利用施密特正交化方法ppt

对应的特征向量为
1 1
1
1


1

,2


0

,
0
1
3 1
1
如何求A的
特征值与 特征向量
《线性代数》课题组
利用施密特正交化方法将 1 与2 正交化，得
1
1
1


1

,
0
1 1 1
0

1
2

1

3
32
1

1

3
3 3

1 1
35
3
3
4T
则 1, 2, 3 为所求单位正交组.
1
3

1 5

3
3


4

《线性代数》课题组
二、用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤
（1）求出特征方程 E A 0的全部实特征值；
2）单位化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2, L
,
r
1
r
r ,
则可得到与1,2 ,L ,r 等价的单位正交组 1, 2,L , r .
这个过程称为单位正交化过程，上述两个步骤次序 不可交换.
《线性代数》课题组
例1 已知向量组
1 1 0 1 1T ,2 1 1 0 1T ,3 1 1 1 0T
单位化
1, 2 ,3 的模各是多少？
《线性代数》课题组
再单位化，得



1
2

1
1 1



1 2

,

2


2 2
0


将 3单位化，得
1

3

3
3 3



1
3

1
3



1
6




Baidu Nhomakorabea线性无关，试将其化为标准正交组. 解 第一步，根据施密特正交化方法将向量组正交化
取 1 1 1 0 1 1T
2

2

(2 , 1) (1, 1)
1

1 3
1
3
2
1T
3
3

(3, 1) (1, 1)
1

(3, 2 ) (2, 2)
2

1 5
（2）对每一个ni重的特征值 i ，解齐次线性方程组
(i E A) x 0，得到 ni 个线性无关的特征向量； （3）利用施密特正交化方法，把属于i 的ni个线性
无关的特征向量正交化，再单位化；
《线性代数》课题组
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/2
《线性代数》课题组
（4）将总共得到的 n个单位正交特征向量作为矩
1
r
r

r , 1 1, 1
1

r 2
, ,
2 2

2

L

r , r1 r1, r1
r 1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r 等价.
《线性代数》课题组
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
小结
施密特正交化方法 用正交矩阵将实对称矩阵对角化的步骤
求特征值 求特征向量 正交化、单位化
构造正交阵Q
构造对角阵
《线性代数》课题组
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/2
《线性代数》课题组
1


1

,2


0

,3
1
0
1
1
1 1 1
2
2

(2 ,1) (1,1)
1


0 1



1
2

1 0



1 2

1

2
再将1, 2 ,3
阵 Q 的列向量，则Q为所求正交矩阵；
（5）Q1AQ 为对角矩阵，其主对角线上的元素为A
的全部特征值，它的排列顺序与 Q 中正交单位 向量的排列顺序相对应.
《线性代数》课题组
2 1 1
例2
用正交矩阵将
A


1
2
1

对角化.
1 1 2
解 矩阵 A的特征值为
1 2 1, 3 4

1 6

,

2
6
《线性代数》课题组
以单位正交向量 1, 2, 3 为列得正交矩阵



1 2
1 6
1
3

Q



1 2
1 6
1
3


0
2 1 6 3
特征值与特征向 量应对应
使得
1

Q 1
AQ



1

4
对角阵
《线性代数》课题组
知识点7--用正交矩阵使对称矩阵对角化
1. 施密特正交化方法 2. 用正交矩阵使实对称矩阵对角化的步骤
《线性代数》课题组
一、施密特正交化方法
设 1,2 ,L ,r 是线性无关向量组，如何将该向量组
单位正交化？
1）正交化
令 1 1
2
L
2
L
2 , L 1 ,
1 1
1
3
3
4T
《线性代数》课题组
所得的1, 2, 3 即是与1,2 ,3 等价的正交向量组.
第二步，再单位化
由于 1
3, 2
15 , 3
3

35 ，所以令
5
1
1 1

1 1
3
0
1 1T
2
2 2

1 1
15
3
2
1T
1
1
1