第三讲 索罗增长模型知识课件

sf(k)/k
•
k (t)
(ng)
k*
k
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k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y*f(k*)
根据单位有效
y*Y/A LYy*AL 结论：索罗模
工人产出的定
义可以计算出 lY n ly n * lA n lL n
总产出的增长 速度：
t
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四、储蓄率变化的影响
(2) 对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长 速度。
ln(Y/L)
t
结论： (1) 储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率，而不会永久性地影响。或
者说，储蓄率的变化只有水平效应，而没有增长效应。 (2) 只有技术进步率的变化有增长效应。 (3) 政策含义：投入驱动的增长不会持续。
YLA ng
资本增长率 k*K /A Y L K LkA*AL KK n g
消费C=（1-s）Y，因此，消费和产出具有相同
型意味着，无 论起点在何处， 经济总会收敛
于一个平衡增 长路径：模型
中的每个变量
的增长率，等于n+g。
都以一个不变
同样方法可以计算出每个工人的产出Y/L、人均 的速率增长。
资本K/L和人均消费C/L具有相同的增长率：g。
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k*
索洛－斯旺模型
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ）k*
k
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d [ s d ( k ) f /k ] k s d [ f( d k ) /k ] k s f( k ) k 2 k '( k ) f s F k '2 A 0 L
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出Y、资本K、劳动L，以及知识 或劳动的有效性A。 生产函数：
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
这表明k离k*越远，其增长 率（正或负）越大，λk <0。 可以证明索洛模型中的其他 变量X的非均衡动态增长率 （ λX ）与λk保持比例或线 形关系，例如
(n g )
•
•
y/ y f '(k)k/ f (k)
y
k*
k
sf (k) / k
[kf '(k)/ f(k)] k
K
k
Kkng
结论（索洛模型的收敛性）：每个经济都收敛于其自身的稳态，而 且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比，或者说，经济离其自 身的稳态值越远，其增长率就越快。
劳动增长率为n： 技术进步率为g：
L (t ) n L(t) A (t ) g A(t )
gxdx/xd t x xdd lnxt
t时劳动力：
L(t)L(0)ent
t时技术存量： A(t)A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄
等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
K (t) s(Y t)K (t)
因此，当储蓄率增加10%时，人均产出长期内仅变化5%。第1年增长 0.04(5%)=0.2%，18年后增长0.5(5%)=2.5%。
结论：储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。
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五、绝对收敛与条件收敛
资本的边际产出递减意味着有着更低人均资 本的经济趋于在人均项上更快的增长。
绝对收敛：穷国有着更快的人均增长率，因 此穷国趋于追上富国。
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
单位有效劳动资本存量的变化：
k ( t) s(k f ( t) ( ) n g )k ( t)
k(t)0 k增加
每单位有效劳动 的实际投资
条件收敛：一个经济离其自身的稳态值越远， 增长越快。
巴罗认为索洛模型预测了条件收敛。
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五、绝对收敛与条件收敛
非稳态图示
(ng)k(t)
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增长率>0
f (k (t))
增长率<0
sf(k(t))
k*
k
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五、绝对收敛与条件收敛
绝对收敛图示
增长率>0 增长率<0
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一、索罗模型简评
几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
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五、绝对收敛与条件收敛
条件收敛的图示： spoofr(k)/k sricfh(k)/k (ng)
k(0)poor k*poor k(0)rich k*rich
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结论：当穷国人均 初始资本存量较小， 而富国的储蓄率较 高时，富国会比穷 国有更高的增长率。 因此，一旦控制了 稳态的决定的情况 下，条件收敛将成 立。
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假设的含义
稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际
产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。
其作用在于确保经济的路径不发散。即
limf (k)
k0
根据假设1得到：
lim f (k) 0
k
f (0) 0 f (k ) 0 f ( k ) 0
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边际产出
资本的边际产出
第一，每种投入的边际产品为正且递减。 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) 第三，稻田条件：
lim
K 0
FK
lim
L0
FL
lim
K
FK
lim
L
FL
0
满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。因
此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
k(t)0 k下降 k(t) 0 k不变
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
•
状况，即 k ( t ) 0 平衡增长（balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
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图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
瞬时增长率的定义：
M K P F ( K K ,A ) L A (K K L /A f) L f(k )
有效劳动的边际产出 M A L P F( K A ,AL ) Lf(k)kf(k) 劳动的边际产出 M L P F (K L ,A) LA [f(k)kf(k)]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出 每单位有效劳动的资本获得的总产出是kf’(k)
s k* s
s
变化得到产出 的储蓄率弹性
y*s K(k*) s y 1K(k*)
产出的资 本弹性
K(k* ) K YY Kkk*k* ff(k (* k*))
产出的资本弹性等于资本收入在总收入中所占的份额。
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四、储蓄率变化的影响
在多数国家，支付给资本的收入份额约为1/3。则产出的 储蓄率弹性约为0.5。当储蓄率增加10%时，人均产出长 期内仅变化5%。 因此，储蓄的显著变化只会对平衡路径上的产出产生中度 的影响。
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四、储蓄率变化的影响
(3) 对消费的影响 在稳态，c*= f(k*)-(n+g+δ）
k* 当MPK= n+g+δ时，消费达
到最大。 使消费达到最大化的资本存
量被称为资本的黄金律。
f(k)
y2* y1*
f(k) (n+g+δ)k
s2f(k)
s1f(k)
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k1* k2*
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四、储蓄率变化的影响
4．储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数” (1 K )n ( g )与s无关。
举例：假设 ng，6% α=1/3，则λ=4%（表示k和y向k*和y*每
年移动剩余距离的4%），因此走完平衡增长路径距离（即消除与初 始收入差距）的一半约需18年时间。
c* cgold
sgold
s
纵轴表示对应于每一储蓄率的人均消费的稳态水平。使人均 稳态消费最大时的储蓄率被称为黄金律储蓄率，以sgold表示。
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四、储蓄率变化的影响
3.储蓄率变化对产出的长期影响
稳态时，人均资本和人均产出不变 y*f(k*)
储蓄率变化 对产出的长 期影响
y*f(k* )k*f(k* )k*
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3、稳态时的增长：平衡增长
当k=k*时，模型中的各个变量将如何变动？
变量
K
绝
L
对
A
量 AL
Y
含义 资本存量 劳动力
知识或技术 有效劳动 总产出
平衡增长速度 n+g n g n+g
n+g
C
总消费
n+g
k(Y/AL) 有效劳动的本平均资
0
相 K/L
人均资本
g
对 y(Y/AL) 有效劳动的出人均产
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
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2、关于生产函数的假设
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一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
1
问题提出
什么因素决定了经济增长？ 经济增长的一般趋势是什么？ 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ 穷国能否赶上富国？
0
量 Y/L
人均产出
g
c(Y/AL) 有效劳动的费人均消
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
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备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=Lc)F(K,A C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
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四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
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2、稳态
单位有效劳动资
本存量的变化：
k ( t) s( k f ( t) ( ) n g ) k ( t)
f(k)
k0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为：
跳跃到）。
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四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响
(1) 对k的影响：先增加，并逐步收敛于新的更高水平。
k
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t
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四、储蓄率变化的影响
2．储蓄率变化的动态影响
(2) 对Y/L的影响：先暂时性的增加，但随后收敛于原来的平衡增长
速度。
Y/L增长率
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四、储蓄率变化的影响
1．储蓄率变化的比较静态均衡
f(k)
y2*
f(k) (n+g+δ)k
sf(k)/k
y1*
s2f(k)
s1f(k)
s' f(k)/k
(ng)
k1* k2*
k
k1* k2*
k
储蓄率上升意味着更多的资源用于投资，实际投资线向上移动。导致
实际投资大于有效折旧，因此，k持续上升到新的稳态值（不是立即
根据规模报酬不变假设可以得到
F ( K ,A ) A L F ( K L /A , 1 ) L A f( K L /A ) L
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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k
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黄金律和动态无效率
过度储蓄的经济被
称为动态无效率，
(n+g+δ)k
因为降低储蓄率不
f(k)
仅提高了稳态消费， 也提高了转移过程
c1*
s1f(k)
中的消费，即原来 的人均消费路径在
cg*
Leabharlann Baidusgf(k)
所有时点都位于另
一条可行的路径之 下。
0 kg*
k1*
k
动态无效率区域
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黄金律和动态无效率