共形映射

即 (1)
y (z) C : z z(t )
v
(w)
: w f [z(t )]
z0
o
w f ( z )
T
w0
x
o
T'
u
若视x轴与u轴和y轴与v轴的正向相同, 称曲线C的切线正向与映射后曲线正向之 间的夹角为(原曲线C经映射w f (z))在点
z0的~转~~动~~~角~, 记作 .
设w f (z)在区域D内解析, z0 D,且f '(z0 ) 0,
在D内 过z0引 一 条 有 向 光 滑 曲 线:
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
y
割线p0 p对应于参数t增大的
方向。
(z) C : z z(t )
P
则割线的方向向量p0 p与向量
P0
z(t0 t ) z(t0 ) 方向相同. t
o
x
割线方向p0 p 的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
若~~z~'~(~t~0~)~~~0~,~t~0 ~~~(~~,~~~),
点z0处A f '(z0 ) 均不变 伸缩率不变性.
3. 共形映射的概念
定义 设w f (z)在 z0的 邻 域 内 有 定 义 ， 且 在z0 具有保角性和伸缩率不变 性,则称映射w f (z)
在z0为
共形的
~~~~~~
，
或
称w
f (z)在~~z~0~是~~共~~~形~~映~~~射~.
若w f (z)在D内每一点都是共形的，则称
的 曲 线i (i 1,2),1 , 2的 夹 角 为.
y (z) C2
v (w)
2
2 1
C1
z0
2 1
w f (z)
w0
o 1
2
x
o
1 1 2
u
由式(1)有， i i (i 1,2)
2 1 2 1
——保角性
由上述讨论我们有
w f (z)
过z0的C1 , C2 过w0的1 , 2 (C1 , C2 ) (1 , 2 ),
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~
— 过点w0 f (z0 )，正向取t增大方向的曲线.
w'(t0 ) f '(z0 )z'(t0 ) 0
Argw'(t0 ) Argf '(z0 ) Argz'(t0 )
记
即 Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz'(t0 )
§1 共形映射的概念
1. 曲线的切线 2. 导数的几何意义 3. 共形映射的概念
1. 曲线的切线
设连续曲线 C : z z(t) t [ , ]
它的正向取t增大时点z移动的方向.
若z'(t0 ) 0, t0 ( , ),取P0 , P C, P0 , P对应
的参数分别为t0 , t，
这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向 不变的性质 保角性
(2)模 f'(z) 的几何意义
设z z z0 re i , w w w0 ei且
用s表 示C上 的 点z0与z之 间 的 一 段 弧 长;
表 示上 的 对 应 点w0与w之 间 的 弧 长.
y (z)
v
(w)
C
z
w
z z0 s
z z0
z z0
f '(z0 )
w f '(z0 ) z（忽略高阶无穷小）
w f (z)
那么圆: z z0 w w0 f '(z0 )
~~~~~~~~~~
(1)Argz'(t0 ) 曲线C在点z0处切线的 正向与x轴正方向之间的夹角.
(2)若曲线C1与曲线 y C2相交于点z0 , 在交点处 两曲线正向之间的夹角
就是它们的两条切线正
向之间的夹角.
o
(z) C1 :z z1(t )
z0
C2
:
z
z2
(
t
)
x
2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模)
若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对
值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映
射。从而，定义中的共形映射称为第~一~~~类~~共~~形~~映~~
射~~。
~~~~~~~~~~~~
~~
设w f (z) z D
z0 D w0 f (z0 ) f '(z0 ) 0
又 w z
f (z)
f (z0 )
w f (z)
w
w0
o
x
o
u
源自文库
z
w
lim 1 lim
1
z0 s
0
w
f
'(z0 )
lim
z0
s
s z
lim
z0 s
(3)
f '(z0 ) 称之为曲线C在z0的伸缩率.
易见, f '(z0 ) 与映射w f (z)及z0有关,而与曲线 的 形 状 方 向 无 关, 沿 任 何 曲 线 作 映 射f时, 在 同 一
w f (z)在区域D内是共形映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由定义及以上分析有:
定理 若w f (z)在z0点解析且f '(z0 ) 0, w f (z)是共形(保角)映射，
~~~~~~~~~~~~~~~~
且 Argf '(z0 )为转动角, f '(z0 )为伸缩率。
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状
与 方 向 无 关, 这 种 性 质 称 为 映 射 具 有转
~~~~~~~~~~~
动角的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
y (z) C : z z(t )
则~~~曲~~线~~C~~在~~z~0~有~~~切~~线~~,~z~'~(~t0~)
P
就 是 切 向 量, 它 的 倾 角
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
P0
T
~~~~a~r~g~~z~'~(~t0~)~.
o
x
定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线.
T'
z0
w0
T
x
u
即Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz'(t0 )
( 1 ) 导 数 幅 角Argf'(z) 的 几 何 意 义 ①Argf '(z0 )( f '(z0 ) 0)是曲线C经过w f (z)
映 射 后 在 点z0的~~转~~~动~~~角~.
由(1)式仅与映射w f (z)及点z0有关,则