1.2 晶格的周期性、晶向晶面

用 l1a1+l2a2+l3a3 表示一个空间格子 (点阵)
一组 (l1, l2, l3) 的取值表示格子中的一个格点, 每个格点代表一组原子
这个空间格子表征了晶格的周期性，称为布拉伐格子 Bravais lattice
晶格被抽象成格点构成的几何结构
Cu 金属的面心立方晶格 Si 的金刚石晶格 NaCl 晶格
近邻四面体具有不同的空间取向 金刚石结构中包含两种等价原子
一个复式晶格总可以看成：
每一种等价原子形成一个简单晶格, 不同等价原子形成的简单晶格是相同的, 各等价原子组成的简单晶格相互穿套而成
NaCl晶格, Na+离子和 Cl-离子本身构成面心 立方晶格; NaCl晶格可看成由两个 面心立方晶格穿套而成
相同的Bravais格子(面心立方)
每个格点分别代表 一个Cu原子 两个Si原子 一对Na+、Cl-离子
Bravais 格子是一种数学上的抽象 是点在空间中的周期性排列
〈Bravais格子〉＋ 〈基元〉＝ 〈晶格〉 基元由原胞中不同的等价原子组成 把一组原子安排在Bravais格子的格点上就构成了晶格 只可能有十四种布拉伐格子
立方晶格的(100)、(110)、(111)面
练习
(101)
写 出 晶 面 指 数
(122)
(122)
可以证明, 简单立方晶格中的一个晶面的 密勒指数和晶面法线的晶向指数完全相同 要证明晶向 [h1h2h3] 垂直于 (h1h2h3) 晶面, 只要证明 该晶向垂直于晶面内两条相交的直线即可
(h1 a1 h2 a 2 h3 a 3 ) (a1 / h1 a 2 / h2 )
体心立方晶格
CsCl晶格
Bravais格子分别是什么结构？ bcc sc
NaCl晶格对应的Bravais格子是面心立方的。
√
金刚石晶格对应的Bravais格子是体心立方的。
×
CsCl晶格对应的Bravais格子是体心立方的。
×
Bravais格子是由格点构成的纯粹的几何结构。
√
ZnS晶格对应的Bravais格子是面心立方的。


a a1 2 a a2 2 a a3 2

i jk


i j k
i jk
2. 简单晶格和复式晶格
简单晶格：每一个原胞只有一个原子 晶格中所有原子是完全等价的 bcc结构的碱金属、fcc结构的Au、Ag、Cu
金刚石晶格是一种简单晶格。
×
六角密排晶格是一种复式晶格。 √
金刚石晶格可看成沿体对角线相互错开1/4长度的 两个简单立方晶格穿套而成。 ×
金刚石晶格结构中含有_____种等价碳原子, 六角 密排晶格结构中含有_____种等价原子。 （2 2） 面心立方晶格是一种简单晶格。 √
石墨烯专题 石墨烯晶格是简单晶格还是复式晶格？
它们的晶向、晶面指数实际上 借用了简单立方晶格的结果
金刚石结构 立方单胞对角线方向仍称[111]方向 垂直的晶面称（111）面
(111) 面是一个双层密排面
§1-3 晶向、晶面和它们的标志
小 结
Bravais格子的两种看法： 格点分布在平行线上 分布在平行等间距的平面上
晶列 晶向指数
晶面 密勒指数
晶体学原胞
§1-3 晶向、晶面和它们的标志
晶体的一个基本特点是具有方向性, 沿晶格的不同方向晶体的性质不同
1. 晶列与晶向
Bravais格子上的格点可以看成分列在一系列 平行的直线系上, 这些直线系称为晶列 每一个晶列定义了一个方向, 称为晶向
同一格子可以形成方向不同的晶列
如果从一个格点沿晶列方向到最近邻格点的位移 矢量为
〈 110 〉12个
[111]
[210]
写出晶向指数
2. 晶面与密勒指数
Bravais格子上的格点也可以看成是分布在平行 且等间距的平面上, 这样的平面称为晶面
同一格子可以有无穷多方向不同的晶面系
常用密勒指数（Miller indices）来标志晶面 一族晶面中必有一个通过原点, 其它晶面相互等距, 将均匀切割各轴
CsCl晶格可看成由Cs+的 简单立方晶格和Cl-的简 单立方晶格穿套而成
金刚石晶格中体表和对角线 原子各形成面心立方晶格 金刚石晶格可看成两个面心 立方晶格穿套而成, 相对位 移是体对角线的1/4
复式晶格的原胞就是相应的简单晶格的原胞
原胞中包含每种等价原子各一个
原胞可以取 为立方单元
六角密排晶格的原胞
a a 0
2 2
(h1 a1 h2 a 2 h3 a 3 ) (a 3 / h3 a 2 / h2 )
a2 a2 0
与立方边[100]、面对角线[110]、体对角线[111] 垂直的分别就是(100)、(110)、(111)面
等效晶面用花括号表示, 如{100}、{111}、{110} 它们可用正立方体、正八面体、十二面体表示出来
有两种等价原子,
是复式晶格
石墨烯专题 原胞怎样选取？
由A或者B原子组成 的简单晶格的元胞
3 3 a1 a, a , 2 2
3 3 a2 a, a 2 2
原胞面积
3 3 2 a 2
3. 布拉伐格子(Bravais lattice)
写出晶向指数 [110]、[111]
写出晶面指数 （110）
另一种表达晶格周期性的方式, 是引进一个空间格 子 简单晶格, 每个原子的位置坐标可写为 l1a1+l2a2+l3a3 a1、a2、a3 为晶格基矢, l1、l2、l3 为一组整数 复式晶格,每个原子的位置坐标写为 rα+l1a1+l2a2+l3a3 rα(α=1,2,…,i) 是原胞内各种等价原子之间相对位移 金刚石晶格结构, 立方单元体表原子 l1a1+l2a2+l3a3 对角线上的原子τ +l1a1+l2a2+l3a3, τ 为 1/4 体对角线
√
4. 晶体学单胞（晶胞）
有些情况下原胞不能反映出晶格的对称性 为反映对称性, 选取较大的周期单元 (立方晶格的情况下就选取立方单元)
晶体学中选取的单元为单胞
有些情况下就是原胞, 另一些情况下则不是 沿单胞的三个棱所作的三个矢量称为单胞的基矢
§1-2 晶格的周期性
小 结
原胞和基矢 简单晶格和复式晶格 Bravais格子
a2 a1 a1
a2
a2 a1
原胞的选取不是唯一的 4 不是最小周期性单元 三维晶格的原胞通常是一个平行六面体
立方晶格的原胞和基矢的习惯选择方式
简单立方(sc)
a1 ai a 2 a j a 3 ak
原胞体积 a 3
l1a1+l2a2+l3a3 晶向就用l1、l2、l3来标志, 写成 [l1 l2 l3], 称为 晶向指数 负指数用头顶上一横表示
用〈 l1 l2 l3 〉表示一组对称的晶向
[111]
立方晶格中的 [100]、[110] 和 [111] 晶向
[100]
[110]
〈 100 〉6个
〈 111 〉8个
符号相反的晶面指数所标志的面相互平行， 对于标志晶格里面的晶面来说是没有区别的
{100}、{111}、{110}的等效晶面数分别为3、4、6 符号相反的晶面指数只是在区别 晶体的外表面时才有意义
以简单立方为例所列举的的一些晶向 和晶面在实际问题中是很重要的
对于Bravais格子为面心立方或体心立方的晶 格, 在标志晶向、晶面时, 常常并不是从晶格原 胞的基矢出发, 而是基于立方单胞的三个基矢
复式晶格：每一个原胞包含两个或更多原子 晶格中存在两种或更多种等价的原子或离子 NaCl结构、六角密排结构、金刚石结构、 CsCl结构、ZnS结构
即使是元素晶体Leabharlann Baidu 所有原子都相同, 也可以是复式晶格
它们在晶格中占据的位置在几何上可以是不等价的
六角密排结构中A层和B层中的原子不等价
金刚石结构中对角线上的原子与表面位置的原子不等价
第一个面在 a1 轴上的截距必然是 ±a1 的分数
若第一个面的截距分别为
a1 / h1 ,a 2 / h2 ,a3 / h3
h1、h2、h3 为整数 用 (h1 h2 h3) 来标记这个晶面系 称为密勒指数
|h1 ||h2 ||h3|实际表明等距的晶面分别把基矢a1 (－a1 )、 a2 (－a2 ) 、 a3 (－a3 )分割成多少等分 h1 h2 h3 是以|a1|、|a2|、|a3|为各轴的 长度单位所求得的晶面截距的倒数
分别是什么结构？
§1-2 晶格的周期性 周期性是所有晶格的共同特点
用一个典型单元来表示各种晶格结构便体现了这一特点
1. 原胞和基矢 (primitive cell and vectors)
用原胞和基矢来描述晶格的周期性
原胞是指一个晶格最小的周期性单元
a a 基矢是指原胞的边矢量, 一般用 a1、2、3 表示
面心立方(fcc)
a a1 2 a a 2 2 a a 3 2

i j


jk k i
原胞体积
a3 ＝a1 a 2 a3 ＝ 4


体心立方(bcc)
a3 原胞体积 ＝a1 a 2 a3 ＝ 2