金融数学第一章练习题详解

金融数学第一章练习题详解第1章利息度量

现在投资$600，以单利计息，2年后可以获得$150的利息。如果以相同的复利利率投资$2000，试确定在3年后的累积值。

600i ?2 150 i 12.5%

2000(1 12.5%)32847.65

在第1月末支付314元的现值与第18月末支付271元的现值之和，等于在第T 月末支付1004元的现值。年实际利率为5% o求T。

1004v T/12314v1/12271v18/12

其中v t (1 i) t (1 5%) t 1.05 七

1.05 T/12(314 1.05 1/12 271 1.0518/12)/1004 0.562352

两边取对数，T ln1.05 In 0.562352

12

T In 0.562352/1n1.05 12 141.58

在零时刻，投资者A在其账户存入X,按每半年复利一次的年名义利率i计息。同时, 投资者E在另一个账户存入2X,按利率i （单利）来计息。假设两人在第八年的后六个月

中将得到相等的利息，求i °

A的半年实际利率为f, A: X（（1扌）16（1专）15）B:2X

i 16 i 15

X((1 2)16 (1 -)15) Xi

（1扩2

两边取对数

1/15

i (2 1) 2 0.094588

名义利率S累积n年，累积值将成为。求n o

In 1 i

a(t) (1 i)t e t e27.72 2

ln 2/27.72 0.025

・0.5

i

(1 2 )n/27.04

n (In 7.04/ln1.05) 2 80Xi

(1 ；)16(1 i、15

2)

(2)15?2

一项投资以s的利息力累积，年后将翻番。金额为1的投资以每两年复利一次的

如果年名义贴现率为 6%,每四年贴现一次，试确定 $100 在两年末的累积值。

100(1 4

6%) 1/4

114.71 如果 i

(m)

d (m )

，试确定

d m

d m

d m

d m d m I m ?d m

2

m I m ?d m

m

I m ?d m 0.1844144

m 0.1802608 o -------------- 8 I d m

0.1844144 0.1802608

基金A 以每月复利一次的名义利率 12 %累积。基金 B 以t = t / 6的利息力累积。在

零时刻，分别存入 1到两个基金中。请问何时两个基金的金额将相等。

t

12t

t/6dt

1 12%/12

e 0

t 2

/12

e

两边取对数,12tl n1.01 t 2/12 t 144 In 1.01 1.43

金B 在零时刻和 n 时刻相等。已知

a>g >0

t

(a bt)dt

(at

1

bt 2)

a(t)

e 0

e 2

t

(g ht)dt

(gt ”)

b(t) e 0 e 2 a(0) b(0),a( n) b(n)

an 丄bn 2 gn 】hn 2

2 2 n

2(g a)

B 以t = g+ht 的利息力累积。基金A 与基 ，h > b > 0。求 n 。

基金A 以 t = a+bt 的利息力累积。基金 b h

在零时刻将100存入一个基金。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率支

1

付利息。从t = 2开始，利息按照 t

的利息力支付。在

t = 5时，存款的累积值为

1 t

260。求 3。

指前两年内的年名义贴现率

100(1 /4)-42 e A

260

100(1

/4)-4 2

(l n6

e

ln3)

260

-1/8

4 1 260/(100 2) 0.1290

1+t 2。请问在何时，两笔资金的利息力相等。

2t

FT

已知利息力为

t —。第三年末支付 300元的现值与在第六年末支付 600元的现

1 t

值之和，等于第二年末支付

200 兀的现值与在第五年末支付

X 元的现值。求

X

丄dt

a(t) e 01 t

严)(1

t)2 a 1

(t) (1

t)

2

1

300 a ⑶ 1

600 a (6) 200 1

a (2) X

a 1(5)

X (300

(1 3) 2 600 (1

6) 2 - 200 (1 -2

2)2)/((1

5) 2) 315.82

已知利息力为 t 3 100 请求a 1

(3)。 a 1(3) 313

dt e 0100

1/400 (34 0) e 81/400 0.2025 e 0.8167 资金A 以10%的单利累积，资金 利息力相等。 B 以5%的单贴现率累积。请问在何时，两笔资金的 A:a(t) (1 10%t) 1 0.1t

0.1

1 0.1t 1

B:a 1(t) (1 5%t) 1 0.05t a(t) (1 0.05t) 0.1 0.05 1 0.1t

1 0.05t

2-0.1t

1 0.1t

0.05

B

1 0.05t

t 5

在基金A 中，资金 1的累积函数为 t+1 , t>0 ;在基金 B 中，资金 1的累积函数为

1 2t t 1 1 t 2

2 —

t 2t 1

0 t 、2 1 0.41