专题 各种力做功问题 -
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[例4]如图3所示，半径为R，孔径均匀的圆形弯管水平放置，小球在管内以足够大的初速度在水平面内做圆周运动，设开始运动的一周内，小球与管壁间的摩擦力大小恒为Ff，求小球在运动的这一周内，克服摩擦力所做的功。
[解析]将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δx，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图4所示，元功W′＝FfΔx，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即W＝∑W′＝Ff∑Δx＝2πRFf。
(2)小球在水平恒力F作用下由P点移动到Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ。
求上述(1)、(2)两种情况下拉力F所做的功各为多大？
[解析](1)将小球“缓慢”地移动，可认为小球一直处于平衡状态，由平衡条件可求得：当轻绳与竖直方向夹角为α时，F＝mgtanα，可见当α由零增大到θ的过程中，F一直增大，小球由P至Q的过程中，动能不变，增加了势能，由于绳的拉力不做功，由功能关系知拉力F做的功数值应与小球增加的重力势能的值相等。故有W＝mgL(1－cosθ)。
功的正、负可直接由力F与位移l的夹角α的大小判断。
2．总功的计算方法
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算。
(2)由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
3．变力做功的计算方法
恒力做功可直接用功的公式W＝Flcosα求出，变力做功一般不能直接套用该公式，求变力做功的方法如下：
(1)将变力做功转化为恒力做功。
①分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。
②微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。
ห้องสมุดไป่ตู้图7
解析：人对绳的拉力的方向时刻在变，是变力，故不能用W＝Flcosα直接求拉力的功。但人对绳的拉力所做的功和绳对物体的拉力所做的功是相等的，物体匀速上升，则绳的拉力恒等于重力。设滑轮距人手的高度为h，则 － ＝l，
人由A运动到B的过程中，重物上升的高度Δh＝ － ，
故人对绳的拉力所做的功W＝mgΔh，代入数据得W≈732 J。答案：732 J
C．摩擦力对小物体做功为 mv2－mgLsinα
D．木板对小物体做功为 mv2
9．某物体同时受到F1、F2两个力的作用，F1、F2跟位移x的关系如图所示，物体从静止开始运动，求物体动能的最大值。
图8
解析：由题图可知，力F1、F2都是变力，且前5 m位移中，F1>F2，物体做加速运动，所以x＝5 m时物体动能最大，设为Ekm，由动能定理得：Ekm－0＝W1＋W2。其中W1为力F1做的功，数值等于F1图线跟坐标轴及x＝5 m所围面积，即W1＝ ×5 J＝37.5 J；W2为F2做的功，数值等于F2图线跟坐标轴及x＝5 m所围面积，即
W2＝－ ×5 J＝－12.5 J，所以Ekm＝37.5 J－12.5 J＝25 J。
答案：25 J
[思路点拨]解答本题时应明确以下两点：
(1)拉力FT的方向时刻变化，为变力。
(2)拉力F的位移大小等于滑轮左侧细绳的长度变化。
解析：人对绳子的拉力F等于FT，FT在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对滑块做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W＝Flcosα直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为l＝l1－l2＝ － ，WFT＝WF＝F·l＝Fh 。答案：Fh
4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为()
A．0B．－Fh
C．－2FhD．－4Fh
③转换研究对象法：如图7 1 5所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功。
1.恒力做功的求法
一个恒力F对物体做功W＝Flcosα有两种处理方法：
(1)W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移lcosα，即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝F·l1＝Flcosα；
(2)W等于力F在位移l方向上的分力Fcosα乘以物体的位移l，即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1·l＝Fcosα·l。
④利用图像法求变力做功。
如图所示，在Fl图像中，若能求出图线与l轴所围的面积，则这个“面积”即为F在这段位移l上所做的功。类似在vt图像中，图线与t轴所围的“面积”表示位移。
5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是()
解析：拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。
物体刚好离开地面时，弹簧的伸长量为Δx＝ 。
可见，物体上升的高度为Δh＝h－Δx＝h－ 。
从而，物体重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝mg 。
弹簧的弹性势能的增加量为ΔEp′＝ kl2＝ k(Δx)2＝ k 2＝ 。
所以，拉力所做的功为
W＝ΔEp＋ΔEp′＝mg ＋ ＝mg 。答案：mg
5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是()
A．( －1)dB．( －1)d
C. D. d
解析：选B在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可先求出平均力、再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝ 1d＝ d，
[答案]20 J
3.如图3所示，长为L的木板水平放置，在木坂的A端放置一个质量为m的小物体，现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成α角时小物体开始滑动，此时停止转动木板，小物体滑到木板底端时的速度为v，则在整个过程中()
图3
A．支持力对小物体做功为0
B．摩擦力对小物体做功为mgLsinα
在变力做功的过程中，当有重力势能、弹性势能以及其他形式的能量参与转化时，可以考虑用功能关系求解。因为做功的过程就是能量转化的过程，并且转化过程中能量守恒。
[例7]如图7所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，
(1)小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ；
4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为()
A．0B．－Fh
C．－2FhD．－4Fh
解析：选C把握好力的方向与位移的夹角是决定做功的正、负的关键。正确答案应为C，很多同学错选A，原因是他们认为整个过程的位移为零，由W＝Flcosα可得WF＝0，造成这一错误的原因是没有掌握公式W＝Flcosα中的F必须为恒力，正确的分析是：物体在上升过程和下落过程中空气阻力都阻碍物体运动，都做负功，所以全过程中空气阻力对物体做功为：WF＝WF上＋WF下＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh。
[答案]2πRFf
[例5]放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其Fx图像如图5所示，求上述过程中拉力所做的功。
图5
[解析]由Fx图像可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W＝ ×(0.6＋0.4)×40 J＝20 J。
A．( －1)dB．( －1)d
C. D. d
(3)利用动能定理或能量的转化与守恒求变力做功
3.一根弹簧的弹力－伸长量图像如图2所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为()
A．3.6 J，－3.6 J
B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J
D．－1.8 J,1.8 J
解析：选CFx图像中梯形的“面积”表示弹力做的功。
W＝ ×0.08×60 J－ ×0.04×30 J＝1.8 J，此过程弹力做正功，弹簧的弹性势能减小1.8 J，故只有C选项正确。
11.如图6所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求拉力所做的功。
(2)当小球在恒力F作用下由P移动到Q时
由公式W＝FLcosα知力F做的功为W＝FLsinθ。
[答案](1)mgL(1－cosθ)(2)FLsinθ
第二次做功W＝ 2d′＝ d′，
联立以上两式得d′＝－( ＋1)d(舍)或d′＝( －1)d。
10．(13分)人在A点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量m＝50 kg的物体，如图7所示。开始时绳与水平方向间的夹角为60°，在匀速提起物体的过程中，人由A点沿水平方向运动了l＝2 m到达B点，此时绳与水平方向成30°角。求人对绳的拉力做了多少功。(g取10 m/s2)
[解析]将小球运动的轨迹分割成无数个小段，设每一小段的长度为Δx，它们可以近似看成直线，且与摩擦力方向共线反向，如图4所示，元功W′＝FfΔx，而在小球运动的一周内小球克服摩擦力所做的功等于各个元功的和，即W＝∑W′＝Ff∑Δx＝2πRFf。
(2)小球在水平恒力F作用下由P点移动到Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ。
求上述(1)、(2)两种情况下拉力F所做的功各为多大？
[解析](1)将小球“缓慢”地移动，可认为小球一直处于平衡状态，由平衡条件可求得：当轻绳与竖直方向夹角为α时，F＝mgtanα，可见当α由零增大到θ的过程中，F一直增大，小球由P至Q的过程中，动能不变，增加了势能，由于绳的拉力不做功，由功能关系知拉力F做的功数值应与小球增加的重力势能的值相等。故有W＝mgL(1－cosθ)。
功的正、负可直接由力F与位移l的夹角α的大小判断。
2．总功的计算方法
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcosα计算。
(2)由W＝Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn，然后将各个外力所做的功求代数和，即W合＝W1＋W2＋…＋Wn。
3．变力做功的计算方法
恒力做功可直接用功的公式W＝Flcosα求出，变力做功一般不能直接套用该公式，求变力做功的方法如下：
(1)将变力做功转化为恒力做功。
①分段法：力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的功。
②微元法：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可。例如，滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小段都是恒力做功，整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和，即力与路程的乘积。
ห้องสมุดไป่ตู้图7
解析：人对绳的拉力的方向时刻在变，是变力，故不能用W＝Flcosα直接求拉力的功。但人对绳的拉力所做的功和绳对物体的拉力所做的功是相等的，物体匀速上升，则绳的拉力恒等于重力。设滑轮距人手的高度为h，则 － ＝l，
人由A运动到B的过程中，重物上升的高度Δh＝ － ，
故人对绳的拉力所做的功W＝mgΔh，代入数据得W≈732 J。答案：732 J
C．摩擦力对小物体做功为 mv2－mgLsinα
D．木板对小物体做功为 mv2
9．某物体同时受到F1、F2两个力的作用，F1、F2跟位移x的关系如图所示，物体从静止开始运动，求物体动能的最大值。
图8
解析：由题图可知，力F1、F2都是变力，且前5 m位移中，F1>F2，物体做加速运动，所以x＝5 m时物体动能最大，设为Ekm，由动能定理得：Ekm－0＝W1＋W2。其中W1为力F1做的功，数值等于F1图线跟坐标轴及x＝5 m所围面积，即W1＝ ×5 J＝37.5 J；W2为F2做的功，数值等于F2图线跟坐标轴及x＝5 m所围面积，即
W2＝－ ×5 J＝－12.5 J，所以Ekm＝37.5 J－12.5 J＝25 J。
答案：25 J
[思路点拨]解答本题时应明确以下两点：
(1)拉力FT的方向时刻变化，为变力。
(2)拉力F的位移大小等于滑轮左侧细绳的长度变化。
解析：人对绳子的拉力F等于FT，FT在对滑块做功的过程中大小虽然不变，但其方向时刻在改变，因此该问题是变力做功的问题。但是在滑轮的质量以及滑轮与绳间的摩擦不计的情况下，人对绳做的功就等于绳的拉力对滑块做的功。而拉力F的大小和方向都不变，所以F做的功可以用公式W＝Flcosα直接计算。由图可知，在绳与水平面的夹角由α变到β的过程中，拉力F的作用点的位移大小为l＝l1－l2＝ － ，WFT＝WF＝F·l＝Fh 。答案：Fh
4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为()
A．0B．－Fh
C．－2FhD．－4Fh
③转换研究对象法：如图7 1 5所示，人站在地上以恒力拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车所做的功。拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但仔细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功。
1.恒力做功的求法
一个恒力F对物体做功W＝Flcosα有两种处理方法：
(1)W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移lcosα，即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝F·l1＝Flcosα；
(2)W等于力F在位移l方向上的分力Fcosα乘以物体的位移l，即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1·l＝Fcosα·l。
④利用图像法求变力做功。
如图所示，在Fl图像中，若能求出图线与l轴所围的面积，则这个“面积”即为F在这段位移l上所做的功。类似在vt图像中，图线与t轴所围的“面积”表示位移。
5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是()
解析：拉力做功，增加了物体的重力势能和弹簧的弹性势能。
物体刚好离开地面时，弹簧的伸长量为Δx＝ 。
可见，物体上升的高度为Δh＝h－Δx＝h－ 。
从而，物体重力势能的增加量为ΔEp＝mgΔh＝mg 。
弹簧的弹性势能的增加量为ΔEp′＝ kl2＝ k(Δx)2＝ k 2＝ 。
所以，拉力所做的功为
W＝ΔEp＋ΔEp′＝mg ＋ ＝mg 。答案：mg
5．用铁锤把钉子钉入木板，设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是()
A．( －1)dB．( －1)d
C. D. d
解析：选B在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可先求出平均力、再用功的计算公式求解。设木板对钉子的阻力F与钉进木板的深度d的关系满足F＝kd，由题意得，第一次做功W＝ 1d＝ d，
[答案]20 J
3.如图3所示，长为L的木板水平放置，在木坂的A端放置一个质量为m的小物体，现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成α角时小物体开始滑动，此时停止转动木板，小物体滑到木板底端时的速度为v，则在整个过程中()
图3
A．支持力对小物体做功为0
B．摩擦力对小物体做功为mgLsinα
在变力做功的过程中，当有重力势能、弹性势能以及其他形式的能量参与转化时，可以考虑用功能关系求解。因为做功的过程就是能量转化的过程，并且转化过程中能量守恒。
[例7]如图7所示，一质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，
(1)小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地移动到Q点，此时悬线与竖直方向的夹角为θ；
4．以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为F，则从抛出点至落回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为()
A．0B．－Fh
C．－2FhD．－4Fh
解析：选C把握好力的方向与位移的夹角是决定做功的正、负的关键。正确答案应为C，很多同学错选A，原因是他们认为整个过程的位移为零，由W＝Flcosα可得WF＝0，造成这一错误的原因是没有掌握公式W＝Flcosα中的F必须为恒力，正确的分析是：物体在上升过程和下落过程中空气阻力都阻碍物体运动，都做负功，所以全过程中空气阻力对物体做功为：WF＝WF上＋WF下＝－Fh＋(－Fh)＝－2Fh。
[答案]2πRFf
[例5]放在地面上的木块与一轻弹簧相连，弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.2 m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4 m的位移，其Fx图像如图5所示，求上述过程中拉力所做的功。
图5
[解析]由Fx图像可知，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功，即W＝ ×(0.6＋0.4)×40 J＝20 J。
A．( －1)dB．( －1)d
C. D. d
(3)利用动能定理或能量的转化与守恒求变力做功
3.一根弹簧的弹力－伸长量图像如图2所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为()
A．3.6 J，－3.6 J
B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J
D．－1.8 J,1.8 J
解析：选CFx图像中梯形的“面积”表示弹力做的功。
W＝ ×0.08×60 J－ ×0.04×30 J＝1.8 J，此过程弹力做正功，弹簧的弹性势能减小1.8 J，故只有C选项正确。
11.如图6所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k。现用手拉住弹簧上端，使弹簧上端缓慢提升高度h，此时物体已经离开地面，求拉力所做的功。
(2)当小球在恒力F作用下由P移动到Q时
由公式W＝FLcosα知力F做的功为W＝FLsinθ。
[答案](1)mgL(1－cosθ)(2)FLsinθ
第二次做功W＝ 2d′＝ d′，
联立以上两式得d′＝－( ＋1)d(舍)或d′＝( －1)d。
10．(13分)人在A点拉着绳，通过一定滑轮吊起一质量m＝50 kg的物体，如图7所示。开始时绳与水平方向间的夹角为60°，在匀速提起物体的过程中，人由A点沿水平方向运动了l＝2 m到达B点，此时绳与水平方向成30°角。求人对绳的拉力做了多少功。(g取10 m/s2)