§ 13 射影平面
射影平面
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体 无穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
给平行线添加交点！
§ 1.2 拓广平面
一、中心射影 二、无穷远元素
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
§ 1.2 拓广平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直 线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1.2 拓广平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
定理1.16 在拓广平面上, 点与直线的关联关系成立： (1) 两个相异的拓广点确定惟一一条拓广直线； (2) 两条相异的拓广直线确定惟一一个拓广点.
四、拓广直线、拓广平面的基本性质及模型 1、拓广直线(射影仿射直线)
(1) 拓广直线的封闭性 欧氏直线：向两个方向无限伸展 拓广直线：向两方前进最终都到达同一个无穷远点
射影平面
射影平面３．1 中心投影与无穷远元素 知识点解析 中心投影定义． 影消点、影消线的概念影消点没有中心投影；影消线也没有投影． 无穷远点、无穷远直线的概念．仿射直线、射影直线、仿射平面、射影平面的概念．平行的两个平面相交于无穷远直线上，任何一个平面与无穷远平面相交于一条无穷直线上，一条直线与平行平面相交于一个无穷远点．在仿射平面上，任何两条直线有并且只有一个交点．两条有穷远直线若不平行则交于有穷远点，若平行则交于无穷远点，一有穷远直线与无穷远直线交于无穷远点．解题指导（习题选解） 练习３－１１． 证明：中心投影一般不保持共线三点的简比． 证明反证法．假设中心投影保持共线三点的简比，则在中心投影下，三角形的中位线仍为三角形的中位线，于是推出中心投影把平行线变成平行线，这与中心投影不保持直线的平行性矛盾．所以，中心投影一般不保持共线三点的简比．４．设21:ππσ→是平面1π与2π之间的中心投影．试讨论1π上两条平行直线的象在2π中是否平行，不平行有什么性质？同样，2π上的两条平行直线在1π中的原象是否为平行直线？解当投影线垂直于这对平行线时，其象在2π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在2π中不平行．同理，当投影线垂直于这对平行线时，其原象在1π中是平行的；当投影线不垂直于这对平行线时，其象在1π中不平行．５．试证明：中心投影不保持直线上两个线段之比．证明同第１题．（略）． ３．２图形的射影性质 知识点解析透视对应、中心透视的概念透视对应把l 上的影消点Q 投影到l '上无穷远点∞'P ，把l 上的无穷远点∞P 投影到l '上影消点Q '．中心投影把π上的影消线l 投影到π'上无穷远直线∞'l ，同时把π上的无穷远直线∞l 投影到π'上影消线l '．定义3.1图形在中心投影下不变的性质（不变的量），叫做图形的射影性质． 同素性和结合性都是射影不变性质；平行性质和单比不是射影不变性质，它们在中心投影下会改变． 如果中心射影把平面π上的直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，如图１所示，那么平面π上两条相交直线a 与b ，若交点在影消线l 上，则它们 的象是π'上的两条平行线a '与b '；反过来，平面π'上两条平行线，它们的原象是π上的两条相交于l 的直线．利用中心投影把一直线投影成无穷远直线，可 以用来证明一些几何问题． 解题指导（习题选解） 练习３－２１． 求证：一直线与和它平行的平面交于一个无穷远点证明如果一条直线平行一个平面，则这个平面内有无数条直线与它平行，因为两条直线交于无穷远点，所以，这条直线与这个平面交于无穷远点．２．证明：相交于影消线上的二直线，象为二平行直线．证明设二直线1l 和2l 交于P 点，P 点在影消线上，1l 和2l 经射影对应，对应直线为1l '和2l '，则P 点对应无穷远点． 由于射影对应保持结合性不变，所以P 的对应点是1l '和2l '的交点，即无穷远点，也就）（图1是1l '∥2l '． ３．设OX ，OY ，OZ 为三条定直线，A ，B 为二定点，其连线过O ，点R 为OZ 上的动点，且直线RA ，RB 分别交OX ，OY 于点P ，Q ，求证：PQ 通过AB 上一定点．分析这个题目是要证明PQ 的连线通过AB 上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图所示，则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是有2121//R R P P2121//R R Q Q所以2121//Q Q P P即四边形2211P Q Q P 为平行四边形，11Q P ∥22Q P ．则11Q P 通过∞M ，由中心射影保持结合性不变可知，PQ 通过AB 上一定点． ４．在一个平面内的影消线上取定两点A ，B ，C 为该平面内的任意一点，求证∠ACB 投影后是一个常量．分析如图所示，平面α上的 ∠ACB 经射影后，在β平面 上射影成∠B C A '''． 因为A ，B 为影消线上两点，OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X ）图题（第32R 1R ZY X2P 1P ∞B ∞A ∞M ∞O 2Q 1Q所以OA ∥β，且OA ∥A C ''，OB ∥β，且OB ∥B C ''，所以∠B C A '''＝∠ACB ． 而∠ACB 为定角．由于∠ACB 经投影后，不论C 取在平面上任何位置，其射影成的角∠B C A '''永远等于定角∠ACB ，所以为定值．注意：由于射影中心O 和影消线AB 所成平面一定平行于平面β，所以，利用有关立体几何的平面与平面平行的定理，就可以证明此题．３．3笛沙格定理 知识点解析三点形、三线形概念定理3.1（笛沙格定理） 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条线上．定理3.２ 如果两个三点形对应边的交点在一条线上，则对应顶点的连线交于一点（共点）．解题指导（习题选解） 练习３－３１．三角形ABC 的顶点A ，B ，C 分别在共点的三直线α，β，γ上移动．证明：AB 和BC 分别通过定点P 与Q 时，CA 也通过PQ 上的一个定点．证明如图所示．设三角形C B A ''' 是满足条件的另一个三角形，在三角形ABC 和C B A '''中，由于对应点的连线l ，m ，n 共点O ，由笛沙格定理可知，对应边的交点P ，Q ，R 共线，即AC 与C A ''的交点R 必在直线PQ 上，于是R 为定点．２．若三角形ABC 的二顶点B 与C 分别在定直线α与β上移动，三边AB 、BC 、C A题图）（第1ABB 'P ClA 'C 'OQRn m分别通过共线的定点P ，Q ，R ，求证顶点A证明根据图形(见第２题图)可知，Λ),,,(21ΛB B B),,,(21ΛC C C ，则Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R在这两个射影线束中，PR 是自对应元素，所以Λ),,,(21ΛB B B P ),,,(21ΛC C C R两透视对应的线束对应直线的交点Λ,,,21A A A 共线．３．设A ，B ，C ，D 为平面上的 四点，R CD AB =⨯（AB 与CD 的交点 为R ），P AD BC =⨯，Q BD AC =⨯． 试证：BC 与QR 的交点1A ，CA 与RP 的 交点1B ，AB 与PQ 的交点1C 在同一直线上．证明如图所示．在三角形ABC 和PQR 中，对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ，由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C 共线．３．４齐次坐标 知识点解析 一维齐次坐标),(21x x ，其中1x ，2x 满足x x x =21)0(2≠x 二维齐次坐标),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32)0(3≠x ，),(y x 是欧氏平面内的笛氏坐标．)0,,(21x x （1x ，2x 不同时为0）是一个无穷远点的齐次坐标．A题图）（第21题图）（第3),,(321x x x )0(3≠x 是一个有穷远点的齐次坐标．)0,0,0(不表示一个点的齐次坐标．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标．直线方程欧氏坐标系下直线方程为)0(02221321≠+=++a a a y a x a其中),(y x 是直线上点的非齐次坐标．点),(y x 的齐次坐标为),,(321x x x ，其中1x ，2x ，3x 满足x x x =31，y x x=32． 直线的齐次方程为)0(022********≠+=++a a x a x a x a过原点的直线的齐次方程为)0(022212211≠+=+a a x a x a无穷远直线的齐次方程为03=x无穷远直线无非齐次方程． 齐次线坐标 直线的齐次方程为0332211=++x u x u x u321,,u u u 叫做直线的齐次线坐标，记为],,[321u u u ．]0,0,1[是y 轴的齐次线坐标． ]0,1,0[是x 轴的齐次线坐标． ]1,0,0[是无穷远直线的齐次线坐标．定理3.3一点),,(321x x x X =在一直线],,[321u u u u =上的充分必要条件为0332211=++x u x u x u直线0332211=++x u x u x u 的非齐次坐标为31u u u =，32u uv =． 所有不通过原点的直线方程都可以写成01=++vy ux两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x即0)()()(312213311312332=-+-+-x b a b a x b a b a x b a b a两点),,(321a a a A =，),,(321b b b B =的连线的坐标为),,(122131132332b a b a b a b a b a b a ---解题指导（习题选解） 练习３－４１．试求出下面各点的齐次坐标． （１）)0,0(，)0,1(，)1,0(，)35,2(． （２）以43为方向的无穷远点。
[高等教育]射影平面
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4、每一组平行平面有且仅有一条交线为无穷远直线；过同一 条无穷远直线的平面相互平行. 因而，对于通常平面：
平行
无穷远直线
两平面
交于惟一
不平行
有穷远直线
空间中任二平面必相交于唯一直线
§ 2.1 射影平面
三、射影平面
定义1.24 通常点和无穷远点统称拓广点； 添加无穷远点后的直线和无穷远直线统称为拓广直线(射影仿 射直线)； 添加无穷远直线后的平面称为拓广平面(射影仿射平面).
§ 2.1 射影平面
(2) 拓广直线的拓扑模型
§ 2.1 射影平面
(3) 射影直线上点的分离关系
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。 射影直线：一点不能区分直线为两个部分。 欧氏直线：两点确定直线上的一条线段。 射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
点偶A,B分离点偶C,D
点偶A,B不分离点偶C,D
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
平面上任二直线总相交
5、空间中每一组平行直线交于惟一无穷远点. 6、任一直线与其平行平面交于惟一无穷远点.
§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(3)
1、无穷远直线为无穷远点的轨迹. 无穷远直线上的点均为无穷 远点；平面上任何无穷远点均在无穷远直线上.
2、每一条通常直线与无穷远直线有且仅有一个交点为该直线 上的无穷远点.
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义1.23 : '
O投射中心(O ')
OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
射影平面教学辅导
射影平面教学辅导一、教学要求1.知道无穷远元素，平面几何、射影几何的基本特征。
2.了解平面射影坐标系，熟练掌握齐次坐标与非齐次坐标之间的变换、线坐标的计算。
3.理解并熟练掌握笛沙格透视定理4.理解平面对偶原理。
重点：坐标变换、笛沙格定理。
难点：建立无穷远元素的概念。
二、典型例题讲解1．填空选择题１）射影对应把平行四边形变成（）．２）射影对应把矩形变成（）．３）射影对应把梯形变成（）．４）射影对应把三角形中位线变成（）．５）射影对应把三角形中线变成（）．解［理论］１）平行性质不是射影性质，在中心投影下会改变．２）单比不是射影性质，在中心投影下会改变．３）距离（长度）不是射影性质，在中心投影下会改变．４）角度不是射影性质，在中心投影下会改变．答：１）任意四边形．２）任意四边形．３）任意四边形．４）相交于两腰的任意一条直线．５）过这个顶点和对边上任意一点的直线．2．设OX，OY，OZ为三条定直线，A，B为二定点，其连线过O，点R为OZ上的动点，且直线RA，RB分别交OX，OY于点P，Q，求证：PQ通过AB上一定点．证明[关键]这个题目是要证明PQ的连线通过AB上一定点，属于三线共点问题，只涉及点和直线的结合性，可以利用“射影到无穷远”．[理论] 相交于影消线上的二直线，其象为二平行直线．取OAB 所在直线为影消线，经过中心投影之后，∞∞∞B A O 为无穷远直线，如图2所示， 则2211R P P R ，1221R R Q Q 为平行四边形．于是 2121//R R P P ，2121//Q Q R R ， 所以 2121//Q Q P P因此，11Q P 与22Q P 的象交于无穷远点， 所以，11Q P 与22Q P 相交于AB 上一定点．3．证明如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．证明 [理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．如图所示，若三点形ABC 与C B A '''的对应边BC 与C B ''的交点X ，AC 与C A ''的交点Y ，AB 与B A '' 的交点Z 共线，考虑三点形B XB '，A YA '， 由于XY 与AB ，B A ''都交于点Z ， 由笛沙格定理，三组对应边的交点C ，C ' ，O 共线， 于是A A '，B A '，C C '共线．4．设P ，Q ，R ，S 为完全四点形的顶点，A QR PS =⨯（PS 与QR 的交点为A ），B QS PR =⨯，C RS PQ =⨯，1A QR BC =⨯，1B RP CA =⨯，1C PQ AB =⨯，试证：1A ，1B ，1C 共线．证明 [理论] 笛沙格定理：1．如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一条直线上．2．如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点．如图所示．在三角形ABC 和PQR 中， 对应顶点的连线AP ，BQ ，CR 共点于S ， 由笛沙格定理，对应边的交点1A ，1B ，1C OMY2R 1P 1R BAZ2Q 1Q 2P X 题图第2题图第315．试求出下面各点的齐次坐标． （1）以43为方向的无穷远点． （2）013=++y x 上的无穷远点．解 （1）[理论] 一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标为)0,,1(k . 于是，以43为方向的无穷远点的齐次坐标为)0,43,1( （2）[理论] )0,,(pk p 与)0,,1(k 表示同一个无穷远点的齐次坐标，即平行线相交于同一个无穷远点．)0,,1(k 为一组直线kx y =上的无穷远点的齐次坐标，因为013=++y x 平行于x y 3-=，所以013=++y x 上的无穷远点为)0,3,1(-．[注意] 平面内一组平行线相交于同一个无穷远点．所以，可以利用x y 3-=来求013=++y x 上的无穷远点．6．若存在，求下列各点的非齐次坐标．)1,4,2(-A ； )3,4,0(B ；)0,8,1(C ．解 [关键] 利用齐次坐标),,(321x x x 和非齐次坐标),(y x 之间的关系x x x =31，y x x =32，取03≠x ． [注意] 无穷远点没有非齐次坐标．)4,2(--．)34,0(．由于)0,8,1(C 的03=x ，所以C 是无穷远点，而无穷远点没有非齐次坐标．7．求下列各线坐标所表示的直线方程．]1,0,1[；]1,1,1[-；]2,2,2[-；]1,0,0[；]1,1,0[．解 [关键]将线坐标],,[321u u u 代入直线方程0332211=++x u x u x u 即得到直线方程． 将]1,0,1[代入0332211=++x u x u x u 得直线方程0101321=⋅+⋅+⋅x x x ，即031=+x x ．同理得到其它线坐标的直线方程，依次为0321=-+x x x ； 0222321=-+x x x ； 03=x ； 032=+x x7．求两点01143321=-+u u u 与035321=+-u u u 的连线的坐标． 解 [关键]利用两点),,(321a a a A =与),,(321b b b B =的连线的方程为0321321321=b b b a a a x x x两点A ，B 的连线的坐标为],,[122131132332b a b a b a b a b a b a ---．代入得1351143321--x x x ]29,58,29[---=于是，所求坐标为]29,58,29[---，或]1,2,1[．。
第二章射影平面
第二章射影平面本章是在欧氏平面的基础上，通过引进无穷远元素的方法来建立射影平面。
然后又在欧氏平面上引进齐次坐标，并介绍了对偶原理。
§1 射影直线与射影平面1.1 中心射影与无穷远元素定义1.1 设两条直线a和a′在同一平面内，O是两直线外一点，A为直线a上任一点，A与O连线交直线a′于A′，如此得到的直线a与a′的对应叫做以O为射心的中心射影。
A′叫做A从O投射到a′上的对应点。
OA叫投射线，O叫投射中心，简称射心。
显然，A也叫A′从O投射到a上的对应点。
选取射心不同，就会得到不同的中心射影。
如果，a和a′相交于点C，则C是自对应点（二重点）。
在欧氏平面上，中心射影不是一一的。
如果a上点P使OP∥a′，则P没有对应点。
同样，在a′上也存在一点Q′，使OQ′∥a，则Q′的对应点也不存在。
点P和Q′叫影消点。
类似的，我们可以定义两平面间的中心射影。
而且，如果两平面有交线l，则交线l上的每一点都是自对应点（二重点），l叫自对应直线（二重直线）。
另外，在两平面间的中心射影下，不但存在影消点（该点与射心连线平行于另一平面），还存在影消线(影消点的轨迹)。
１为使中心射影成为一一对应，我们必须引进新的元素，从而将欧氏平面加以扩充。
于是，我们约定：约定1在平面内的一组平行直线上引进唯一一点叫无穷远点，此点在组中每一条直线上，记作：P∞。
平面上原有的点称为有穷远点。
由此可知，一组平行直线有且只有一个公共点，即无穷远点。
另外，一条直线a与同它平行的平面交于无穷远点。
这是因为过直线a作与已知平面相交的平面，则交线平行于直线a，即两条直线相交于无穷远点。
约定2平面内所有无穷远点的集合叫做无穷远直线，记作：l∞。
平面内原有的直线称为有穷远直线。
可以证明，一组平行平面相交于一条无穷远直线。
约定3空间里所有无穷远点的集合叫做无穷远平面，记作：π∞。
空间中原有平面叫有穷远平面。
定义1.2无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。
SS射影平面.ppt
I.两个不同的A, B点恰好在一条直线上,此直线称为
的连线,记做AB. AB BA.
若P不在直线l上,则P和l上每一点的连线构成的集合
称为平面.此平面称为P和l的连面,记作Pl或者lP.
四
即: 平面Pl lP PL | L在集合l上
条
公
I'.两个不同平面 , 恰好在一条直线上,此直线称为 理
二者的交线,记为 .
E.一条直线上至少有三个不同的点.
E'.一条直线上至少有三个不同的平面.
约定：大写的英文字母如A，B，C表示点.小写的英文
字母如a，b，c表示线.希腊字母如，， 表示平面.
定理1:射影空间中至少有一条直线,三个点和三个平面.
定理2:如果A, B,C不在同一条直线上,则它们是互不 同的,AB, BC,CA,并且都在平面A(BC)上,且A(BC) ( AB)C.
相容性:从公理体系的基本公理出发,经过逻辑推理, 不能得出矛盾个的结论 独立性:公理体系中每一条公理都不能从其它公理推 导出来. 完备性:在保有公理体系中所有公理的前提下,基本元 素不允许有扩充.
射影几何初步
1 射影平面
线把和面把(简称把)
线把：空间中，过一点O的直线的集合 面把：空间中，过一点O的平面的集合
注:对平面，性质I'是有例外的。
射影平面：设 是一个集合，集合中的元素称为点.如果在 中给定一组非空的子集合称为线，并且点和线之间的关系 满足下面四个条件，则 称为射影平面.
I两个不同的点，恰好在一条直线上， 四
I'两个不同的线恰好在一个点上,
条
E每一条直线上至少有三个不同的点, 公
E '在每一个点上至少有三条直线.
2射影平面
条直线的方程,所以 π上的任何直线在齐次坐标下都由方程 2 2 a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0, (a1 + a 2 ≠ 0) (1.3) 给出,并且任何一个这样的方程都对应着π上的一条直 线。 我们把无穷远点的几何轨迹称为无穷远直线,根据 无穷远点的齐次坐标的特点，无穷远直线可由方程 x3 = 0 (1.4) 来表示。
如果点 M ∈ π 0使OM // π 1 , 则M的象为π1中与OM 平行的直线l‘上添加的无穷远点;直线{M ∈ π 0 OM // π 1 } 上添加的无穷远点的象为直线 M ∈ π 0使OM // π 1 , 上的无 穷远点，如图6.2。 由于射影平面上的直线方程(1.5)是三元一次齐次 方程,所以 a1 x1 + a 2 x2 + a3 x3 = 0 与 b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 = 0 表示同一直线当且仅当存在非零实数λ，使 ( a1 , a 2 , a3 ) = λ (b1 , b2 , b3 ). 于是我们可以用直线方程的 系数( a1 , a2 , a3 ) 来表示直线,把( a1 , a2 , a3 ) 称为直线的齐 次坐标。
对于射影直线而言,如果它的方程为(1.5),则无穷远 点[ a 2 , a1 ,0] 在此射影直线上,且是此射影直线上的唯一 的无穷远点。实际上( a 2 ) : a1 表示仿射坐标中的直线 a1 x + a 2 y + a3 = 0 的方向,因而直观上,射影直线就是欧 氏平面上的直线添加上此直线的方向所得到的。 如果中心投影在两个射影平面 π 0 和π 1上进行,就能 使中心投影成为一个双射τ : π 0 → π 1 ，其中投影中心 如果点P ∈ π 0 , 使 OP与π 1 交于点P‘,则 O π 0 ∪ π 1。 τ(P)=P’;如果点 N ∈ π 1使ON // π 0 , 则N的原象为π 0 中 与ON平行的直线l上添加的无穷远点;
射影直线和射影平面PPT课件
注： 1）同素件，结合性都是射影不变性。 2）圆锥曲线经过中心射影后的象还是圆锥曲线，所
以我们说圆锥曲线具有射影性质。 3） 圆经过某些中心射影后不变，但经过另一些中心
射影可能变成其它二次曲线而不一定是圆，因此圆这一图 形不具有射影性质。
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例1：相交于影消线的二直线必射影成平行直线。
O
记 : '
O投射中心
(O ') (射心）
OP 投射线 P ' π 上的点P 在π'上的像
A
Hale Waihona Puke aPMxP a
A
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P π' 上的点P'在π上的像
因此 ， 1 : ' 是π‘ 到π的中心射影
三条特殊的直线：
x '自对应直线(不变直线)
u , U u, OU // '，
证明： 设平面上二直线l1,l2相交于影消线m上一点P, 经中心投影后， l1与l2的对应直线分别为l1与l2，
由于射影对应保持结合性不变，
所以影消点P 的对应点为l1与l2的交点，O P
即 P点。 由于l1与l2相交于无穷远点，
所以l1 // l2
l1 l2 m l1
P l2
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例2：单比不是射影不变量。
点与直线的关联 关系
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一、无穷远点
约定一： (1) 平面内在每一条直线上添加唯一一个点， 此点不是该直线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)， 记作P∞
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上添加的无穷远点不同.
为区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(普通点)， 记作P
167;13射影平面
图形Σ
作对偶变换
图形Σ'
互为对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例
(1) 点
(1)' 直线
(2) 点列(共线点集) l(P)
(2)' 线束(共点线集)
L( p)
(3) 点场(共面点集)
(3)' 线场(共面线集)
(4) 简单n点形：n个点(其中无 三点共线)及其两两顺次连线 构成的图形.
§ 1.3 射影平面
一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型 三、射影坐标变换 四、实射影直线(一维实射影空间)
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射影平面
实射影平面
三维实向量类: RP2 , (RP2 )*
复射影平面
三维复向量类: CP2 , (CP2 )*
实-复射影平面
将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为 其子空间)，即带有虚元素的实射影平面
Desargues定理画图过程演示
提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的 纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.5 Desargues定理
今日作业 P.35: 1(图1.19, 1.22); 4; 5
祝同学们国庆节快乐！
The Class is over. Goodbye!
课件作者：南师大数科院周兴和
若两个三点形对应边的交点共线， 则称这对对应三点形具有透视轴， 透视轴也称为Desargues 线.
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
问题 存在透视中心 存在透视轴？
画图过程演示
§ 1.5 Desargues定理
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
射影几何三大入门定理
射影几何三大入门定理1. 定理一：射影平面的基本性质射影几何是研究投影关系的一门数学分支，它研究的对象是射影空间和射影平面。
在射影几何中，有三个重要的入门定理，这些定理对于理解和应用射影几何具有重要意义。
首先，我们来讨论第一个定理：射影平面的基本性质。
1.1 射影平面的定义在介绍定理之前，我们需要先了解什么是射影平面。
射影平面是指一个由点和直线构成的集合，满足以下条件：•任意两条直线有且只有一个交点；•任意两个不同的点确定一条直线。
1.2 定理一的表述定理一指出，在射影平面中，存在以下基本性质：•任意两个不同的直线交于唯一一点；•任意两个不同的点确定唯一一条直线。
1.3 定理一的证明第一个性质：任意两个不同的直线交于唯一一点假设在射影平面中存在两个不同的直线L1和L2，在L1上取两个不同的点A和B，在L2上取两个不同的点C和D。
我们需要证明线段AB和CD的交点是唯一的。
根据射影平面的定义，任意两个不同的点确定唯一一条直线，所以线段AB确定了一条直线L3，线段CD也确定了一条直线L4。
由于L3和L4都与L1和L2相交，所以它们一定有一个公共交点P。
假设还存在另一个不同于P的交点Q，那么根据射影平面的定义，线段PQ也应该与直线L1相交。
但是根据前面的假设，A、B、C、D四个点在射影平面中是不共面的，所以直线PQ与直线L1没有交点。
这与假设矛盾，因此我们得出结论：任意两个不同的直线在射影平面中交于唯一一点。
第二个性质：任意两个不同的点确定唯一一条直线假设在射影平面中存在两个不同的点A和B，在A上取两条不同的直线L1和L2，在B上取两条不同的直线L3和L4。
我们需要证明直线AB和CD（其中C为L1与L3的交点，D为L2与L4的交点）是唯一相交的。
根据射影平面的定义，任意两条直线有且只有一个交点，所以线段AB与L1和L2分别有唯一的交点C和D。
假设还存在另一条直线EF与A、B两点相交，并且E和F分别是直线EF与L1和L2的交点。
射影平面六讲一一第一讲
以下我們將 ξ1 和 ξ2 固定, 而令 ξ0 變 化。 以 (ξ0, ξ1, ξ2) 為齊次座標的點 P 的非齊 次座標為 (ξ1/ξ0, ξ2/ξ0)。 設 P0 為以 (ξ1, ξ2) 為非齊次座標的點。 連接原點和 P0 成一直線 l。 對一切 ξ0, P 點始終在直線 l 上。 當 ξ0 取負值, 且其絕對值很大時, P 很接近原點, 但和 P0 在原點的異側。 當 ξ0 取負值時, P 仍維持和 P0 在原點的異側, 而且隨 |ξ0| 變 小而漸行漸遠。 當它變成 0 時, 點 P 沒有定 義。 當它變成正數時, 它又有定義了, 成為和 P0 在原點同側的 l 上的一點。 ξ0 取很小的 正值 時, P 離原點很遠。 當 ξ0 增加到 1 時, P 便和 P0 重合。 當 ξ0 增加超過 1 時, P 點逐漸靠近原點。 這些想法提示我們在直線 l 上增加一點, 以(0, ξ1, ξ2) 為其齊次座標。
現在設想 l 為 G 上的一定線, Q 為 G 上 l 外之一定點, P 為在 l 上的一動點。 當 P 不斷向前移動 (即與 Poncelet 在窗之異側向 遠離窗之方向移動) 時, σP 從直線 j 的下方 向上移動。 當 P 漸行漸遠之時, 直線 QP 漸 漸接近於平行的位置, 而點 σP 也漸漸從直 線 j 的下方接近於j。 若令 P 向後移動, 則 σP 從直線 j 的上方向下移動。 當 P 漸行漸 遠之時, 直線 QP 和點 σP 的狀況也和上文 所述的相當類似。 這種考慮使 Poncelet 想到 在平面上添加一些 無限遠點 (points at infinity), 作為平行線的交點, 便可把平行線的 觀念統合在不平行線的觀念以內。 添加無限 遠點後, 歐氏平面便變成了 射影平面 (projective plane)。 以下我們不用 Poncelet 的
2.1射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
定义1.5 如果把仿射直线上的非无穷远点与 无穷远点同等看待而不加区分那么这条直线就 叫做射影直线
圆
墨比乌斯带
定义1.6 在仿射平面上,如果对于普通元素和 无穷远元素不加区分,即可得到射影平面
§ 1 射影直线和射影平面
五、射影直线、射影平面的基本性质
１、射影直线
欧氏直线：一点区分直线为两个部分。
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理 应用举例
例2 证明：三角行的三中线点共.
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
今 天 作 业
P28 : ５
O投射中心(O l l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影 三个特殊的点： X=l×l' 自对应点(不变点) OU与l'不相交， U为l上的影消点 OV'与l不相交， V'为l'上的影消点 影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对应
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格定理
德萨格(Desargues)定理
如果两个三点形对应顶点的连线交于 一点，则对边的交点在一直线上.
A
X
C
Y
C
B
A
B Z
O
A
X
C
B Z Y
C
B
A
o
L
A
l
L
A
X
C
射影平面
定义 如果将通常的点与无穷远点不加区别，通常的直线与 无穷远直线不加区别，则仿射直线就叫射影直线，仿射平面 就叫射影平面。在射影直线上，通常的点和拓广点都叫点。
通常直线：两点确定直线上的一条线段。
射影直线：两点不能确定直线上的一条线段。
射影直线与射影平面
2、射影平面
(1) 射影平面的封闭性(从两个方面理解) (i) 任一直线划分通常平面为两个不同的区域 任一直线不能划分射影平面为两个不同的区域 (ii) 两条相交直线划分通常平面为四个不同的区域 两条相交直线划分射影平面为两个不同的区域
若两个三点形对应边的交点共线, 则称 这对对应三点形具有透视轴, 透视轴也 称为Desargues 线.
Desargues透视定理
2、Desargues透视定理
定理 (Desargues透视定理及其逆) 对于两个对应三点形, 存在 Desargues点存在Desargues线.
或者叙述如下：
迪沙格定理 如果两个三点形对应 顶点的连线交于一点，则对应边的 交点共线。
Desargues透视定理
（2）三点形 ABC 和 A'B'C' 共面 如图，设这个平面是 。
Desargues透视定理
此时，过 O 作一条异面直线 l ，然后在 l 上任取两点 S 和 S' 。
考虑三点形 SBC 和 S'B'C' ，则这两个三点形异面（否则，如 果它们共面，则这个平面必须是 ，于是 S, S' 就在 上，这 与 l 为异面直线矛盾）。
21射影平面
如果两个三点形对应边的交点在一直线上，则 对应顶点的连线交于一点.
定义1.11 如果两个三点形对应边的交点共线，则
这条直线叫做透视轴．如果两个三点形对应 顶点的连线共点，则这个点叫做透视中心．
§ 1 射影直线和射影平面
１.4 德萨格(Desargues)定理
应用举例
例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为 AD, BE, CF. 而 BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线.
约定 (２)一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做 无穷远直线，记作l∞，区别起见，称平面上原有的直线为有穷 远直线(通常直线)
约定 (３) 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷 远平面，记作π∞，为区别起见，空间里原有平面称为非无穷远平 面或普通平面．
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
§ 1 射影直线和射影平面
理解约定 (1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点.
３、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
平行
无穷远点
两直线 不平行 交于惟一 有穷远点
§ 1 射影直线和射影平面
一、中心射影
定义1.1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
定义1.2 : '
均不是一一对应
中心射影不是一一对应的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一个一一对应？
射影平面.
射影平面图形的射影性质在引进无穷远元素之后，将直线上的影消点与另一直线上的无穷远点建立点的对应. 如上图3-1所示，通过中心投影，把l 上影消点q 投影到'l 上无穷远点∞P ，将l 上无穷远点∞P 投影到'l 上影消点'q .于是中心投影建立了直线之间的一一对应，称这个中心投影为透视对应.同理可以建立平面之间的透视对应.中心投影把π上影消线l 投影到'π上无穷远直线'∞l ，同时把π上无穷远直线∞l 投影到'π上影消线'l .于是中心投影建立了平面之间的一一对应，称为平面π与'π之间的中心透视.思考题：中心投影与平行投影之间的关系如何？事实上，平行投影是特殊的中心投影，投影中心为一无穷远点.定义3.1 图形在中心投影下不变的性质(不变的量)，叫做图形的射影性质（射影不变量）.比如同素性、结合性都是射影不变性质，另外平行性质与单比不是射影性质，他们在中心投影下改变.`图3-5如果中心射影把平面π上直线l 投影成平面π'上的无穷远直线，见图3-5，那么平面π上两条相交直线，若交点在影消线l 上，它们的象是π'上的两条平行线，反过来平面π'上两条平行线，它们的原象是π上两条相交于l 上的直线．利用中心射影把一直线投影成无穷远直线，可以证明一些几何问题．BAN 1NQ P l1Q 1PM 1M图3-6例1 如图3-6所示, 设B ,A 是直线l 外两点. 在直线l 上任取两点P 与Q ,AP 交BQ 于N ,BP 交AQ 于M .则MN 通过AB 上一定点.证明 设B ,A 与l 所在的平面为π,选取平面π',做到的中心射影,把B ,A 投到无穷远.设11Q ,P 是直线l 上的另外任意两点,11N ,M 是相应的交点.目的是证明MN 与11N M 相交与AB 上.设l 的象为l '，1111Q ,P ,N ,M ,Q ,P ,N ,M ''''''''是相应点的象.由于直线PM ,QN ，1111M P ,N Q 的公共交点B 投到无穷远，所以它们的象,M P ,N Q ''''1111M P ,N Q ''''是相互平行的直线.同样的道理1111N P ,M Q ,N P ,M Q ''''''''也是相互平行的直线.所以直线N M ''平行于直线11N M '',由中心射影的性质知道,原象MN 与11N M 是两条相交直线,交点在AB 上.证毕.练习3－21． 求证： 一直线与和它平行的平面交与一个无穷远点.2． 证明: 相交于影消线上的二直线,象为二平行直线.3． 设OZ ,OY ,OX 为三条定直线,B ,A 为二定点,其连线过O ,点R 为OZ 上的动点,且直线RB ,RA 分别交OY ,OX 与点Q ,P .求证:PQ 通过AB 上一定点.4． 在一平面内的影消线上取定两点B ,A .C 为该平面内的任何一点,求证:角度∠ACB 投影后是一个常量.5.证明:对任意四边形可选择中心射影,将其投影为平行四边形.。
射影平面
例6. 求两直线ax2+2hxy+by2=0所成角的内外平分线方程. 解. 设内外角平分线方程为
l1 l2 12 1
2
l1 : y 1 x 0 l2 : y 2 x 0
利用上题可得
12 x (1 2 ) xy y 0
2
x2 (1 2 ) xy y 2 0
r r (14,32) 由题设 r r 2 2r r 1 r 1 (13, 24) 1 r 1. r2 r0
§ 3.1 交比
一、点列中四点的交比 1、定义 2、性质 3、特殊情况
4、调和比 5、交比的计算 (1). 由坐标求交比 例2 已知P1(3,1,1), P2(7,5,1), Q1(6,4,1), Q2(9,7,1). 求(P1 P2, Q1 Q2). 解 第一步. 验证四点共线. 第二步. 以P1, P2为基点, 参数表示Q1, Q2. 令 iQi P i=1,2. 1 i P 2. 对于i=1, 利用P.34例1.3, 有 1 3. 同理, 对于i=2, 可求得 2 3. 于是，
AO GB AH OB GO AB OH AB GO OB AO OH 所以 GO OH GB AH . GO OH OB AO GO OH . GO OH
注：同理可证，G'O=OH'.
§ 1.3 完全四点形与完全四线形的调和性
一、调和性 二、应用
1、第四调和元素的作图 例1 已知直线l上相异三点P1, P2, P3. 求作第四调和点P4. 分析：利用推论1, 构造一个完全四点形, 以l为其对边三点形的一边, P1, P2是对边点, 使第三对对边中, 一条过P3, 则另一条与l的 交点即为P4. 解. 作法: (1). 在l外任取一点A, 连AP1, AP2. (2). 过P3作直线分别交AP1, AP2于B, D.
射影平面知识点总结
射影平面知识点总结射影平面是射影几何的基本概念，它是在射影空间的基础上引入的一种几何结构。
射影平面是一种具有射影性质的空间，它拥有特殊的性质和结构，因此在几何学和代数学中有着重要的应用。
本文将对射影平面的基本知识点进行介绍和总结，包括射影平面的定义、性质、构造方法以及相关定理和定律等内容。
一、射影平面的定义射影平面是指一个由点、直线和射线组成的空间结构，它是由二维实射影空间定义的。
在射影平面中，任意两条不共线的直线都有且只有一个交点，这是射影平面的基本性质之一。
另外，射影平面满足幂零定理，即任意两条相交的直线在其交点处的切线都是无穷远的。
在代数几何中，射影平面可以通过将欧几里德平面上的点扩充为射线上的点，从而得到一个射影平面。
这样的扩充是通过引入无穷远点的方式来实现的，因此射影平面上的点包括有限远的点和无穷远的点。
二、射影平面的性质1. 射影平面是紧致的。
这意味着射影平面上的任意闭曲线都可以用有限个闭曲线来覆盖。
2. 射影平面是连通的。
任意两点之间都存在一条直线。
3. 射影平面是欧几里德平面的紧致化，因此它具有相同的拓扑性质。
4. 射影平面上的直线都是闭曲线。
这意味着任意两条直线的交点都是封闭的。
5. 射影平面是一种紧致性空间，可以用带权和的方式来描述其拓扑结构。
三、射影平面的构造射影平面可以通过多种方式进行构造，其中最常见的方法包括射影坐标系的引入、齐次坐标系的应用以及仿射几何的推广等。
以下是射影平面的几种常见构造方法：1. 射影坐标系的引入。
通过引入射影坐标系，可以将欧几里德平面上的点扩充为射线上的点，从而得到一个射影平面。
2. 齐次坐标系的应用。
齐次坐标系是射影几何中常用的坐标系，它可以用于描述射影空间中的点、直线和射线等基本几何元素。
3. 仿射几何的推广。
通过将仿射几何的概念推广到射影几何中，可以得到一个射影平面的构造方法。
四、射影平面的相关定理和定律1. 帕斯卡定理。
帕斯卡定理是射影几何中的重要定理，它描述了射影平面上的六点共线的条件。
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(1). 点x在直线u上 x在u上. (1)'. 直线u过点x u过x.
(对 uj xj 0两边取共轭即得结论)
(2). 虚点x在实直线u上 x在 (2)'. 虚直线u过实点x u过x. u上.
(3). 实直线上的点或为实点或 为成对出现的共轭虚点.
(3)' . 过实点的直线或为实直线 或为成对出现的共轭虚直线.
u3 0.
(3) 无穷远直线上的点 (A, B,0)
Au1 Bu2 0.
(4)－(8) Thm. 1.5－Thm. 1.9
(1)' 直线 [A, B,C]
Ax1 Bx2 Cx3 0.
(2)' 无穷远直线 [0,0,1]
x3 0.
(3)' 过原点的直线 [A, B,0]
Ax1 Bx2 0.
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1、基本概念 2、对偶图形举例
3、作一图形的对偶图形 例 1 作下列图形的对偶图形(P.32，例1.12).
翻译
点 P,Q
2个 直线 p, q
2条
直线 l, a,b,c, d
5条 点 L, A, B,C, D
5个
关联关系 (1) P, Q在l上；
关联关系 (1) ' p, q过点L；
(2). 对偶运算 过一点作一直线
在一直线上取一点
(3). 对偶变换 互换对偶元素地位、作对偶运算
(4). 对偶图形 在射影平面上，设已知由点、直线及其关联关系
构成的图形Σ，若将Σ中各元素改为其对偶元素、各运算改为其对 偶运算(即对Σ作对偶变换)，则得到另一个图形Σ'. 称Σ、 Σ'为一对 对偶图形.
射影不变性： 点与直线的关联关系(结合性)；同素性；…… 结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变
同素性：点 点；直线 直线 射影不变量： 有待探索. 目前所知几何量均不是射影不变的
§ 1.4 平面对偶原则
重要原理！ 贯穿全书！
一、平面对偶原则
1. 基本概念
(1). 对偶元素 点 直线
3. 作一图形的对偶图形 4. 平面对偶原则
例 2 对偶命题举例
(1) A 过相异二点有且仅有 一条直线.
(1)' PA 两相异直线有且仅有 一个交点.
(2) A 如果两个三点形的对 应顶点连线共点，则其对应 边的交点必定共线.
(2)' PA 如果两个三点形的对 应边交点共线，则其对应顶 点的连线必定共点.
(4). 两共轭虚点连线为实直线. (4)'. 两共轭虚直线交点为实点.
(5). 过一虚点有且仅有一条实 直线.
(5)'. 在一条虚直线上有且仅有 一个实点.
§ 1.1 射影平面
六、图形的射影性质(射影不变性)
射影性质
射影不变性 射影不变量
图形在中心射影下保持不变的 性质和数量
目前已知的射影性质：
注1 只有射影命题才有对偶命题.
注2 对偶原则是一个双射 F： 点几何
线几何
因此，对偶原则可以使得点几何问题与线几何问题相互转 化，可以起到事半功倍的作用.
§ 1.4 平面对偶原则
二、代数对偶
考察方程
A1 B2 C3 0.
视 (1,2,3) 为点的流动坐标，则方程表示直线 [A, B,C].
注3、满足Desargues定理的一对三点形称为透视的三点形.
Desargues定理画图过程演示
提示：从现在起，画图要预先设计、思考，否则天大的 纸也摆不下一张图！真尴尬耶！
§ 1.5 Desargues定理
今日作业 P.35: 1(图1.19, 1.22); 4; 5
祝同学们国庆节快乐！
The Class is over. Goodbye!
这是一对自对偶图形，在使用中将不加区分. 简称三点形, 三线形.
§ 1.4 平面对偶原则
完全n点(线)形：n=4
完全四点形ABCD
完全四线形abcd
这是射影几何中最重要的一对图形，我们来作专门的剖析
完全四点形ABCD
完全四线形abcd
顶点 A, B,C, D
边 p, q;r, s;t,u
对边(没有公共顶点的边) p,q; r, s; t,u
§ 1.3 射影平面
一、实射影平面(二维实射影空间) 二、实射影平面的模型 三、射影坐标变换 四、实射影直线(一维实射影空间)
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射影平面
实射影平面
三维实向量类: RP2 , (RP2 )*
复射影平面 实-复射影平面
三维复向量类: CP2 , (CP2 )*
视 [1,2,3] 为直线的流动坐标，则方程表示点 (A, B,C).
考察方程组
A11 A21
B12 B22
C13 C23
0 0
点几何观点：方程组表示两直线交点，解出坐标为 (A, B,C). 线几何观点：方程组表示两点的连线，解出坐标为 [A, B,C].
2、Desargues定理
定理 (Desargues定理及其逆定理)
对于两个对应三点形，
存在透视中心 存在透视轴 .
证明：代数法. 请认真自学. 纳闷 这张美丽的图是如何画的？
注1、仅用综合法，Desargues 定理不可能在平面内获得证明，只 能作为公理.
注2、Desargues定理与其逆定 理实际是一对对偶命题.
(4)'－(8)' Thm. 1.5'－Thm. 1.9'
请在课后尽可能多地练习画出已知图形的对偶图形、写出已知 命题的对偶命题，并从对偶原则出发，重新审视前面所学知识.
§ 1.5 Desargues定理es定理
1、两个三点形的对应关系 若两个三点形对应顶点的连线共点，
则称这对对应三点形具有透视中心， 透视中心也称为Desargues 点.
若两个三点形对应边的交点共线， 则称这对对应三点形具有透视轴， 透视轴也称为Desargues 线.
有趣 请问你是怎样画出这两个图的？
问题 存在透视中心 存在透视轴？
画图过程演示
§ 1.5 Desargues定理
一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系
对边点(对边的交点)
pq, r s, t u
X
Y
Z
对边三点形 XYZ
4个 边 a,b,c, d
4条
6条 顶点 P,Q; R, S;T,U
6个
对顶(不在同一边上的顶点)
3组 P,Q; R, S; T,U
3组
对顶线(对顶的连线)
3个
PQ,
x
RS, TU
y
z
3条
对顶三线形 xyz
请课后画图，熟悉图形及名称. 今后将专门研究其重要性质
规定 令坐标相同的点与直线为一对相互对偶的代数对偶元素. 得代数对偶原则
注：事实上, 可以有许多种不同的代数对偶映射. 比如将在第四 章学习的配极变换.
§ 1.4 平面对偶原则
二、代数对偶
例 3 代数对偶结论举例. (1) 点 (A, B,C)
Au1 Bu2 Cu3 0.
(2) 原点 (0,0,1)
图形Σ
作对偶变换
图形Σ'
互为对偶图形
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则
2. 基本对偶图形举例 (1) 点
(1)' 直线
(2) 点列(共线点集) l(P)
(2)' 线束(共点线集)
L( p)
(3) 点场(共面点集)
(3)' 线场(共面线集)
(4) 简单n点形：n个点(其中无 三点共线)及其两两顺次连线 构成的图形.
(2) a,b,l共点于P; c,d,l共点于Q (2) ' A,B,L共线于p; C,D,L共线于
q
因此有教材P.32归纳的4个一般步骤, 请在实践中进一步体会.
§ 1.4 平面对偶原则
一、平面对偶原则 1. 基本概念 2. 基本对偶图形举例
3. 作一图形的对偶图形 4. 平面对偶原则 (1) 射影命题
课件作者：南师大数科院周兴和
素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变.
注2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以 有虚直线，过虚点可以有实直线.
注3: 两个元素可能在相差一个非零比例常数的前提下共轭.
§ 1.3 射影平面
五、复射影平面、实-复射影平面
注4: 在实-复射影平面上, 下列结论成立. (教材P.28)
§ 1.4 平面对偶原则
(5) 完全n点形：n个点(其中 无三点共线)及其每两点连线 构成的图形.
顶点：n个； 边：n(n 1) 条 2
(5)' 完全n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其每两直线 交点构成的图形.
边：n条； 顶点：n(n 1) 个
2
完全n点(线)形：n=3
完全三点形ABC
完全三线形abc
(4)' 简单n线形：n条直线(其 中无三线共点)及其两两顺次 相交的交点构成的图形.
顶点：n个；边：n条.
边：n条；顶点：n个.
下面分别考察n=3和n=4的情形
§ 1.4 平面对偶原则
简单n点(线)形：n=3
简单三点形
简单三线形
简单四点形
简单n点(线)形：n=4 简单四线形
显然，简单n点(线)形与其顶点(边)的顺序有关
在射影平面上，若命题A仅与点和直线的关联、顺序关系有关， 则称A为一个射影命题.
(2) 对偶命题
射影命题A