排队系统分析

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首先可证,逗留时间W 服从参数为 的负指数分布, 而负指数分布的均值等于其参数的倒数,故平均逗留时间 W
s

1
平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间,即 1 W q W s

(3)上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls W s Lq W q
Ls Lq
“我就现在办!”一位又高又瘦的顾客冲着窗口里面的服务员高声叫 喊着。随着这声叫喊,本来就不平静的营业大厅荡起一阵骚动。“你是普 通卡,请您换取‘人民币业务’号排队”,胸前挂着“营业经理”标示牌 的女士耐心地解释着。“有什么用,我原来取的是‘人民币业务’197号 ,已经等了40多分钟,鬼才知道还要等多久。最令人可气的是,别人一 刚进来就办手续,这平等吗。我就现在办!”这位顾客涨红着脸。营业经 理坚决地说,“现在叫的是‘金卡’号,现在请您等候,您不能影响银行 的工作。”经理的这句话显然激怒了这位顾客,甚至说出过激的话语: “… …,我就现在办,谁来也没用。”
假若T表示某种电子元件的寿命,则当元件已使用了t0时间后估 计它还能再使用t 时间的概率,与刚开始用时的概率一样。说明这种
元件是高度耐磨损的。
二. 服务的规律
主要讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形,参数为 ,即
由于v 的均值为
1
e t , t 0 fv (t ) t 0 0,
种瓜
散客户等的时间少了 VIP客户等的时间也少了
没有得瓜
散客户不满意
VIP客户也不满意
排队系统分析
(Queueing Systems Analysis)
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C排队模型 M/G/1排队模型 排队系统优化
引导案例
案例文本
这家银行为什么种瓜没有得瓜?
“本营业所已搬到马路对面ZX路××号,给您带来了不便,敬请 谅解,……”梁大爷读着这则通知,微微点点头,“这下好了,这下 好了,以后存钱、取钱、交话费再也不用穿行这条让人堵心的马路了 。” 一走进新的营业大厅,梁大爷就在工作人员的引导下取号,就座 等候。与老储蓄所相比,这里不用站着排队。营业大厅宽敞明亮、窗 明几净,新装的银灰色座椅干净整齐。窗口增加了,一米警戒线没有 了,顾客是坐在服务台前的转椅上办理手续的。“这里的环境真是太 好啦!我得尽快告诉邻居。”梁大爷脸上绽出了灿烂的笑容。
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间:一个顾客在系统中的停留时间,记为W,其均 值记为Ws。
等待时间:一个顾客在系统中排队等待的时间,记其均值为 Wq 。
第二节
到达与服务的规律
一.到达的规律
到达间隔(时间) 描述顾客到达规律可从两方面 到达数(人数)
现实中有许多服务系统,其顾客的到达具有下述特征: (1)无后效性:任一时段的到达数不受前一时段的影响; (2)平稳性:顾客到达是均匀的;(3)稀有性:瞬时内 只可能有1个顾客到达。 称具有上述特征的输入为泊松流,其在 t 时段内到达n 个顾客的概率为 (t ) n t Pn (t ) e , n 0,1, n! 即参数为 t 的泊松分布。
第一节
排队的基本概念
一. 排队系统的组成
顾 客 源
到达
队列
服 务 机 构
离去
现实世界中形形色色的排队系统
到达的顾客 不能运转的机器 修理技工 电话呼唤 要求服务的内容 修理 领取修配零件 通话 服务机构 修理技工 发放零件的管理员 交换台
1. 输入过程
(1)顾客源:分为 • 无限

(如电话呼唤)
这家银行为什么种瓜没有得瓜?(续)
随着事态的发展,顾客们由窃窃私语变成了对这位顾客的声援,大 家你一句,他一句,七嘴八舌:“你们就是不对,办理同样的业务,有 钱人就可以与别人不同吗?”“你们这是在为谁服务?”“如果这样下 去,我们就不会再来了。” 更出乎大家意料的是,一位储蓄所工作人 员扔出一句骂人的话,然后,重重地摔上门,溜进后台。“她在骂人, 把她揪出来!”“她的号码是多少,向总行反映。”“这丫头我是认定 她了,除非她不露面。”一时间,场面极度混乱,令人目不忍睹…… 讨论问题 1、这家银行如何解决出现的具体问题:能否立即为他办理手续?
1 解:此为标准的M/M/1模型, 4人/小时, 人/分钟 10人/小时, 6 2 。 5 3 (1) P0 1 ;
5 2 3 (2) P3 3 (1 ) ( ) 3 ( ) 0.0384; 5 5 2 (3) 1 P0 ; 5 4 2 (4) Ls (人/小时) ; 6 3 1 1 (5) W s Ls (小时/人) ; 6 2 2 4 (6) Lq Ls (人/小时) ; 3 5 15 1 1 1 1 (7) W q W s (小时/人) ; 6 10 15
(2)由平衡方程解得状态概率
由平衡方程
P0 P1 Pn 1 Pn 1 ( ) Pn , n 1
P0 1 P ( ) n (1 ), n 1 n
可解得状态概率:

,称为服务强度,规定 1(为什么?),则 P0 1 n P P0 n
2、这家银行服务质量有问题吗?如果有,存在什么问题?
3、这家银行选址规划有问题吗?如果有,存在什么问题? 4、这家银行的设施布置有问题吗?如果有,存在什么问题?
5、这家银行的排队系统设计有问题吗?如果有,存在什么问题?
引导案例
6
VIP专柜 银行窗口
……
3
2
1
引导案例
6
……
3
2
Biblioteka Baidu
1
银行窗口
引导案例
由概率论知识可知,泊松分布的参数即其均值。因此,
的含义是单位时间到达系统的平均顾客数,即到达率。
下面考察,当顾客按泊松流到达时,其到达的间隔时间 T 是服从什么分布呢?
因为到达为泊松流,所以,t时段内没有来顾客的概率为
(t ) 0 t P0 (t ) e e t , 0!
所以, t时段内有顾客到来(即间隔T
3.服务机构
1 (1)服务台个数 C 1
(并列多台)
(2)服务规律:指服务时间 v 的分布
分为 • 定长 D
• 负指数 M
• k阶爱尔朗 Ek
• 一般分布 G
二. 排队模型的表示
用记号(X/Y/Z/A/B/C)表示,其中 X:顾客到达时间间隔的分布 Y:服务时间的分布 Z:服务台个数 A:系统容量 B:顾客源数量 C:服务规则 例1 (M / M / 1 /
• 有限 m (如车间里待修理的机器) (2)到达规律:指到达间隔时间T 的分布 分为 • 定长 D • 负指数 M • k阶爱尔朗 Ek
2. 排队规则
(1)损失制 指顾客到达时若所有服务实施均被占用,则 顾客自动离去。 (2)等待制 指顾客到达时若所有服务实施均被占用,则留 下来等待,直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为 • 先到先服务(FCFS) • 后到先服务(LCFS) (3)混合制 分为 • 系统容量有限制 • 等待时间有限制
n


1


Lq ( n 1) Pn nPn Pn Ls (1 P0 )
n 1 n 0 n 1



Ls
——因为是均值。
其中 1。 问题:为什么Ls Lq 1(而不是 1 )呢?
(2)Ws与Wq
,即平均对每位顾客的服务时间为
1
参数
的含义:服务率,即单位时间平均服务完 人。


,可得
注:负指数分布的一般化——爱尔朗分布,可用于描述由k 道程 序组成的1个服务台的服务时间的分布。
第三节
M/M/1排队模型
一.标准的M/M/1模型(M/M/1/ / )
1.问题的一般提法
设:泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求:(1)系统状态概率Pn;
(10 4) 1 1 1 4 (8) P ( W ) 1 P ( W ) 1 F ( ) e e 1.5 0.223。 4 4 4 1
二.系统容量有限的M/M/1模型(M/M/1/N/ )
e t , t 0 f T (t ) t 0 0, 1 参数 即其均值的倒数。因此, 的含义是平均间隔时间,
这与
为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
负指数分布有一个有趣的性质:无记忆性,即
P (T t 0 t T t 0 ) P (T t )
这家银行为什么种瓜没有得瓜?(续)
时间到了2005年2月6日。今天是星期日,春节前的最后一个星期天 。你知道的,2月8日就是大年三十了!与其他储蓄所一样, ELZH储蓄所 里面挤满了人,不断有顾客进进出出,有的顾客在大厅里四处走动,随便 取些理财方面的宣传材料打发时间,排队机在机械地叫着号,声音听起来 也不如以前悦耳动听了。不过,好在场面还算在控制之中。
直观上看,在已知T>t0的条件下估计T>t 的概率,与无条件时估计T>t
的概率相同,把以前的t0时间给忘了。
事实上,
P (T t 0 t ) (T t 0 )) P (T t 0 t T t 0 ) P (T t 0 ) P (T t 0 t ) e ( t 0 t ) t e P (T t ) t 0 P (T t 0 ) e
W s W q
1

一般的里特公式中 应为e,称有效到达率,即实际进入 系统率。本模型中因系统容量无限制,故e 。
例2 某修理店只有一个修理工人,来修理的顾客到达数服从 泊松分布,平均每小时4人;修理时间服从负指数分布,平均 需6分钟。求:(1)修理店空闲的概率;(2)店内有3个顾 客的概率;(3)店内至少有1个顾客的概率;(4)店内顾客 的平均数;(5)顾客在店内的平均逗留时间;(6)等待服 务的顾客平均数;(7)平均等待修理时间;(8)必须在店 内消耗15分钟以上的概率。
/ /FCFS)表示:
到达间隔为负指数分布,服务时间也为负指数分布,1个 服务台,顾客源无限,系统容量也无限,先到先服务。 若只讨论先到先服务的情况,可略去第6项。
三.排队问题的求解
主要是计算描述系统运行状态的指标: 1. 队长和排队长
队长:系统中的顾客数;其概率分布称状态概率,记为Pn, 表示系统中有n个顾客的概率;队长的平均值记为Ls。 排队长:系统中正在排队等待的顾客数,记其均值为Lq。
(2)系统运行指标Ls,Lq,Ws,Wq。
2. 系统状态概率
(1)利用状态转移图列出平衡方程
状态转移图是处理稳态M/M/C系统的一种工具,设到达 与服务率分别为 和 ,则

0 1

2

...
n-1 n

n+1 ...




由此列出平衡方程:
P0 P1 Pn 1 Pn 1 ( ) Pn , n 1
3. 系统运行指标
(1)Ls与Lq
Ls 表示系统中的平均顾客数,由期望定义, Ls np n n n (1 ) (1 ) n n 1
n 0 n 0 n 1
d d n (1 ) (1 ) d n 0 n 1 d d 1 1 (1 ) (1 ) 2 d 1 (1 )
t )的概率为
P (T t ) 1 e t ,即F (t ) 1 e t
而这正是负指数分布的分布函数,说明T 服从负指数分布,且 参数同为 。
可证反之也成立。于是得到关于到达规律的重要性质:
到达数为泊松流
到达间隔服从负指数分布(同参数)。
由概率论知识可知,负指数分布的表达式(密度函数)为
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