初中数学 第26章 二次函数复习 课件

y<0
10. 当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴 无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二 次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值， 都有y>0; 无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
y>0
11.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一 元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
y>0
9. 当a<0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个 相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )， 当x≠x1（或x≠x2）时，y<0,即ax2+bx+c<0 ; 当 x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能 有ax2+bx+c>0.
二次函数复习
一、二次函数的定义
1. 形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且 a≠0 ）的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。 3. 二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a≠0）。 4. 二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。
2a
4a
6. 当a>0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相 同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实数根x1、x2(x1<x2 )，当x<x1或x>x2时，y>0,即 ax2+bx+c>0 ; 当x1<x<x2时，y<0, 即ax2+bx+c<0.
7. 当a<0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相 同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的 实数根x1、x2(x1<x2)，当x1<x<x2时，y>0,即 ax2+bx+c>0 ;当x<x1或x>x2时，y<0, 即ax2+bx+c<0.
巩固练习2
已知某二次函数的顶点坐标为(1，1) ，且过 点 (2，0) 试确定它的函数解析式。
解：∵二次函数的顶点为(1， 1) ∴可设二次函数解析式为 y a(x 1)2 1 又函数过点 (2，0) ∴0 a(2 1)2 1 解得a 1 ∴二次函数的解析式为 y (x 1)2 1 即 y x2 2x
∴所求得的函数解析式为 y 2x2 3x 5。
巩固练习1
已知某二次函数图象上有(1，3) ，(1，3) ，(2，6)三
个点，求它的函数解析式。
解：设函数解析式为 y ax2 bx c 由已知，函数图象上有 (1，3) ，(1，3) ，(2，6) 三个点，
得
a b c 3 a b c 3 4a 2b c 6
y=a(x+1)(x-3).
y
∵抛物线过y 轴上的点（0，-2），
∴把这点坐标代入上面式子，得
-2=-3a ∴ a=2/3. ∴ 所求函数解析式为：
-1 0 -2
y=2/3·(x+1)(x-3).
即 y 2 x2 4 x 2 33
3x
巩固练习4
❖二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，试 用 “ >、< 、=” 填空：
【例】已知某二次函数二的次图函象数过的(一1，1般0)式，。(1，4) ， (2，7) 三点，求这个函数的解析式。
解：设所求函数解析式为 y ax2 bx c
由已知函数图象过(1，10)，(1，4)，(2，7) 三点得
a b c 10 a b c 4 4a 2b c 7 解这个方程组得a 2，b 3，c 5
8. 当a>0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两 个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程 ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )， 当x≠x1（或x≠x2）时，y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当 x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能 有ax2+bx+c<0.
3
3=-3a
y x2 2x 3
∴ a=-1.
∴ 所求函数解析式为：
-1 0
y=-1(x+1)(x-3).
即 y= - x2+2x+3 .
3x
巩固练习3
▪ 如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。
解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则 x1=-1, x2=3, 于是
3. 过x轴上的两点及任意一点确定解析式
时【例，】用已交知点函式数的y图=象a（如图x-所x1示)(，x求-x函2)数解析式。
解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则
x1=-1, x2=3, 于是
y=a(x+1)(x-3).
y
∵抛物线过y 轴上的点（0，3），
∴把这点坐标代入上（面C） 式子，得
（1）a < 0,b < 0, c > 0;
（2）a+b+c来自百度文库< 0;
y
（3）a-b+c > 0;
（4） △ > 0；
1
（5） b ac
> 0.
-1 0 1 x
再见！
盐源民族中学 罗朝友
解这个方程组，得
a 1 ，b 0，c 2
∴函数解析式为 y x2 2
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
由于抛物线 y a(x h)2 k 顶点坐标是(h，k) ， 反之，已知顶点坐标为(h，k) ，则可设函数解析式为 y a(x h)2 k 。
【例题】已知某抛物线的顶点坐标 (3，4) 且过点 (1，8) ，求它的函数解析式。 解：∵顶点坐标是(3，4) ∴可设函数解析式为 y a(x 3)2 4 又过点(1，8) ∴8 a(1 3)2 4 解得a 1 ∴函数解析式为 y (x 3)2 4 即 y x2 6x 13
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小， 在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时， 在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的 右侧，y 随 x 的增大而减小。
4. y=a（x-h)2+k 的顶点坐标是（h, k) , 对称轴是直线 x㎝
=h，当x=h时，y 有最大（或最小）值，即
y最大(或最小) k
5. 线y=xax2+bbx+c，的当顶x点坐 标b 是时， 2yba有, 4a最c4a大b2（ 或，最对小称）轴值是。直
即
2a
2a
y最大(或最小值)
4ac 4a
b2
把一般式 y=ax2+bx+c 配成顶 点式为：
y a(x b )2 4ac b2
无论 x 取何值，都不可能有y≥0。
y<0
12. y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴的交点的坐标 为（0，c) . 由此可得：
当c >0时，抛物线与y 轴相交于正半轴； 当c =0时，抛物线过原点； 当c <0时，抛物线与y 轴相交于负半轴。
c>0
c=0
c<0
三、解析式的确定（提待示定：系如数果已法知）的是三 1. 已知三个普通点确定个函普数通解点析，式则一般采用
二、二次函数的图象和性质
▪ 首先把y=ax2+bx+c化成 y=a（x-h)2+k的形式， 然后对图象和性质进行归纳：
1. 所有二次函数的图象都是一条抛物线；当a>0,抛物线 的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下。
2. 当 | a | 的值越大时，开口越小，函数值 y 变化越快。 当 | a | 的值越小时，开口越大，函数值 y 变化越慢。