，
所以S n n ＝a 1－d 2＋d
2n ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 是等差数列．
因为12,20,28成等差数列， 所以
S 1212，S 2020，S 2828
成等差数列，
所以2×
S 2020＝S 1212＋S 2828
，解得S 28＝1 092.
【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400
【答案】 B 【解析】 d ＝
a 4－a 24－2
＝
15－72
＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.
2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( )
A ．27
B ．24
C ．29
D ．48
【答案】 C
【解析】 由已知⎩⎨
⎧
2a 1＋5d ＝19，
5a 1＋10d ＝40.
解得⎩⎨
⎧
a 1＝2，d ＝3.
∴a 10＝2＋9×3＝29.
3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B
【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.
∴a n ＝⎩⎨
⎧
2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，
这不是等差数列．
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】 A
【解析】 ⎩⎨
⎧
a 1＝－11，
a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨
⎧
a 1＝－11，d ＝2，
∴S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n .
＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．
5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )
A ．22
B ．21
C ．19
D ．18
【答案】 D
【解析】∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，a
n
＋a n－1＋a n－2＋a n－3＋a n－4＝146，
∴5(a1＋a n)＝180，a1＋a n＝36，
S n ＝
n a
1
＋a n
2
＝
n×36
2
＝234.
∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.
6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( ) A．8 B．7
C．6 D．5
【答案】 D
【解析】S奇＝6a1＋6×5
2
×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋
5×4
2
×2d＝5(a1
＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.
7．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知S
n
T
n
＝
7n
n＋3
，则
a
5
b
5
等于( )
A．7 B.2 3
C.27
8
D.
21
4
【答案】 D
【解析】a
5
b
5
＝
2a5
2b5
＝
a
1
＋a9
b
1
＋b9
＝
9
2
a
1
＋a9
9
2
b
1
＋b9
＝
S
9
T
9
＝
21
4
.
8．已知数列{a n}中，a1＝－60，a n＋1＝a n＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．1 305
【答案】 B
【解析】a n＋1－a n＝3，∴{a n}为等差数列．
∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.
∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21.
S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30| ＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.
二、填空题(每小题10分，共20分)
9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n
＝________.
【答案】 2n
【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则 ⎩⎨
⎧
a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4
，∴⎩⎨
⎧
a 1＝2d ＝2
，∴a n ＝2n .
10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．
【答案】 10
【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.
即132－120＝132＋120
2n ＋1
，求得n ＝10.
【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷．
三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．在等差数列{a n }中，
(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .
【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出
a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．
【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎨
⎧
a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.
解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，
S 8＝
8a 1＋a 82
＝44.
(2)由S n ＝
n a 1＋a n
2
＝
n －512＋1
2
＝－1 022，
解得n ＝4.
又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.
【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．
12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？
【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝
a 1＋a n n 2
＝
36＋40－4n 2
·n ＝－2n 2＋38n
＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋19
2
2
＝－2(n －192)2＋192
2.
令n －
192＝0，则n ＝19
2
＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，
∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋192
2＝180.
方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，
a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，
S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝36n ＋
n n －1
2
·(－4)＝－2n 2
＋38n ，
点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－
382×
－2
＝
19
2
＝9.5， ∴当n ＝10或9时，S n 最大．
∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，
a 2＝40－4×2＝32，
∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列． 令⎩⎨
⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨
⎧
40－4n ≥0，40－4n ＋1
≤0，
∴⎩⎨
⎧
n ≤10，n ≥9，
即9≤n ≤10.
当n ＝9或n ＝10时，S n 最大． ∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝
a 1＋a 10
2
×10＝
36＋0
2
×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m
－1
＝S m 同为S n 的最值．。