三角恒等变换(难)

三角恒等变换(难) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

三角恒等变换

一、基本内容

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±= 对正切的和角公式有其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，

2

2cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。 3．简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）

A.14122、若tan 3α=，4tan 3

β=，则tan()αβ-等于（ ） A.3- B.3 C.13

- D.13 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

3、cos 5πcos 52π的值等于（ ）

A ．41

B ．21

C ．2

D ．4

4、 已知02A π<<，且3cos 5

A =，那么sin 2A 等于（ ） A.425 B.725 C.1225 D.2425

考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

5、已知,4

1)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4tan(πα+的值等于 （ ）

（A ）1813 （B ）223 （C ）2213 （D ）18

3 6、已知,3

1cos cos ,21sin sin =+=+βαβα则)cos(βα-值等于（ ） （A ）127- （B ）1817- （C ）7259- （D ）72109- 7、函数22()cos ()sin ()11212

f x x x ππ

=-++-是（ ） （A ）周期为2π的奇函数 （B ）周期为2π的偶函数 （C ）

周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数

三、解题方法分析

1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点

【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。

例1设2132tan13sin 50cos 6sin 6,,,21tan 132cos 25

a b c =-==+则有（ ） A.a b c >> B.a b c << C.a c b << D.b c a <<

2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口

三角恒等变换是三角函数与平面向量这两章的延续与发展，三角变换只变其形，不变其质，它可以揭示有些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，帮助我们达到三角恒等变换的目的。

（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`

【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。 例2． 已知2π＜β＜α＜

4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值．

例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］

（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换 【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。

例4：已知sin （α+β）=

32，sin （α－β）=4

3，求2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--⋅+的值．。

（3）运用换元思想，实现三角恒等变换

【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用

特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求

解，解题时要特别注意新元的范围。

3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点（学生尝试）

【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向

量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要

适当注意知识间的联系与整合。

例6：已知：向量(3,1)a =- ，(sin 2,b x =cos 2)x ，函数()f x a b =⋅

（1）若()0f x =且0x π<<，求x 的值；

（2）求函数()f x 取得最大值时，向量a 与b 的夹角．

四、作业

1．sin165o= （ ） A ．2

1 B ．23 C ．426+ D ． 426- 2．sin14ocos16o+sin76ocos74o 的值是（ ） A ．

23 B ．21 C ．23 D ．2

1- 3．已知(,0)2x π∈-

，4cos 5

x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724- 4．化简2sin （4π－x ）·sin （4

π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x

5．sin 12π—3cos 12π的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ． 2 D ． 2 sin 12

5π