线性变换

第七章 线性变换

[教学过程]

§1 线性变换的定义 §2 线性变换的运算

一、 定义和例子

定义 设V 是数域P 上的线性空间，A 是V 上的变换，如果

P k V ∈∀∈∀,,βα，有

()()()

()()

A A A A k kA αβαβαα+=+⋅=

则称V V A →:为V 上的线性变换。

例1 在R 2中，A 为平面上绕原点逆时钟方向旋转θ角的变换，即

cos sin sin cos x x y y θθθ

θ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭

容易验证A 是V 上的线性变换。

例2 P[x]中，令D （f(x)）=f(x)的导数，容易验证A 是V 上的线性变换,

二、几个特殊的线性变换

1、恒等（单位）变换E ：V E ∈∀=ααα,)(。

2、零变换0：V ∈∀=αα,0)(0。

3、数乘变换k ：V k k ∈∀=ααα,)(。 三、性质：

1、)()(,0)0(ααA A A -=-=。

2、若r r k k k αααβ

+++= 2211，

则)()()()(2211r r A k A k A k A αααβ+++= 。

3 若r ααα,,,21 线性相关，则)(,),(),(21r A A A ααα 也线性相关。 练习：323P 1。

四、记{}()L V A A V =是的线性变换

1 乘法：对()()()()()A B L V AB A B αα∀∈=，，定义可证()AB L V ∈，设A ，B ，C ()L V ∈，有)()(BC A C AB =。

2、定义加法：()()()()αααB A B A +=+，可证()A B L V +∈。 则()L V 也是P 上的线性空间。

（若又有()()CA BA A C B AC AB C B A +=++=+,，则()L V 作成一个环）。 五、逆变换：()A L V ∈若()B L V ∃∈，使E BA AB ==，则称A 是可逆的线性变换，而B 称为A 的逆变换，记为1-=A B ，则1-A 也是可逆的线性变换。

特别地：()E A A n A AA A n ==0,,个 ； ()()0,,,≥==+n m A A A A A mn n

m n m n m ；

()()+--∈=Z n A A n

n ,1。（A 可逆）

六、 ()011a x a x a x f m m m m +++=-- ，A 是线性变换， 则

()E A A a A a A f m m m m 011+++=--

称为A 的多项式且()()f A L V ∈。 作业：234P 3，4。

§3 线性变换的矩阵

一、 给定数域P 上的线性空间V ，n εεε,,,21 是V 的一组基，V ∈∀ξ， 有n n x x x εεεξ+++= 2211，ξ在n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n x x x 是唯一

的。

()V M A ∈，()n n n n A x A x A x x x x A A εεεεεεξ+++=+++= 22112211)(。 这说明：任一向量的象均可被一组基的象线性表出。 （1）、设n εεε,,,21 是V 的一组基，对()，，V M B A ∈若

()()n i B A i i ,,2,1, ==εε。

则B A =。

（2）、设n εεε,,,21 是V 的一组基，对V n ∈ααα,,,21 ，必存在()V M A ∈，

使得()i i A αε=，n i ,,2,1 =。 由以上结论可得

定理：设n εεε,,,21 是V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意向量，则存

在唯一的()V M A ∈，()i i A αε=，n i ,,2,1 =。 二、线性变换在基下的矩阵：

设n εεε,,,21 是V 的一组基，()V M A ∈，基向量的象可被n εεε,,,21

线性表出如下： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n

n n

n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 22112222112212211111

即A A A A A n n n ),,(),,,(),,(212121εεεεεεεεε ==

其中⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a

a a a A

2

1

22221

11211

称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵。 例：[]n P x ={0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- |01,,,n a a a P ∈},

/(())(),D f x f x =求D 在基1，x,…，x n

下的矩阵。

例：22P ⨯中，12()34A X X ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

，求A 在基E 11，E 12，E 21，E 22下的矩阵。

在线性空间三、设()V M 是V 的所有线性变换构成的集合；

()P M n 是数域P 上的所有n 阶方阵的集合。

则存在()V M 到()P M n 上的双射。（证明略） 三、线性变换的性质：

1、线性变换的和对应于矩阵的和。

2、线性变换的乘积对应于矩阵的乘积。

3、线性变换的数乘对应于矩阵的数乘。

4、可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。 四、给定一组基n εεε,,,21 及线性变换A ，把A 在该组基下的矩阵记为

A ，如何通过A 来计算一个向量的象呢？

设()⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=+++=n n n n x x x x x x 21212211,,,εεεεεεξ

所以()()⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n x x x A x x x A A A A 21212121,,,,,,εεεεεεξ 故()⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛n n x x x A A 2121下的坐标为，，

，在εεεξ。 五、同一线性变换在不同基下的矩阵

给定线性空间V 的两组基，n εεε,,,21 ，n ηηη,,,21 及V 的一个线性变换A 。如果A 在这两组基下的矩阵分别为B A ,，而n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵是X ，则有AX X B 1-=。

（证明略） 七、相似：P B A n n n n ∈⨯⨯,，若存在可逆矩阵P X n n ∈⨯，使AX X B 1-=，则