第三讲 DPS应用(4、数学模型模拟分析)

左下“回归方程”旁边 的编辑框中给出该方程 参数估计表达式，回归 方程式下面是各个参数 缺省初始值。
一、非线性回归模型
1.
一元非线性回归模型

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在拟合过程中，可根据数据拟合图中实际观察值和拟合曲线的 拟合情况、确定系数R2 大小及显著水平高低来选择合适的模 型，最后点击“输出结果”按钮，将详细结果输出到电子表格 并返回编辑状态，返回的计算结果包括方差分析表、系数ci 的 协方差阵、系数ci 的相关阵、参数拟合值及其标准误差、t 测 验值和相应的显著水平，最后给出各样本因变量的观察值、拟 合值、拟合误差、标准残差、cook 距离和杠杆率H，供进一步 进行模型诊断使用。 如需保存数据拟合结果图，可在图形上双击鼠标，这时会弹出 图形保存界面即可将图形保存下来。如需修改回归方程，可以 在回归方程编辑框中对回归方程式进行修改。如果拟合效果不 好或拟合不成功，可以在参数初始值编辑框中修改有关待估参 数的初始值，然后再执行参数估计运算。
例：为研究家畜在高电压下对电震 一、非线性回归模型 的反应，国外有人做了一批实验， 拟合模型时，首先编辑定义数据块
实验中共试用7头奶牛，每头奶牛 和公式块；选择“数学模型→单因变 量参数估计→二值变量参数估计”， 对不同电震强度的6个等级都随机 系统就会给出结果。 地做实验。其中第1列为电震强度 所建立的模型经卡方统计检验， 的6个等级，第2列为每一个电震强 Pearson卡方统计量等于7.583，小 度在7头奶牛上所做实验次数的总 于x2(0.05)=9.488，表明经验方程的 和，第3 列为第2 列受试奶牛中发 拟合效果很好。 生反应的次数。
二、数学模型模拟与优化

经过精心设计且实施的科学试验，获得试验数据后，再 根据不同分析方法，如用回归分析技术、正交回归设计 等技术而建立起经验模型，到此步骤并不代表着统计分 析工作的结束。这时，需更进一步对模型进行系统的分 析，从各个角度解析模型，以期能用所建立的经验模型 对若干问题给出合理特别是定量的解释。例如在正交回 归试验建立模型之后，就应通过对该模型的分析确定多 项农艺措施对其目标函数(一般为产量)的最优农艺措施 的组合方案以及各项农艺措施对产量影响的重要程度； 又如在肥料对产量影响效应的分析中，需要考查肥料对 产量影响的边际效应，等等。
二、数学模型模拟与优化
1. 模型模拟分析
将上式
选择“数学模型→模拟分析→连续数学模拟分析”
二、数学模型模拟与优化
1. 模型模拟分析
二、数学模型模拟与优化
1. 模型模拟分析
二、数学模型模拟与优化
2. 模型参数灵敏度分析


建立数学模型的主要目的之一是增进我们对系统的了解，而模型参 数的灵敏度分析是对数学模型的参数动态变化过程，即瞬时变化过 程进行分析。因此，通过模型参数的灵敏度分析可以明确哪些参数 对系统的总体输出和动态影响较大。 例如，研究产量随某种肥料用量变化的规律，求出的肥料反应经验 方程为y = 3x + 2x2 − 0.1x3，根据该方程进行模型的灵敏度分析， 先按下图的方式编辑定义公式：

然后选择“模型参数变化速率分析”菜单，执行后系统即输出分析 结果，包括灵敏度、导数(偏导数)、平均效应及目标函数的计算结 果：
分析结果可以作出如下解释：
第1 阶段，灵敏度大于1，这时的边际产量大于平均效应产量，且平均产量 效应是增加的，当肥料投入量达到10 个单位时，平均效应产量达到最高点。 该点的x 值约为10。 第2 阶段，灵敏度小于1 但仍大于0，目标函数在该阶段的终点达到最大值， 而边际效应值下降到0。这时的投入x 约为14。 第3 阶段，灵敏度小于0，目标函数趋于下降，平均效应虽为正值，但边际 效应为负。


这是一个在分析过程中，需要给出各个参数初值才能进 行有效拟合的例子。 例：根据106 个岱字棉单株纤维长度的次数分布的组值 (X)和次数(Y)资料(莫惠栋1984)编辑整理。经分析两 者间关系呈对称状态，可用指数型非线性方程表示为：
y a e
b
x c 2
一、非线性回归模型
分析时，进入菜单，选择 “数学模型→单因变量参 数估计→麦夸特法”后， 按回车进入分析提示界面， 经迭代系统拟合运算可成 功地获得拟合结果
二、数学模型模拟与优化
1. 模型模拟分析

例： 范志杰等人(1990)运用5 因素2 次正交旋转回归设计方法， 研究影响地膜棉花优质高产的密度、播期、追施氮肥量、化控量及 其果枝数等农艺措施之间的关系，获得了棉花产量形成的函数模型：

式中x1 为密度，x2 为播期，x3 为施用尿素量，x4 为施用缩节安 的数量，x5 为果枝数。并分析了各项农艺措施对产量的交互作用 效应。在此我们试根据该模型对播期和施用尿素量的交互作用效应 进行研究(其它可仿照)。

DPS 系统为用户提供了通用的建立数学模型工具。用户完全可以 根据自己的需要自定义模型。自定义模型可以是单因变量的线性 回归模型或非线性经验模型，也可是包含多个因变量的联立线性 回归模型或非线性模型方程组。这些线性和非线性模型可以是差 分模型，也可以是对各个变量进行加权处理后产生的模型。只要 用户能够自己定义出模型，就可以在DPS 系统支持下进行模型模 拟和参数求解。
二、数学模型模拟与优化
3. 模型优化
例： 崔海信(1987)对黄瓜产量(y)与氮肥(x1)、磷肥 (x2)和钾肥(x3)三种肥料的关系进行了二次通用组合设 计的模型试验，根据试验结果有经验模型： y = 28735+909.9x1+285.1x2+394.6x3-250x1x2259x1x3-188.5x2x3-2079.5x1x1-576.4x2x2266.4x3x3 欲建立肥料效应函数的最优模型，根据约束条件有 -1.682≤xi ≤1.682，求最高产量即求上述模型的最大 值。 在 DPS 平台上解这个问题只需按下图定义公式块即可。
一、非线性回归模型
选择Logistic 曲线后，回归方 程编辑框中给出回归方程式和 参数初始值为。这时，点右下 部“参数估计”按钮，系统就 根据该回归方程式和系统给出 的初值执行参数估计运算，并 得到计算结果(图)。
一、非线性回归模型
可以看出：当为如下理论回归模型时，观察值数 据点和拟合曲线高度吻合、确定系数R2 较大(可解 释因变量变化的99.44%)，回归方程统计检验达 极显著水平(p<0.001)。因此，本例应用 Logistic 曲线来拟合的效果很好。 这时可点“输出结果”按钮，将详细结果输出到 电子表格并返回编辑状态。 如果拟合效果不好，可选用其它的曲线类型，或 更改参数的初始值后重新拟合，并从中选择一个 较优的模型。
第四章 数学模型模拟分析


要建立适合各学科特点的定量数学模型，仅用线性回归分析方法 是远远不够的。这是因为变量间的关系的形式多样，例如温度与 昆虫发育速率的关系呈S 形曲线，描述植物病害复利增长过程的 逻辑斯蒂曲线，还有诸如施肥量与产量之间、光照度与光合作用 效率之间、药剂浓度和害虫死亡率之间的关系等等，都绝非仅仅 是线性关系的问题。 一种非线性数学模型的选择往往需要结合有关专业知识及学科特 点。例如根据所研究物种的生物学性状和生态学规律选用合理的 数学模型，使所建经验模型符合一定的生物学规律，又回到生物 学研究中帮助人们认识更深层次的生物学问题。由于事物矛盾运 动的普遍性和特殊性，非线性回归模型的形式很多。现有的生物 统计书一般在介绍非线性回归模型时，只是列举一些虽然经常遇 到、但多为两个变量间的简单非线性回归模型。这样的模型实际 上仅占生物学研究中有可能被应用的非线性模型的极少部分。
一、非线性回归模型
2. 非线性回归分析
（1）普通非线性模型

例：研究“岱字棉”自播种至齐苗(以80%出苗 为准)期的天数(Y)和日平均土温(X，℃)的关系， 经试验得到数据后欲建非线性经验模型(莫惠栋 984)。 根据有效积温模型，描述自播种至齐苗期 天数和日平均土温相互关系最直观的回归方程的 数学表达形式为：
一、非线性回归模型
1.
一元非线性回归模型

实例：



先输入数据：行为样本， 列为变量；定义数据块时 要注意一元非线性回归只 允许定义2 列数据：第一 列为自变量，第二列为因 变量。 以测定的某种肉鸡在良好 生长条件下生长过程数据， 建立Logistic 生长方程为 例。 定义数据块(图阴影区)。
二、数学模型模拟与优化
二、数学模型模拟与优化
3. 模型优化



所谓数学模型优化，就是寻求在什么条件下，模型的 目标函数达到最大(或最小)，即求函数的极值问题。 生产实践中的所谓优化问题，只要经验模型的目标函 数有明显的表达式，一般可用微分法、变分法、最大 (最小)值原理等方法求解，叫做间接寻优。如果目标 函数表达式过于复杂甚至根本没有明显的表达式，则 用数值方法或“试验最优化”等直接方法求解，叫做 直接寻优。 DPS数据处理平台模型寻优采用的是经改进后的加速 单纯形方法。
一、非线性回归模型
2.
非线性回归分析
（3）二值反应变量模型参数估计 在试验或抽样调查中，试验数据呈二值(0 或1)反应变量 的情形颇为常见，如小麦种子发芽试验分为发芽和不发芽， 水稻某种病菌侵染表现为发病和不发病，杀虫剂毒力测定 试验中表现为试虫的死亡和存活等，病情的轻、重等，这 类变量均属离散型二值反应随机变量。对此类资料的统计 分析与模拟，直接使用前面所述的回归或非线性回归分析 方法显然是不妥当的，因为其误差并不与0 或1 相对应。 对这些数据需用二值反应变量非线性模型来分析模拟。
一、非线性回归模型
1.
一元非线性回归模型

实例：

选择“数学模型→一元非线性回归模型”功能项，系统首先用直 线回归方程去拟合出当前数据，得到直线回归方程的拟合结果后， 再进入用户操作界面(图)。
一、非线性回归模型
1.
一元非线性回归模型 实例： 如果两变量之间是直线关系，原始数据和理论曲线的拟 合得很好，确定系数较高，统计检验也达到显著水平， 那么就可以当前结果作为最终结果，点击“输出结果” 按钮，完成数据分析过程。 如果原始数据x-y 散点分布图显示两者关系为非线性关 系，则需要根据数据点的分布，选择适合的非线性模型。 如本例数据点的分布表明2 个变量不是直线关系，而是 呈Logistic 曲线形式，因此可选择Logistic 曲线来拟合 (图)。
一、非线性回归模型
建模界面的左上部是建模原始数据的x-y 散点分布图，可以根据数据点的 分布状况，结合专业知识，选择合适的模型种类。 右边是模型选择框：可 以在此选择模型的种类。
一、非线性回归模型 选定模型后，就可以直接点击右
下部“参数估计”按钮，执行参 数估计运算，并得到试验数据拟 合当前回归方程的计算结果：左 上部绘制出数据拟合经验曲线， 且叠加显示在原来原始数据的x-y 散点分布图上面；右下部显示几 个主要的拟合指标，即决定系数 (R2)、回归方程F 检验值及其显著 水平。
定义公式时，如果不给初值就进行参数拟合分析， 那么无论是用麦夸特法还是用加速单纯形法，拟合 结果都不收敛，因此必须给出各个参数的初值。显 然，本例的对称点在x 为29~30 处，故参数c3 的 初值应取30 为宜。将参数的初值c1=0.01， c2=0.01，c3=30 放在公式块的第2 行，并按图 阴影处的方式定义公式块之后就可进行分析了。
Y = a/(X-b)
一、非线性回归模型
1.编辑和定义数据块、公式块 2.选择“数学模型→单因变量参数估计→麦夸特法”
3.按回车键即刻进入分析提示界面，在 屏幕右边显示当前各参数估计、拟合误 差的动态信息，并有文字提示。
本例中，用麦夸特迭代模拟方法成功地 给出拟合结果。
一、非线性回归模型
2. 非线性回归分析 （2）含有指数或某些函数的非线性模型
一、非线性回归模型
1.

一元非线性回归模型
非线性回归分析模型中最常见的是建立两个变量之间函 数关系的一元非线性回归模型。DPS 数据处理系统为引 导用户快速地掌握非线性回归建模技术，对一元非线性 回归模型参数估计过程，提供了非常方便而直观的用户 界面。该界面提供了26 种常用且较典型的一元非线性回 归方程供用户选用(下表)。应用这些非线性回归方程建 立模型时，系统不需要使用者写入公式即可进行参数估 计。但如果你认为这些回归方程式不能完整地表达你所 构思的模型，也可以在这些回归方程式的基础上，进行 修改、扩充，衍生出适合要求的新的回归方程。