北师大版数学高一-必修4学案 3.3二倍角的三角函数第1课时

§3 二倍角的三角函数 第1课时 倍角公式

问题导学 1．利用公式求值

活动与探究1 (1)求cos

π12·cos 5π12

的值； (2)已知sin α＝5

13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值； (3)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2

6⎝⎛⎭⎫0<α<π2，求sin 2α．

迁移与应用 1．求下列各式的值： (1)sin 75°·cos 75°；

(2)⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π

12． 2．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，求cos 2θ的值．

利用二倍角公式求值的注意要点：

(1)在利用二倍角公式解决这类问题时，要充分挖掘题目中各角之间的关系，如角2α，π2＋2α分别是α，π4＋α的二倍角，角π4＋α与π

4－α互余等，是顺利求值的关键．(2)(sin α±cos α)2＝1±sin 2α是常用结论，应扎实记忆．(3)当遇到π4±α这样的角时可利用互余角的关系和诱

导公式，将条件与结论沟通．cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α·cos ⎝⎛⎭⎫π4－α．类似这样的变换还有：

cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π

4＋α， sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π

4－α－1， sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫π

4＋α等等． 2．利用公式化简求值

活动与探究2

(1)化简：cos 20°cos 40°cos 80°； (2)若180°＜α＜270°， 试化简

12＋1

2

12＋1

2

cos 2α； (3)求(tan 10°－3)sin 40°的值．

迁移与应用

2sin 2α1＋cos 2α·cos 2α

cos 2α

＝( )．

A ．tan α

B ．tan 2α

C ．1

D ．1

2

在运用二倍角公式化简求值时应注意： 1．明确式子结构，观察角与角之间的关系

当单角是非特殊角，而其倍角是特殊角时，常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值；当式子中涉及的角较多，要先变角，化异角为同角；对根式形式的化简，以去根号为目的，化简时注意角的范围．

2．灵活选取公式形式

主要逆用公式形式：2sin αcos α＝sin 2α；cos α＝sin 2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－

2sin 2α＝cos 2α；2tan α

1－tan 2α

＝tan 2α．

主要变形用公式形式：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos 2α＝2cos 2α；1－cos 2α＝2sin 2α；cos 2α＝

1＋cos 2α2；sin 2

α＝1－cos 2α

2

． 3．利用公式研究三角函数的性质

活动与探究3

已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－1

2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0＜φ＜π)，其图像过点⎝⎛⎭⎫π6，12． (1)求φ的值；

(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标缩短到原来的1

2，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )

的图像，求函数g (x )在⎣⎡⎦

⎤0，π

4上的最大值和最小值．

迁移与应用

已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＋2cos 2x ，x ∈R ．求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．

解答此类综合题的关键是利用三角函数的公式将f (x )化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后借助于三角函数的图像及性质去研究f (x )的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．

当堂检测

1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数 2．1－sin 20°＝( )．

A ．cos 10°

B ．sin 10°－cos 10°

C ．2sin 35°

D ．±(sin 10°－cos 10°) 3．已知f (tan x )＝tan 2x ，则f (2)＝__________． 4．函数y ＝sin 4x －cos 4x (x ∈R )的最小正周期为( )． A ．π

2 B ．π C ．2π D ．4π

5．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x

sin x ．

(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．

课前预习导学

【预习导引】

2sin αcos α β＝α cos 2α－sin 2α 2cos 2α－1 1－2sin 2α β＝α sin 2α＋cos 2α＝1 消去sin 2α或cos 2α

2tan α

1－tan 2α

β＝α

预习交流1 提示：倍角公式在运用时不只局限于2α是α的2倍的情况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，α2是α4的二倍角，α3是α

6

的二倍角等．

预习交流2

提示：降幂扩角公式：cos 2α＝

1＋cos 2α

2

； sin 2

α＝1－cos 2α

2

.

升幂缩角公式：1＋cos 2α＝2cos 2α； 1－cos 2α＝2sin 2α. 预习交流3 (1)B (2)C (3)－

725 (4)－2425

课堂合作探究 【问题导学】

活动与探究1 解：(1)原式＝cos π12·sin π12＝12sin π6＝1

4

. (2)法一∵sin α＝5

13，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α

＝－1213

，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝－120

169，

cos 2α＝1－2sin 2α＝119

169，

tan 2α＝－120

119.

法二∵sin α＝5

13

∴cos 2α＝1－2sin 2α＝119

169，

又∵α∈⎝⎛⎭⎫

π2，π，