第1讲 概率论

对立
例 1.9 甲 乙 丙 三 人 各 射 一 次 靶 ， 记 A----- 甲 中 靶 , B----乙中靶,C-----丙中靶为三个事件,则:
1.甲未中靶
A
2.甲中靶而乙未中靶
AB
3.三人中只有丙未中靶
ABC
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4.三人中恰好有一人中靶 ABC U ABC U ABC
5.三人中至少有一人中靶 AU B UC
k 1
k=1
可以一直往 下数得出来 的一组数或 可以与自然 数集建立一 一对应关系 的
4. 事件的交 (积)
记作A ∩ B或AB
图示事件A与B 的积事件.

A AB B
5. 事件的差 事件 “A 发生而 B 不发生”，称为事件 A 与
B 的差. 记作 A- B.
图示 A 与 B 的差
B A
A AB
• 双色球，33个红球，16个蓝球。33个里选6个，16个里选
一个。
6+1 一等奖 6+0 二等奖 5+1 三等奖
5+0，4+1 四等奖
4+0，3+1 五等奖
2+1，1+1，0+1 六等奖。
概率分别计算如下：
一等奖概率：一亿分之5.64 二等奖概率：千万分之8.46 三等奖概率：百万分之9.14 四等奖概率：万分之 4.34 五等奖概率：千分之 7.76 六等奖概率：百分之 5.89. 不中奖概率： 93.3%。（可见中奖是多么困难）
英国学者沈克士公布了一个π的数值，它的
数目在小数点后一共有707位之多!
但是，经过几十年后，曼彻斯特的费
林生对它产生了怀疑. 原因是他统计了π
的608位小数，得到下面的表:
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
出现次数 60 62 67 68 64 56 62 4444 58 67
你能猜出他怀疑的理由吗?
7. 事件的对立关系
“事件A不发生”，这一事件称为A的对立事
件
易见,A A.
A
A
AA
A U A .
实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
（2）对立事件与互不相容事件的区别
A、B 互不相容
A、B 对立
A
B
AB ,
互不相容
A
B A

A B 且 AB .
缺点：大多数打字员惯用右手，但该键盘左手负担了57%的工 作。两小指及无名指是最没力气的指头，却频频使用。排在中 列的字母，使用率只占30%。
请回答:
圆周率π=3.1415926……是一个无限
不循环小数，我国数学家祖冲之第一 次把它计算到小数点后七位,这个记 录保了1000多年！
以后有人不断把它算得更精确. 1873年，
再如: 测量一物体的长度，由于仪器及观察受
到的环境的影响，每次测量的结果可能是有 差异的. 但多次测量结果的平均值随着测量 次数的增加逐渐稳定于一常数，并且诸测量 值大多落在此常数的附近，越远则越少，因 而其分布状况呈现“两头小，中间大，左右 基本对称”.
请回答: 在英文文章中字母的出现有一定的规律，
图示 B 包含 A.
AB

2. 相等关系
若事件A包含事件B,而且事件B包含事件A, 则称事 件A与事件B相等,记作 A=B.
图示 A=B .
A
B

3. 事件的和(并) 图示事件 A 与 B 的并.
记作A U B或A B
B
A

推广
称 " A1, A2,L 至少有一个发生"为可列个事件


A1, A2, L 的和事件,记作 U Ak (或 Ak ).
各数码出现的频率应都接近于0.1,或 者说，它们出现的次数应近似相等.
但7出现的次数过少.
概率论渗透到现代生活的方方面面。正如19世纪著 名数学家拉普拉斯所说：“生活中的大部分，最重 要的问题实际上只是概率问题。生活就是一场冒险。 日常生活中出现一些危险在所难免，问题是遭遇某 种危险的概率有多大。一般说来，如果遭遇某种危 险的概率低于十万分之一，我们还能坦然视之；但 如果危险概率提高到万分之一，我们就得小心了。 每年都可能遇到的危险机会有：
打中； 打不中； 打中1环 …… 打中环数>8; ……
基本事件
如在掷骰子试验中， 观察掷出的点数 .
（相对于观察目的
事
不 可再分解的事件）
事件 Ai ={掷出i点} i =1,2,3,4,5,6
件
复合事件
（两个或多个基本事件并在一 起，就 构成一个复合事件）
事件 B={掷出奇数点}
两个特殊的事件： 即在试验中必定发生的事件，常用Ω表示;
（奖金500万元+不定奖金，最多1000万元）。 如投入257元，除可以中一个五等奖，还能中257/33.9-1的六等奖。
以此类推，计算如下：
投入金额 可获奖金 总回报
一等奖 35460992.91 16933044.04
47.8%
二等奖 2364066.194 690750.6028
29.2%
三等奖 218818.3807 48035.54705 22.0%
率论的研究内容。
从观察试验开始
研究随机现象，首先要对研究对 象进行观察试验. 这里的试验，指的 是随机试验.
随机试验： 可重复性、可观察性、随机性 如果每次试验的可能结果不止一个，
且事先不能肯定会出现哪一个结果，这样 的试验称为随机试验.
例如, 掷寿硬命币试试验验 出掷掷的一一测灯枚颗试泡硬骰在的币子掷同寿，，骰一命观观子工. 察试察艺出验出条正现件还的下是点生反数产.
Ω
.
样本点ω
若实验将一枚硬币抛掷两次，观察正 反面则样本空间由如下四个样本点组成：
Ω ={(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)} 其中 第1次 第2次
(H,H): H (H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
H
T
在每次试验中
必有一个样本点出
H
现.
T
如果试验是测试某灯泡的寿命：
即在一次试验中不可能发生的事件， 常用φ表示 . 例如，在掷骰子试验中， “掷出点数小于7”是必然事件;
而“掷出点数8”则是不可能事件.
样本空间与事件
现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具 .
我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点，记作ω. 全体样本点的集合称为样 本空间. 样本空间用Ω表示.
1,2,3,4 L 可列个
x | x 0
{(x, y) | x 0, y 0}
引入样本空间后，事件便可以表示为 样本空间的子集 .
例如，掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间：
Ω = { i ：i=1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
事件B就是Ω的一个子集
6.三人中至少有一人未中靶 A U B U C
7.三人中恰好有两人中靶 8.三人中至少有两人中靶
ABC U ABC U ABC
9.三人均未中靶
ABC
10.三人中至多一人中靶 ABC U ABC U ABC U ABC
11.三人中至多有两人中靶
ABC
例2.甲、乙、丙三人各进行一次试验，事件 A1, A2 , A3
死于火灾：1/50000 如果您自己不吸烟，而您的配偶吸 烟，那么您可能受二手烟污染而死 于肺癌：1/60000 死于手术并发症：1/80000 吃东西噎死：1/160000 被空中坠落的物体砸死：1/290000 死于浴缸中：1/1000000 坠落床下而死：1/2000000 被冻死：1/3000000 …………
14 12 10
8 6 4 2 0
AB CD EF GH IJ KL MN OP QR ST UV WX YZ
Q WE R T Y U I O P AS DF GHJ KL Z XCVBNM
1868年，“打字机之父”——美国人克里斯托夫·拉森·肖尔斯设 计 “QWERTY”键盘。最初，打字机的键盘是按照字母顺序排 列的，而打字机是全机械结构的打字工具，因此如果打字速度 过快，某些键的组合很容易出现卡键问题， QWERTY键盘布局， 他将最常用的几个字母安置在相反方向，最大限度放慢敲键速 度以避免卡键。
随 机 现 象 7. 同一条生产线上用同样的工艺生产出来的灯泡寿命长
短 8. 打靶射击时，击中环数
1. 什么是随机现象? 带有随机性、偶然性的现象（结果不唯一）.
2. 随机现象是不是没有规律可言? 在一定条件下对随机现象进行大量观测 会发现某种规律性.
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个
别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性 的误差，但大量炮弹的弹着点则表现出一 定的规律性，如一定的命中率，一定的分 布规律等等.
受伤：危险概率1/3 难产：1/6 车祸：1/12 心脏病突发（如果您已超过35岁）： 1/77 在家中受伤：1/80 受到致命武器的攻击：1/260 死于心脏病：1/340 家中成员死于突发事件：1/700 死于突发事件：1/290 死于车祸：1/5000 染上艾滋病：1/5700 自杀：1/20000(女)1/5000(男) 因坠落摔死：1/2000
则样本点是一非负数，由于不能确知寿 命的上界，所以可以认为任一非负实数都是 一个可能结果， 故样本空间
Ω = {t ：t ≥0｝
调查城市居民（以户为单位）烟、
酒的年支出，结果可以用（x，y）表示， x，y分别是烟、酒年支出的元数.
{(x, y) | x 0, y 0}
0,1,2
由概率，再根据奖金分配原则。来做进一步分析，每投资多少钱， 能中几等奖呢？
一等奖 35460992.91 二等奖 2364066.194 三等奖 218818.3807 四等奖 4608.294931 五等奖 257.7319588 六等奖 33.95585739
即理论计算： 投入33.9元，可以中一个六等奖（奖金5元） 投入257.7元，可以中一个五等奖（奖金10元） 投入4608元，可以中一个四等奖（奖金200元） 投入218818，可以中一个三等奖（奖金3000元） 投入2364066，可以中一个二等奖（奖金不定） 投入35460992，可以中一个一等奖
第一讲 序言及随机事件
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的 机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的 诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠 落，到大自然的千变万化……，我们无时 无刻不面临着不确定性和随机性.
分赌注问题
甲、乙二人赌博，各出赌注30元，共60元，每局甲、乙 胜的机会均等，都是1/2。约定：谁先胜满3局则他赢得全 部赌注60元，现已赌完3局，甲2胜1负，而因故中断赌情， 问这60元赌注该如何分给2人，才算公平.
H
T
在随机试验中，我们往往会关心某个 或某些结果是否会出现. 这就是 随机事件：
在一次试验中由若干可能结果组成 的集合称为随机事件，简称事件.通常记 作A,B,C……
例如，在掷骰子试验中，
““掷掷出出21点点””
试验： 抛1枚硬币 事件： 抛出正面；
抛出方面
掷骰子
打靶
掷出1点； 掷出2点； …… 掷出奇数点； 掷出偶数点； 掷出点数<4； ……
B发生当且仅当B中的样本点 1，3，5中的某一个出现.
三、随机事件间的关系及运算
I.随机事件间的关系
1. 包含关系 若事件 A 发生, 必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A,记作 B A 或 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合 所格以”“产品不合格”包含“长度不合格”.
四等奖 4608.294931 952.9723502 20.7%
五等奖 257.7319588 42.90560472 16.6%
六等奖
33.95585739 5
14.7%
总结
从表面上看，随机现象的每一次观 察结果都是随机的，但多次观察某个随机 现象，便可以发现，在大量的偶然之中存 在着必然的规律.随机现象的统计规律性是概
问：赌本应该如何分法才合理？
甲甲、甲乙、乙甲、乙乙
概率论的研究对象
随机现象的统计规律性
1. 早晨，太阳从东方升起 2.边长为a，b的矩形，其面积必然为ab
3. 在装满确白球定的袋性中，现不可象能取到黑球
4. 在不受外力的作用下，物体的运动状态不可能改变
5. 明天的最高或最低气温 6. 金融领域中将来某时刻某证券交易所的指数
B

B A
AB
AB
6. 事件的互不相容关系 (互斥)
若事件 A 、B不能同时发生，即 A B AB .
则称事件 A与B互不相容.
图示 A与B互斥
A
B

实例 1 抛掷一枚硬币, “出现花面”与 “出现字面” 是互不相容的两个事件.
实例 2 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2 点”