第四章 稳定性分析

F F F
Fapp
可用载荷控制得到 Fapp 吗？
u
October 17, 2000
结构稳定性 – 5.7版本
4-10
载荷控制(续)
• 在Newton-Raphson 法中使用载荷控制的困难在于求解无法越过不 稳定点。在不稳定点(Fcr) ，刚度矩阵KT 奇异 。使用载荷控制， Newton-Raphson 法将不收敛。但是，此种分析对描述结构的前屈 曲特性有益。
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4-30
特征值屈曲分析的步骤(续)
进行特征值屈曲分析 在完成了静力求解后，退出求解器然后重新进入求解器并指定分析 类型为特征值屈曲： Solution > New Analysis ...
特征值屈曲
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• 为了适应增加的未知数，必须引入一个约束方程，弧长 。弧 长与载荷因子l以及Newton-Raphson 方程中的位移增量{u} 有关。
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4-15
弧长法(续)
弧长法是借助一条圆 弧将载荷因子增量l 和位移增量u关联起 来。图中所示的是用 于全NewtonRaphson法中的载荷 因子增量l和位移增 量u。
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4-22
特征值屈曲分析的基础(续)
假设前屈曲位移很小，可给出任意状态({P}, {u}, {s})的增量平衡 方程
{P} = [[Ke] + [Ks(s)]]{u} 这里 [Ke] = 弹性刚度矩阵 [Ks(s)] = 在应力状态{s}下计算的初始应力矩阵
UY
Fapp
UY UY
Fapp 可通过位移控制得 到。 (Fapp 现在是施加 位移UY 的反作用力。)
u
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4-12
位移控制(续)
• 位移控制的缺点是只有你明确知道施加多大的位移时才可使用！ 如果在弧形结构上施加的不是集中载荷而是压力载荷，则不可能 使用位移控制。
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4-24
特征值屈曲分析的基础(续)
在不稳定状态开始（失稳载荷{Pcr} ）时，结构在以下情况时变形 {u} 有所变化 {P} 0 将上面的表示式带入前面的针对整个前屈曲范围的增量平衡方程中， 可得到
[[Ke] + l[Ks(s0)]]{u} = {0}
P
对于一些更复杂的加载情况， 通常不知道施加的位移大小。
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4-13
弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵(KT < 0)问题 的数值稳定解的方法。 • 弧长法可用于比例加载的静力问题。
F
• 尽管弧长法可求解复杂的力位移响 应问题，但它最适合求解不带突然 歧点的平滑响应问题。
特征值屈曲
• 特征值屈曲分析 可预测一个理想线弹性 结构的理论屈曲强度（ 歧点）。
• 特征值公式决定了结构的歧点。此种方法相当于教科书上的线弹 性屈曲分析方法。一个Euler 立柱的特征值屈曲解与经典的Euler 解相匹配。
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4-19
特征值屈曲(续)
第四章
稳定性分析
结构稳定性
• 许多结构需要评定它们的结构稳定性。细立柱，受压杆件，真空 容器都是需考虑结构稳定性的例子。
• 在不稳定（失稳）发生时，结构在载荷基本无变化的情况下（由 于小的载荷扰动），位移 {u} 发生很大变化。
F
稳定 不稳定
F
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以上的关系式代表了经典的特征值问题。
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4-25
特征值屈曲分析的基础(续)
为满足前面的关系式，必须
det[[Ke] + l[Ks(s0)]] = 0 在有n个自由度的有限元模型中，上式得到n阶的l （特征值） 的 多项式。这种情况下的特征矢量{u}n 代表了叠加在失稳系统上 的变形。计算出的最小的特征值是弹性临界载荷{Pcr} 。
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4-21
特征值屈曲分析的基础
线性失稳分析以经典的特征值问题为基础。为求解特征值问题，首 先求解线弹性前屈曲加载状态{P0} 的载荷－位移关系；既给定{P0} ，解
{P0} = [Ke]{u0} 以得到 {u0} = 加载{P0}的位移结果，及 {s } = {u0}引起的应力结果
u
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4-14
弧长法(续)
• 通过在求解时引入未知数－载荷因子l (-1 < l < 1)后，弧长法 可在 Newton-Raphson 方法中对载荷与位移同时求解。 Newton-Raphson 方程可重写为, [KT]{u} = l {Fa} - {Fnr}
• 一个理想化的一端固定的立柱，在临界载 荷(Fcr)的作用下，它将有可能向左或向右 弯曲。因此会有两种可能的加载路径。在 实际的结构中，由于几何误差或扰动载荷 (P 0) 的存在，它们会决定加载路径。
u
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4-4
结构稳定性(续)
稳定，不稳定与中性平衡 • 考虑下面所示的球的平衡。如果表面是向上凹的，则平衡是稳定的 。如果受到干扰，球将回到它的初始位置。如果表面是向上凸的， 则平衡是不稳定的，如果受到干扰，球将滚开。如果表面是平的， 则球处于中性平衡态，球将停留在新的平衡位置。
4-31
特征值屈曲分析的步骤(续)
进行特征值屈曲分析
指定特征值提取方式与需提取的屈曲模态数：
Solution >
Analysis Options ... Block Lanczos 是推 荐的选项。
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4-32
特征值屈曲分析的步骤(续)
进行特征值屈曲分析 指定写入结果文件的模态数。 Solution > -Load Step Opts - Expansion Pass > Expand Modes ...
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4-34
特征值屈曲分析的步骤(续)
查阅结果 • 特征值屈曲分析的结果可在通用后处理器中查阅。结果包括载荷 系数，屈曲模态形状与相对应力分布。
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4-7
结构稳定性(续)
• 一般的非线性载荷位移曲线如下图所示。此图显示了理想的加载 路径，非理想结构的加载路径及结构的动态响应。
F
歧点 极限点
理想的加载路径 非理想结构的加载路径
理想的静力 特性
实际动态响应
前屈曲
后屈曲
u
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4-28
特征值屈曲分析的步骤(续)
使用预应力得到静力解
在进行静力求解时，为进行后继的特征值屈曲分析必须打开预应力 开关。 Solution > Analysis Options ... 设置 PSTRES,ON。 这导致为特征值屈曲求 解存储应力刚度矩阵。
2 Arc Length Radius un l2
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4-16
弧长法(续)
• 强制Newton-Raphson 迭代沿 着与平衡路径相交的圆弧收敛， 可得到承受零或负刚度的结构的解。
F
ri
ri 弧长半径 收敛子步
ri ri
ri 平衡路径
也可计算相对应力分 布。
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4-33
特征值屈曲分析的步骤(续)
注意常载荷与变载荷 可对特征值结果进行迭代，调整变化的载荷直至特征值为1.0或接近 1.0。一个带有自重WO 和外载A 的杆件，可调整A的值，不断迭代 ，直至l = 1.0 。
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稳定
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不稳定
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中性
4-5
结构稳定性(续)
临界载荷
• 当 F < Fcr时， 立柱处于稳定平衡状态。 如果先施加一个 小的扰动力 (P 0) 然后再删除掉，立柱将会恢复到原始 位置。当 F > Fcr 时，立柱处于非稳定平衡状态，任何扰 动力都将会引起失稳。当 F = Fcr时 ，立柱处于中性平衡 状态，这就是临界载荷。
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4-29Biblioteka Baidu
特征值屈曲分析的步骤(续)
使用预应力得到静力解
• 通常施加单位载荷就足够。计算出的特征值代表了所加载荷的失稳 载荷系数。 • 注意特征值代表了对所有载荷的比例因子。如果有的载荷是恒定的 ，其它载荷是变化的，你需要确定恒定载荷的应力刚度矩阵未乘以 因子（以后讨论）。
4-2
结构稳定性(续)
• 一个理想化的固定端柱子在逐渐增加的轴向载荷(F)作用下，将显 示出如下特性。 F F
F
歧点 不稳定平衡
中性平衡
Fcr
u
稳定平衡
u
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4-3
结构稳定性(续)
歧点 • 在加载历史中的某一点处,可能有两种分支的解，这一点就是所谓 的歧点。 F P F
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4-23
特征值屈曲分析的基础(续)
假设前屈曲特性是载荷 {P0}的线性函数， {P} = l{P0} 我们可得到 [Ks(s)] = l[Ks(s0)] 因此，对整个前屈曲范围 表达的增量平衡方程可写为 {P} = [[Ke] + l[Ks(s0)]]{u} {u} = l{u0} {s } = l {s 0 }
u
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4-17
前屈曲分析
前屈曲分析及破坏载荷分析的分析方法包括： • 线性特征值屈曲 • 非线性屈曲分析
F
非线性屈曲 线性特 征值屈曲 理想化加载路径 非理想结构的加载路径
前屈曲
u
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4-18
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4-8
载荷控制，位移控制与弧长法
• 为计算结构的静态力位移响应，有不同的分析技巧。这些技巧包 括：
– 载荷控制
– 位移控制
– 弧长法
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4-9
载荷控制
• 分析如下所示的薄拱形结构突然弯折。当用增量加载(F)的方式完成 此问题的求解时，需使用载荷控制 。
• 但是非理想性与非线性使大多数实际结构无法达到它们的理论弹性 屈曲强度。特征值屈曲通常得到非保守 结果，在使用时要小心。
F
极限载荷 歧点 理想加载路径 非理想结构的加载路径
前屈曲
u
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4-20
特征值屈曲(续)
• 尽管特征值屈曲分析经常得到非保守解，但进行线性失稳分析有 两个优点： – 相对经济（快速）的分析 – 失稳模态形状可用作非线性屈曲分析的初始几何缺陷。
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4-26
特征值屈曲分析的步骤
• 特征值屈曲分析包括下面四个主要步骤：
1. 建模 2. 用预应力得到静力解 3. 得到特征值屈曲解 4. 查阅结果
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4-27
特征值屈曲分析的步骤(续)
建模 • 此项任务与大多数其它分析相似，只是应注意以下两点： – 只允许线性特性。非线性单元将按线性对待。刚度计算 基于初始状态，并且在后续计算中不改变。 – 必须定义杨氏模量。材料特性可以是线性、各向同性或 各向异性的，非线性特性被忽略。
Fapp
Fcr 只能用载荷控
Fcr
制得到。
KT = 0 KT < 0 u
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4-11
位移控制
• 弧形结构受到逐渐增大的位移载荷，对应于受力载荷，求解是使用 位移控制 完成的。位移控制的优点在于它在Fcr 点外产生一个稳定 求解。（施加的位移可在不稳定点添加约束。）
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4-6
结构稳定性(续)
极限载荷 • 在实际结构中，要获得临界载荷非常困难。由于几何误 差和非线性特性，结构在低于临界载荷的力的作用下就 会变得不稳定。 F
歧点 实际结构的响应， 低于临界载荷就会 出现不稳定。
Fcr
u
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