定积分在物理学中的应用

0 .1
W
490 xdx 2 .45 J
0
例2 发射火箭需要计算克服地球引力所 作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭 垂直地向上发射到离地面高H 时，需作 多少功。并由此计算初速度至少为多少 时，方可使火箭脱离地球的引力范围
解 取 ox 轴竖直向上
地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律， mM x 火箭所受地球的引力 f k 2 随火箭发射的高度 x 而变化
M
该小段细杆的质量为 l dx
dF k l dx 2 ( x a)
l
M
m
F k
mM l
( x a ) 2 dx
0
1

kmM a(l a )
若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距 杆 a 处的质量为 m 质点的引力。
解 取坐标系如图 取 x 为积分变量
[ x , x dx ] [ 0 , l ]
沉 没在 水中， 顶在 下，底与 水面 相齐， 试计算 薄板 每面所受的压力 . 六 、 设 有 一 半 径为 R ， 中 心 角为 的 圆 弧 形 细 棒 ， 其 线 密 度 为 常数 ， 在 圆 心 处 有 一 质 量为 m 的 质 点 M ， 试 求 这 细 棒 对 质点 M 的 引 力 .
2
(
1 R

1 RH
) mgR
这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭 离开地面时的初速度为 v 0 1 2 则动能为 mv 0 2 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有
1 2 mv 0 mgR
2
3 2
v0
2 gR
g 9 . 8 10
km s , R 6371 km
代入上式得 v 0 11 . 2 km ——第二宇宙速度 s
F1
l( x a ) mM x ( dF ) x k dx 2 2 2 2 l( x a ) x a
2 2
dF k
mM
dx
F2
l( x a ) x a l mM x kmM 2 2 F1 k dx [ a l a] 3 2 2 l 2 al a l 2 0 ( x a )2
k 2
a .
4
x
R+H
当火箭在地面上 即 x =R 时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg mM 2 k 2 mg , kM gR R 1 2 代入上式 f mgR 2 x 为了发射火箭，必须克服地球引力，
R o
克服地球引力的外力F与 f
大小相等
F ( x ) mgR
2
1 x
2
下面用微元法来求变力所作的功。
取 x 为积分变量 x [ R , R H ] 2 1 dW F ( x ) dx mgR dx 2 x
R H
R RH 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处 H
R
WH

mgR
2
1 x
2
dx
mgR (
2
1

1
)
所须作的功
w
lim w H lim mgR H H
由物理学知道，如果一个物体在常力F 作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ， 物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为： W=F*s
这个公式只有在力F是不变的情况下才 适用，但在实际问题中，物体在运动过程中 所受到的力是变化的。下面我们通过例子来 说明如何利用微元法来求变力所作的功。
例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力， 求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功
b
w
F ( x )dx
a
二、液体的侧压力
由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板， 其面积为A，距液面的深度为 h ，则该薄板的一 侧所受的压力P等于液体的压强 p 与受力面积的 乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是
P pA hA
但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放 置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度 处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算， 需要采用微元法，利用定积分来计算。 例4 设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐， 求闸门一侧所受的压力。
将这一小水柱提到桶口所经过的距离
H y
dw R ( H y ) dy
2
H
w R
2
(H
0
y ) dy

2
R H
2
2
将以上几例的解法一般化 可得 若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿 力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x ) 对物体所作的功为
2 2 2 2
( dF ) y k
mM

a
dx
F2
kmMa l
l

0
1
3
dx
kmM a a l
2 2
( x a )2
2 2
关于定积分在物理方面的应用，除了应熟记 各个公式的结果外，还须了解其推导过程 尤其是如何在具体问题中取“微元”——微 功、微压力、微引力等。这对于从形式到内容 真正地把握公式是非常必要的，相反如果仅满 足于套用公式解决一些简单问题而不求甚解， 那么遇到一些稍有灵活性的问题，便可能束手 无策，不知如何下手。
解 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力 作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长 量 x 之间有函数关系： F=kx k ——弹性系数 由题设 9.8=0.02k k= 490 F=490x
要求的是变力所作的功 用微元法 取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1]
[ x , x dx ] [ 0 ,0 .1]
练习题答案
一 、 800 ln 2 (焦 耳 ). 二、
25 7
2 7
kc 3 a 3 (其 中 k 为 比 例 常 数 ) .
三 、 14373(千 牛 ) . 六、引力的大小为 的中心 . 七、
四、
sin
4

2
2 km R
3
r g .
4
五 、 a b . 6
2
1
,方 向 为 M 指 向 圆 弧
五、小结
利用“微元法”思想求变力作功、 水压力和引力等物理问题．
（注意熟悉相关的物理知识）
思考题
一球完全浸没水中，问该球面所受的总 压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总 压力与它在水中受到的浮力有何关系？
思Hale Waihona Puke Baidu题解答
该球面所受的总压力方向向上（下半球面 所受的压力大于上半球面），其值为该球 排开水的重量，即球的体积，也就是它在 水中受到的浮力．因此该球面所受的总压 力与球浸没的深度无关．
h sin
x0

h x 0 sin , x 0
x 坐标为 x 处液体的深度为 x+dx x sin x b
dF x sin adx
0
b
a
x0 b
F
a sin xdx
x0
a sin [( x 0 b ) x 0 ] 2
该小段细杆的质量为
dF k l dx 2 ( x a)
l
M l
0
dx
m
M
F k
mM l
( x a ) 2 dx
0
1

kmM a(l a )
若把问题改为求细杆对位于它的一端垂线上距 杆 a 处的质量为 m 质点的引力。
x
·
a m
x dx
l
解
如图建立坐标系
[ x , x dx ] [ 0 , l ]
练习题
一 、 直 径 为 20 厘 米 ， 为 80 厘 米 的 圆 柱 体 内 充 满 压 强 为 高 10 牛 3 的 蒸 汽 ， 设 温 度 保 持不 变 ， 要 使 蒸汽 体 厘米 积缩小一半，问需要作多少功？
二 、 一 物体 按规 律 x c t 作 直线运 动， 质的 阻力 与速 媒 度 的 平 方 成 正 比 ， 计 算 物 体 由 x 0 移 至x a 时 ，
3
克服媒质阻力所作的功 . 三 、 有 一 等 腰 梯 形 闸 门 ， 它 的 两 条 底 边 各 长 10 米和 6 米 ， 高 为 20 米 ， 较 长 的 底 边 与 水 面 相 齐 . 计 算 闸 门 的一侧所受的水压力 .
四 、 半 径 为 r 的球沉 入 水 中 ，球 的 上 部 与 水 面 相 切 ， 球 的 比 重 与 水 相 同 ，现 将 球 从 水 中 取 出 ， 需 要 作 多 少 功？ 五 、 一 块 高为 a ， 底为 b 的 等 腰 三 角 形 薄 板 ， 垂 直 地
2 R R
3
y

R t dt
2 2
R
奇函数
2 2
偶函数
4

0
R t dt R
四分之一圆面积
例5 边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成 角 斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处 ，设 a > b 液体的比重为 ，求板的一侧 所受的压力。
解 如图建立坐标系
2 2
1

1 2
ab ( 2 h b sin )
o
y
将以上几例的解法一般化 a 得液体的侧压力的计算公式
b
x
y f (x)
y g( x )
b
P x [ f ( x ) g ( x )] dx
a
x
三、引力
由万有引力定律：两个质量分别为
m1 , m 2
相距为 r 的质点间的引力
定积分在物理学中的应用
前面我们已经介绍了定积分在几何方 面的应用，我们看到，在利用定积分解决几 何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求 量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是 如此，希望大家注意如何写出所求量的微元 ——微功、微压力、微引力等
一、变力沿直线作功
F k m 1m 2 r
2
若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由 于细杆上各点与质点的距离是变化的，所以不 能直接利用上述公式计算。 例6 设有一长为 l 质量为 M 的均匀细杆，另 有一质量为 m 的质点和杆在一条直线上，它到 杆的近端距离为 a ，求细杆对质点的引力。
取 x 为积分变量
[ x , x dx ] [ 0 , l ]
七 、 油 类通 过直 油管 时，中 间流 速大，越靠 近管壁 流速 越 小 ，实验 测定 ，某处的 流 速 v 与 流 处到 管子 中心 的 距 离 r 之间 有 关 系 式 v k ( a r ) , 其 中 k 为比例 常 数， a 为油管 半 径.求 通过 油管 的流 量
2 2
（ 注：当 流速 为常量 时，流 量 = 流速 截 面 积） .
解 取坐标系如图 [ y , y dy ] [ 0 , 2 R ] dP y 2 xdy
2R
o y x y+dy
2
x
P

0
y R ( y R ) dy
2
2R
2
R
( 令 t y R ) 2
R
2
R
t R t dt 2
2
R 2
( t R ) R t dt
四、平均值和均方根
y ba a 1
b
f ( x ) dx
s
ba a
1
b
f ( x ) dx
2
关于定积分的应用说明三点：
1。选择合适的坐标系 2。善于根据问题的性质和要求构造积 分元素，主要是选择好参数，并能正 确地确定出积分限， 3。具体计算定积分时，要特别注意和 充分并且慎重应用对称性及等量关系 以简化定积分的计算，对此，熟悉区 域或曲线的形状，对于解决问题是十 分有益的。
弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ） 的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变 化很小，可近似地看作是不变的（常力）
于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变 力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功 dW F ( x ) dx 490 xdx
例3 半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水， 问将水桶中的水全部吸出须作多少功？
解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸 出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所 以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地 被吸到桶口的
在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体
该水柱重为 R 2 dy