《复变函数》及《积分变换》复习题.

《复变函数》及《积分变换》复习题

一、 填空题： ⒈

i i i 2)

52)(43(-+的实部位为________,虚部为_______,共轭复数为________。

i

231

+的实部位为___________,虚部为__________,共轭复数为__________。 ⒉复变函数的指数函数表达式为_________。 ⒊欧拉公式的表达式为_____________________。 ⒋在|z|<1时，

z

-11

可展开成幂级数为___________________________。 ⒌如果z 0为)(z f 的m 级极点，那末[]=0),(Re z z f s _____________________。 ⒍设)

()

()(z Q z P z f =

,如果满足__________________，而且_______，_______，_______，那末，z 0为)(z f 的___级极点，且[])

()

(),(Re 0z Q z P z z f s '=

⒎傅氏变换的位移性质表达式为_____________，逆变换的为___________。 二、简答题：

1、一个复数乘以－i ，它的模与幅角有何改变?

2、简述复合闭路定理的内容。

3、解析函数和调和函数是什么关系？

4、孤立奇点的种类有哪些？各有什么特点？

5、如何判断函数零点的级数？极点和零点有什么关系？

6、用表达式表达δ-函数的筛选性质。

7、用表达式写出傅氏变换的微分性质和积分性质。

8、写出常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数)(t u ，指数函数kt e ，单位脉冲函数)(t δ，正弦函数kt sin ，余弦函数kt cos ，幂函数m t （m 为正整数）。 三、画图题:

1、已知复平面点z 1和z 2，在复平面内画出)(2

121z z z +=。 2、作图并说明|z+i|=|z-i|中z 的轨迹。 3、作图并说明|z+2i|≤1中z 的轨迹。 四、 判断题：

1、若c 为实常数，则c c =

2、如果)(0z f '存在，那末)(z f 在0z 解析。

3、如果),(y x u 和),(y x v 可导（指偏导数存在），那末iv u z f +=)(也可导。

4、在复变函数中，负数是没有对数值的。

5、u 和v 都是调和函数，如果v 是u 的共轭调和函数，那末u 也是v 的共轭调和函数。

6、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。

7、每一个在z 0连续的函数一定可以在z 0的邻域内展开成泰勒级数。 五、 计算题：

1、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数,试确定l 、m 、n 的值。

2、设函数)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=,问常数a,b,c,d 取何值时，)(z f 在复平面内处处解析？

3、运用柯西积分公式计算

⎰=-+-4

||)3)(1(1

3z dz z z z ,其中C 为正向圆周。 4、运用高阶导数公式，计算dz z e C z

⎰+2

2)

1(,其中C 为正向圆周|z|＝2。 5、证明y x y y x u 233),(-=为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数。

6、下列级数是否收敛？是否绝对收敛：∑∞

=+1)1(1n n i n

,∑∞=⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡+-121

)1(n n n i n 。

7、把下列函数展开成z 的幂级数：2cos z 、

2

2)1(1

z +

8、把下列函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数:2||1,)

2)(1(1

)(<<--=

z z z z f ;

1||0,)1(1

)(2

<<-=

z z z z f 。

9、利用留数定理,计算下面积分的值:,)1(2

⎰-C

z

dz z z e C 为正向圆周2=z 。 10、计算函数6

sin )(z

z

z z f -=

在z ＝0处的留数。 11、利用欧拉公式求sin2tsin3t 的拉氏变换。

12、利用拉氏变换的性质，计算下列各式的拉氏变换：⎰-=t

t tdt e t t f 032sin )(，

⎰-=t

t tdt te t f 032sin )(。

13、利用拉氏变换计算下列积分的值：

⎰

⎰⎰⎰∞

+∞+∞+∞+------0

00032322sin ;;2cos ;tdt te dt te tdt e dt t

e e t t t t

t 14、求下列函数的拉氏逆变换：))(()(b s a s s s F --=，2

2)

1(1

2)(--+=s s s s s F 15、利用拉氏变换,求下列微分方程的解:1)0(,0)0(,32='==-'+''-y y e y y y t ;

1)0(,0)0(),1(23='=-=+'+''y y t u y y y 。