两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

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:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例

知识要点:

1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(α-β):cos(α-β)= ; C(α+β):cos(α+β)= ; S(α+β):sin(α+β)= ; S(α-β):sin(α-β)= ; T(α+β):tan(α+β)= ; T(α-β):tan(α-β)= ; 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式

2S α:sin2α= ; 2T α:tan2α= ;

2C α:cos2α= = = ;

3、在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等。

如T(α±β)可变形为:

tan α±tan β=___________________; tan αtan β= = . 考点自测:

1、已知tan α=4,tan β=3,则tan(α+β)=( )

711

A 、 711

B 、-

7

13C 、 713D 、-

2、已知cos ⎝⎛⎭⎫α-π6+ sin α=4

5

3,则 sin ⎝⎛⎭⎫α+7π6的值是( ) A .-235 B.235 C .-45 D.45

3、在△ABC 中,若cos A =45,cos B =5

13

,则cos C 的值是( )

A.1665

B.5665

C.1665或5665 D .-1665 4、若cos2θ+cos θ=0,则sin2θ+sin θ的值等于( )

A .0

B .±3

C .0或 3 D

.0或

±3

5、三角式2cos55°-3sin5°

cos5°

值为( )

A.3

2

B. 3 C .2 D .1 题型训练

题型1 给角求值

一般所给出的角都是非特殊角,利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 例1求[2sin50sin10(1)]︒︒︒+.

变式1:化简求值:2cos10sin 20.cos 20

︒︒

- 题型2给值求值

三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示.如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,

22

αβ

αβ++=⋅

(

)()

222αβ

β

ααβ+=-

--

例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α-β2=-19

,sin ⎝⎛⎭⎫α2-β=2

3,其中α∈⎝⎛⎭⎫π2,π,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求cos(α+β).

变式2:π3π33π5

0π,cos(),sin(),4445413

βααβ<<

<<-=+=已知求sin(α+β)的值.

题型3给值求角

已知三角函数值求角,一般可分以下三个步骤:(1)确定角所在的范围;(2)求角的某一个三角函数值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调);(3)求出角。

例3已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-1

7

,求2α-β的值.

变式3:已知tan α=

17,tan β= 1

3

,并且α,β 均为锐角,求α+2β的值.

题型4辅助角公式的应用

()sin cos a x b x x θ+=+

(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由

tan b

a

θ=

确定) 在求最值、化简时起着重要作用。 例4求函数2

5f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间?

变式4(1)如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ= ;

(2)若方程sin x x c -=有实数解,则c 的取值范围是___________. 题型5公式变形使用

二倍角公式的升幂降幂

tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± tan tan tan tan 1

tan()

αβ

αβαβ±=±

例5(1)设ABC ∆中,33tan A tan B tan Atan B ++=,3

4

sin Acos A =,则此三角形是____

三角形

(2)化简1-sin822cos8++

变式5已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B += ; 专题自测

1、下列各式中,值为1

2

的是 ( )

A 、1515sin cos

B 、2

2

12

12

cos sin π

π

- C 、

2

2251225tan .tan .- D 、130

2

cos + 2、命题P :0tan(A B )+=,

命题Q :0tan A tan B +=,则P 是Q 的 ( ) A 、充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件

3、已知3sin 5α=

,tan 0α<则tan()4

π

α-= . 4、=︒+︒

-︒20sin 6420cos 120sin 32

22

5、2sin()2sin()3cos()333

x x x πππ

++---=______________.

6、0

cos(27)cos(18)sin(18)sin(27)x x x x +---+=

7、若25sin 5α=

,310

sin 10

β=,,αβ都为锐角,则αβ+= 8、在△ABC 中,已知tan A 、tan B 是方程3x 2

+8x -1=0的两个根,则tan C 等于 9、

131080

sin sin -= ;

10、

-︒70sin 20sin 10cos 2=

11、(1tan 22)(1tan 23)︒

++=

12、)20tan 10(tan 320tan 10tan ︒+︒+︒︒=

13、(福建理17)在ABC △中,1tan 4A =,3

tan 5

B =. (Ⅰ)求角

C 的大小;

(Ⅱ)若ABC △最大边的边长为17,求最小边的边长.

14、(四川理17)已知0,14

13

)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,

(1)求α2tan 的值. (2)求β.

15、(2008·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 两点的横坐标分别为225

,.105

(1)求tan(α+β)的值; (2)求α+2β的值.

答案:考点自测:1-5BCADD 变式1、3 2、5665 3:4

π

4(1)-2 (2)[-2,2] 5、22-

专题自测:1、C 2、C 3、7- 4、32 5、0 6、22 7、3

4π 8、2 9、4 10、3

11、2 12、1 13、()31π4C = ()22BC = 14、()83147- ()23

π

β= 15(1)—3 (2)

3π4

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