2.5 泊松方程和拉普拉斯方程

因球外无电荷，则空间电位满足拉普拉斯方程
1 d 2 dϕ ∇ ϕ = 0 球坐标系中 2 (r ) =0 r dr dr dϕ C1 2 dϕ 即 r = C1 ⇒ = 2 dr dr r
2
第二章 静电场
2
C1 而 r = a时 , ϕ = U 0 = − + C2 a
C1 ∴ ϕ = − + C2 r
2
ρ(0 s )
E(x)
ρ(d) s
Leabharlann Baidu
ρ0 x
d
x
U 0
x=d
2 2
φ=U 0
2
d
0
φ=φ(x)
ρ0 x ∂φ d φ 则∇ φ = 2 = 2 = − ∂x dx ε 0d
dφ ρ0x2 =− +C 1 dx 2ε0d
第二章 静电场
dφ ρ0x =− +C 1 dx 2ε0d
2
ρ0 x3 + C1x + C2 φ =− 6ε0d
第二章 静电场
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
静电场的基本方程: 无旋： 有散
∫
c
r r E ⋅ dl = 0 r r D ⋅ ds =
r ∇ × E = 0 r ∇ ⋅ D = ρ
s
∫
∑q
积 分
微 分
线性、各向同性电介质 本构关系：
r r r r r D = εE = ε 0 ε r E = ε 0 E + P
x =0
φ =0
C2 = 0
C1 = U0 ρ0d + d 6ε0
x=d
3
φ=U 0
ρ0x U0 ρ0d ∴ φ=− +( + )x 6ε0d d 6ε0
故
r E = −∇ φ
r r ρ0x2 U0 ρ0d E = ax ( − − ) 2ε0d d 6ε0
第二章 静电场
运用泊松方程和（ 运用泊松方程和（或）拉普拉斯方程可以求解静电 场的边值问题。所谓“边值问题” 场的边值问题。所谓“边值问题”，是指在一定的边界 条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程， 条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程，具体解法在第五 章介绍。 章介绍。 在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解， 在某些特殊的情况下可以直接用积分的方法求解， 这些特殊情况包括： 这些特殊情况包括： 呈完全对称分布； １、求借电位φ呈完全对称分布； 求借电位 呈完全对称分布 ２、无穷大边界面（如点电荷电场） 无穷大边界面（如点电荷电场） 除上述情况外均须用其它方法求解。 除上述情况外均须用其它方法求解。
求解泊松方程（或拉普拉斯方程）：
r （Q E = −∇φ）
若已知
给定电荷分布，求解其方程得
r φ ⇒ E
r r E、 ⇒ ρ D
第二章 静电场
例：导体球的电位为U，球半径为 a ， 求球外的电位。（假定无穷远电位为0） 解：显然，导体球的电荷分布在球面上， 且呈球对称，故空间的电位也呈球对称， 仅是r 的函数。取球坐标系。
拉普拉斯方程：
若静电场中无电荷分布时，即 则泊松方程为：
ρ =0
φ 的拉普拉斯方程
∇ φ =0
2
拉普拉斯算符 ∇ 2：
∇ = ∇⋅ ∇
2
标量算符
第二章 静电场
拉普拉斯算符在各坐标系中的表示式：
直角坐标系：
∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∇ 2φ = + + 2 2 ∂x ∂y ∂z 2
2 2 2
柱坐标系：
第二章 静电场
泊松方程和拉普拉斯方程：
泊松方程：
∵ 静电场为无旋场，故可引入一标量电位φ 来描述之。 而 将
r ∇⋅ D = ρ
r r D = εE 及
r ∇ ⋅ εE = ρ
r E = −∇ φ
r ρ ∇⋅E =
代入上式中
即
ρ ∇ ⋅∇φ = − ε ρ 2 ∇ φ =− ε
ε
φ
的泊松方程
第二章 静电场
1 ∂ ∂φ 1 ∂ φ ∂ φ ∇φ= (r ) + 2 2 + 2 r ∂r ∂r r ∂ϕ ∂z
球坐标系：
1 ∂ 2 ∂φ 1 ∂ ∂φ 1 ∂ 2φ ∇ φ = 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 ∂r ∂θ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2
2
第二章 静电场
dϕ dϕ C1 r = C1 ⇒ = 2 dr dr r
r = ∞时, ϕ = 0 = C 2
C1 = −aU 0
故
aU0 ϕ= r
第二章 静电场
例：用解泊松方程的方法重求上例的电场强度。
ρ 解： 泊松方程 ∇ φ = − ε0 为 ρ0 x 2 0 x <d ∇ φ = − ε 0d < φ =0 x =0